16.2.3 公式法 课件 2024-2025学年北京版八年级数学下册

16.2.3 公式法 学习目标 1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 学习准备 回顾 解方程： 移项得 x2+3x=18 4x²+12x-72=0 解: 二次项系数化为1得 x2+3x-18=0 配方得 x2+3x+ =18+ (x+ )2= 直接开平方得 x+ = ∴ x1=3,x2=-6 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 一元二次方程的一般形式 相关概念 求根公式 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)， 当b2 - 4ac≥0 时，它的根是： ax2+bx+c=0(a≠0) a: b: c: 二次项系数 一次项系数 常数项 探究一 公式法解方程的一般步骤 （1）x2-7x-18=0 解： (1) 这里a = 1，b = -7，c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = 9，x2 =-2. ……………………③利用公式写出方程的根 ………………①确定系数 ………②计算b2-4ac （2）4x2+1=4x ∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0， ∴ 即 …………………④利用公式写出方程的根 …………③计算b2-4ac ………①化为一般形式 ………………②确定系数 解：(2) 将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. 探究一 公式法解方程的一般步骤 课中小结 请同学们整理到课本第42页空白处！！！ 公式法解方程的步骤： 1.变形: 化已知方程为一般形式;（一化） 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;（二定） 4.得解：根据根的情况，利用公式写出方程的根（四得） 3.计算: 的值;（三算） （1）x2+5x+4=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2+5=7x 1.用公式法解下列方程 （1）x2-7x-18=0 解： 这里a = 1，b = -7，c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = 9，x2 =-2. 探究二 b2-4ac的值对方程的根的影响 1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac>0时，它的根的情况是怎样的？ （2）4x2+1=4x 即 2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac=0时，它的根的情况是怎样的？ 解： 将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. ∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0， ∴ 探究二 b2-4ac的值对方程的根的影响 (1)你能解一元二次方程x2-2x+3 =0 吗？你是怎么想的？ (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流。 探究二 b2-4ac的值对方程的根的影响 新知讲解 课中小结 （3）当________时，方程没有实数根． 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）当________时，方程有两个不相等的实数根； （2）当________时，方程有两个相等的实数根； b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 b2-4ac叫做根的判别式，用Δ表示 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 典例精析 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q＜16 D. q＞16 C 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则Δ= b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C. 典例精析 探究新知 1.用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 当b2-4ac≥0时，它的根是____________． 求根公式 判别根的情况 （3）当________时，方程没有实数根． （1）当________时，方程有两个不相等的实数根； （2）当________时，方程有两个相等的实数根； 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由________来判定． b2-4ac 把________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式， 通常用希腊字母“ ”来表示． b2-4ac △ b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 “万能法” 例题讲解 1.用公式法解方程 （2）x2-3x=4 用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。 （2）求出b2-4ac的值，判断根的情况。 （3）代入求根公式 : （4）写出方程的解： P34 T2 例题讲解 1.用公式法解方程 （4）x2+1=-2x P34 T4、6 （6）2x(x－1)＋1＝0 用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。 （2）求出b2-4ac的值，判断根的情况。 （3）代入求根公式 : （4）写出方程的解： 用公式法解下列方程： 典例精析 (1) x2 − 4x − 7 = 0； (2) 2x2 − x + 1 = 0； (3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2 + 17 = 8x. 用公式法解下列方程： 典例精析 (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −7. Δ= b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 方程有两个相等的实数根 (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：a = 2，b = − ，c = 1. Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. x1 = x2 (3) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 即 a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0. (4) x2 + 17 = 8x. 方程没有实数根. a = 1，b = −8，c = 17. Δ= b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0. 解：方程化为 x2－8x + 17 = 0. 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 化：化已知方程为一般形式； 2. 定：确定各项系数a，b，c的值； 3. 求：求Δ=b2 − 4ac 的值； 4. 判：若Δ= b2 − 4ac≥0，则方程有实数根； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 5. 代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 3. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ= 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程 化为一般形式 判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法： Δ=b2 − 4ac > 0 Δ=b2 − 4ac = 0 Δ=b2 − 4ac＜ 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 $$