精品解析：河南省郑州市第四十七初级中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

郑州市第四十七初级中学东校区 2024-2025学年下学期第一次评价试卷 满分：120分，时间：100分钟 出题人：张晓东，马恩典；审题人：刘金彩 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知，则下列不等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. B. C. 或 D. 4. 如图，在中，，，则等于（　　） A. 38° B. 39° C. 40° D. 41° 5. 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A 10x﹣5（19﹣x）≥90 B. 10x﹣5（19﹣x）＞90 C 10x﹣（19﹣x）≥90 D. 10x﹣（19﹣x）＞90 6. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为900元，标价为1320元商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，设折扣是x折，则可列不等式为_____． 12. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ___________． 13. 如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为__________． 14. 已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 _____．（填序号） 15. 已知：是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是：_____． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1）； （2） 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 18. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 19. 为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器160台，A型号家用净水器进价是1500元/台，售价是2100元/台；B型号家用净水器进价是3500元/台，售价是4300元/台，为保证售完这160台家用净水器的利润不低于116000元，求A型号家用净水器最多能购进多少台?(注:利润=售价-进价) 20. 如图，在中，，是的一个外角． 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作的平分线AM； （2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF． （3）若，，求AB的长． 21. 随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 22. 如图，已知函数和图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 23. 【概念建构】 在中，，，直线经过点，于点，于点．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点，，是边上的点，，，连接，，若，，求的长．小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题． 如图5，在中，，，是边上一点，，，交于点，延长，交于点，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市第四十七初级中学东校区 2024-2025学年下学期第一次评价试卷 满分：120分，时间：100分钟 出题人：张晓东，马恩典；审题人：刘金彩 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④ x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式． 2. 已知，则下列不等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题关键在于掌握①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、， ，正确，不符合题意； B、， ，正确，不符合题意； C、， ， ，正确，不符合题意； D、， 当时， ，原选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质求解即可 【详解】解：等腰三角形有两条边的长分别是， 当腰长为时，，构不成三角形； 当腰长为时，等腰三角形周长为： 故选：A 4. 如图，在中，，，则等于（　　） A. 38° B. 39° C. 40° D. 41° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．由可得，即可求解． 【详解】在中，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解． 5. 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A. 10x﹣5（19﹣x）≥90 B. 10x﹣5（19﹣x）＞90 C. 10x﹣（19﹣x）≥90 D. 10x﹣（19﹣x）＞90 【答案】B 【解析】 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（19-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（19-x）＞90． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键． 6. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 7. 如图，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，由根据三角形内角和公式可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找与的关系即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选A． 8. 如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，， ∴边长的高为， 故选：B． 9. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 无法证明， 故选：B． 10. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为900元，标价为1320元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，设折扣是x折，则可列不等式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式．根据利润率的概念列式即可． 【详解】解：设折扣是折， 则可列不等式为， 故答案为：． 12. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：，，， ， ， 过作于， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 _____．（填序号） 【答案】③④①② 【解析】 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设中，； 2、由，得，即， 3、所以，这与三角形内角和为矛盾； 4、因此假设不成立，所以． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键． 15. 已知：是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质，掌握整体思想是解题关键．由题意得，根据可推出；连接，根据可推出，根据即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 即： 连接，如图所示： 由题意得： ∴ ∴ ∴ 故答案为： 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1）； （2） 【答案】（1）；数轴见解析 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤． （1）根据解一元一次不等式的一般步骤解答即可； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤解答即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：； 把解集表示数轴上如图： 【小问2详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得： 把解集表示在数轴上如图： 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【小问1详解】 解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． 【小问2详解】 解不等式，得， 则最大整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 18. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）证即可； （2）证是等腰三角形，再证即可； 【小问1详解】 证明：如图所示： ，， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是中点， ， ， ∴， ， ∴是等腰三角形 ， ，， ， ∴是线段的垂直平分线． 19. 为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器160台，A型号家用净水器进价是1500元/台，售价是2100元/台；B型号家用净水器进价是3500元/台，售价是4300元/台，为保证售完这160台家用净水器的利润不低于116000元，求A型号家用净水器最多能购进多少台?(注:利润=售价-进价) 【答案】A 型号家用净水器最多能购进60 台 【解析】 【分析】设能购进A型号家用净水器x台，则B型号家用净水器台，每台A型号家用净水器的毛利润为600元，每台B型号家用净水器的毛利润为800元，则x台A型号家用净水器的毛利润为600x元，台B型号家用净水器毛利润为元，由题意可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设能购进A型号家用净水器x台， ， 解得 ， 答：A 型号家用净水器最多能购进 60 台． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，在设出未知数后根据题目中的不等量关系列不等式是解题的关键． 20. 如图，在中，，是的一个外角． 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作的平分线AM； （2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF． （3）若，，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）利用作已知角的平分线的作法，即可求解； （2）利用作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，可证得，从而得到，再由勾股定理可得AO=3，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：AM即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：AE、CF，点E即为所求； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵AM平分， ∴， ∵∠CAD=∠B+∠ACB=2∠ACB， ∴， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握作已知角的平分线和作已知线段垂直平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21. 随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 【答案】（1） （2）当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为元和元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式超市为一次函数，B超市分和两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【小问1详解】 解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． 【小问2详解】 解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 22. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 23. 【概念建构】 在中，，，直线经过点，于点，于点．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点，，是边上的点，，，连接，，若，，求的长．小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题． 如图5，在中，，，是边上一点，，，交于点，延长，交于点，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）先证明可得，，再求解，求解，再利用勾股定理可得结论； （2）如图5，连接，过作交的延长线于，由“双外弦三角形”的含义同理可得：，再证明，可得，结合，可得结论． 【小问1详解】 过D作于点N，于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图5，连接，过作交的延长线于， ∴， ∵，， 由“双外弦三角形”的含义同理可得： ， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$