第58讲 随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 讲义-2026届高三数学一轮复习

第58讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 【知识梳理】　 1.事件的相互独立性 (1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　　　　　　成立,则称事件A与事件B相互独立.  (2)判断方法: ①根据定义; ②根据实际意义; ③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件,事件与事件B,事件 与事件也相互独立. (3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不能推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时, P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立. 2.条件概率 (1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=　　　　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.  (2)性质:设P(A)>0,则 ①P(Ω|A)=　　　　;   ②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　　　　　　　;  ③设和B互为　　　　　　,则P(|A)=1-P(B|A).  (3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=　　　　　　.  ②特例: 当P(A)>0时,当且仅当事件A与B　　　　　　时,有P(B|A)=P(B).  3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=该公式为全概率公式. 4.*贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==i=1,2,…,n. 常用结论 1.乘法公式的推广: 设Ai(i=1,2,3)表示事件,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率. 2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn. 考点01　相互独立事件的概率 例1 (1)设事件A与事件B满足P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则下列说法正确的是 (　 ) A.事件与事件B不是相互独立事件 B.事件A与事件不是相互独立事件 C.事件A与事件B是相互独立事件 D.事件与事件不是相互独立事件 (2)甲、乙两个水文站同时作水文预报(结果互不影响),如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8,0.7,那么在一次预报中,甲站、乙站预报都错误的概率为　　　　.  变式训练： 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,每局比赛两人对战,另一人轮空,没有平局,每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜,比赛随即结束,各局比赛结果互不影响,已知每局比赛甲胜乙的概率为,乙胜丙的概率为,甲胜丙的概率为. (1)若第一局由乙、丙对战,求甲获胜的概率; (2)若第一局由甲、乙对战,求甲获胜的概率. 考点02　条件概率与乘法公式 例2 (1)已知在8个球中,有2个白球,6个红球,每次任取1个球,取出后不再放回,则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为 (　 ) A. B. C. D. (2)有一批灯泡,寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,则在寿命超过500小时的灯泡中,寿命能超过800小时的概率为 (　 ) A. B. C. D. 考点03　全概率公式 例3 (1) 甲箱中有2个白球和3个黑球,乙箱中有2个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出1个球,则从乙箱中取出的是白球的概率是(　 ) A. B. C. D. (2)某饮料厂生产A,B两种型号的饮料,已知A种饮料的生产量是B种饮料的生产量的2倍,且A,B两种型号的饮料中的碳酸饮料的比例分别为60%,40%,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率为 (　 ) A. B. C. D. (3)为弘扬五四爱国主义精神,某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是. ①若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率; ②若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,,,求这个问题被答对的概率. 考点04　贝叶斯公式 例4（1） 某地区居民的肝癌发病率为0.1%,现用甲胎蛋白法进行调查,医学研究表明,化验结果可能存在误差.已知患有肝癌的人的化验结果99.9%呈阳性,而没有患肝癌的人的化验结果0.1%呈阳性.现在某人的化验结果呈阳性,则他患肝癌的概率是 (　 ) A.0.999 B.0.9 C.0.5 D.0.1 （2）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A,B两个信封中,A信封中有6道选择题和3道论述题,B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取1道题,作答完后再在此信封中选取第2道题作答,答题结束后将这2个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2道题,求第2道题抽到论述题的概率; (2)若同学乙从A信封中抽取了2道题,答题结束后误将题目放入了B信封,接着同学丙从B信封中抽取题目作答,已知丙取出的第1道题是选择题,求乙从A信封中取出的是2道论述题的概率. 限时训练 (时间:45分钟) 1.掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现奇数点”,B=“第二枚出现偶数点”,则A与B的关系为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.互斥 B.包含 C.互为对立 D.相互独立 2.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)= (　 ) A. B. C. D. 3.袋中有10个大小相同的小球,其中7个黄球,3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球,摸出的球不再放回,则在第一次摸到黄球的前提下,第二次又摸到黄球的概率为 (　 ) A. B. C. D. 4.设A,B为两个随机事件,若P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(|)= (　 ) A. B. C. D. 5.来自某高中三个班级的60位学生参加某大学的三位一体面试,其中1班10人,2班20人,3班30人,面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位,面试完毕以后再选择下一位面试,则1班参加面试的学生先于其他两个班学生完成面试的概率是 (　 ) A. B. C. D. 6.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生有40%的人近视,而该校有20%的学生每天玩手机超过1 h,这些人的近视率为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为(　 ) A. B. C. D. 7.有3台车床加工同一型号的零件,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的20%,30%,50%.第1台加工的次品率为5%,第2,3台加工的次品率均为3%,加工出来的零件混放在一起,从中任取一件,如果取到的零件是次品,则它是第3台车床加工的概率是 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)现有编号分别为1,2,3的三个口袋,其中1号口袋内装有两个1号球,一个2号球,一个3号球;2号口袋内装有两个1号球和一个3号球;3号口袋内装有三个1号球和两个2号球.第一次从1号口袋内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同编号的口袋中,第二次从放入球的口袋中任取一个球,则下列说法正确的是 (　 ) A.两次都取到3号球的概率为 B.在第一次取到3号球的条件下,第二次取到1号球的概率为 C.第二次取到2号球的概率为 D.若第二次取到2号球,则它取自1号口袋的概率最大 9.在班级数学兴趣小组活动中,老师准备了2道导数题和6道建模题,某小组的8位同学从中不放回地每人随机抽取1道题作答,记Ai表示第i位同学抽到导数题,i=1,2,…,8,则P(A1|A3)=　　　　.  10.某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,且四条流水线的产品不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下,它是第二条流水线生产的概率是多少? 11.已知某条线路上有甲、乙两辆相邻班次的公交车,若甲车准点到站的概率为,在乙车准点到站的前提下甲车准点到站的概率为,在甲车准点到站的前提下乙车不准点到站的概率为,则乙车准点到站的概率为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)甲、乙两个罐子均装有2个红球、2个白球和1个黑球(除颜色外完全相同).先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中,再从乙罐中随机取出1个球,记事件Ai(i=0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球,B表示从乙罐中取出的球是红球,则下列结论正确的是 (　 ) A.P(A1)= B.P(B|A2)= C.P(A1B)= D.P(B)= 13.在A,B,C三个地区爆发流感,这三个地区分别有2%,5%,4%的人患了流感,已知三个地区的人口数的比为1∶2∶2,现从这三个地区中任意选取1人,这个人患流感的概率为　　　　;如果此人患流感,则此人来自A地区的概率是　　　　.  14.甲袋子中有3个白球和2个红球,乙袋子中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋子,再从该袋子中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋子且从中取出的2个球均为白球的概率; (2)求第一次取出的是白球的概率; (3)求第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率. 参考答案 1.D　[解析] 因为P(A)==,P(B)==,P(AB)==,所以P(A)P(B)=P(AB),所以事件A与B相互独立.故选D. 2.C　[解析] P(B|A)===.故选C. 3.A　[解析] 第一次摸到黄球后,袋中还剩下6个黄球,3个红球,共9个球,所以所求概率P==.故选A. 4.B　[解析] 由P(B|A)==,得P(AB)=,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,所以P()=1-P(A∪B)=1-=,P()=1-P(A)=,所以P(|)===.故选B. 5.A　[解析] 记“最后面试的学生来自2班”为事件B,“最后面试的学生来自3班”为事件C,显然事件B,C互斥.记“1班参加面试的学生先于其他两个班学生完成面试”为事件D,则D=BD+CD.当事件B发生时,只需考虑1,3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位学生来自3班,则P(BD)=P(B)P(D|B)=×=.当事件C发生时,只需考虑1,2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位学生来自2班,则P(CD)=P(C)P(D|C)=×=.所以P(D)=P(BD)+P(CD)=+=.故选A. 6.B　[解析] 方法一:令A1=“玩手机超过1 h的学生”,A2=“玩手机不超过1 h的学生”,B=“任意调查一人,此人近视”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.依题意,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5,P(B)=0.4,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A2),解得P(B|A2)=. 方法二:假设该校有100名学生,则有20人每天玩手机超过1 h,且这20人中有10人近视,有80人每天玩手机不超过1 h,且这80人中有100×40%-10=30(人)近视,故所求概率为=.故选B. 7.B　[解析] 记取到第1,2,3台车床加工的零件分别为事件A1,A2,A3,取到次品为事件B,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,由全概率公式可得P(B)=P(A1)×P(B|A1)+P(A2)×P(B|A2)+P(A3)×P(B|A3)=,由贝叶斯公式得P(A3|B)==.故选B. 8.ACD　[解析] 对于A,设“第一次取到3号球”为事件A,“第二次取到3号球”为事件B,则P(AB)=×=,故A正确;对于B,设“第二次抽到1号球”为事件C,则P(AC)=×=,P(A)==,所以在第一次取到3号球的条件下,第二次取到1号球的概率为P(C|A)==,故B错误;对于C,设“第一次取到1号球”为事件E,“第一次取到2号球”为事件F,“第二次取到2号球”为事件D,则P(ED)=×=,P(AD)=×=,P(FD)=×=,所以P(D)=P(ED)+P(AD)+P(FD)=++=,故C正确;对于D,由C中分析可知,若第二次取到2号球,则它取自1号口袋的概率为=,取自2号口袋的概率为=,取自3号口袋的概率为=,则它取自1号口袋的概率最大,故D正确.故选ACD. 9.　[解析] P(A1|A3)===. 10.解:(1)设A表示“任取一件产品,抽到不合格品”, Bk表示“任取一件产品,它是第k条流水线的产品”,k=1,2,3,4, 由题意,P(B1)=0.15,P(B2)=0.20,P(B3)=0.30,P(B4)=0.35, 且P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02, 从该厂的这一产品中任取一件,抽到不合格品的概率P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+P(B3)×P(A|B3)+P(B4)×P(A|B4)=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+0.35×0.02=0.031 5. (2)由(1)知P(B2|A)====. 11.B　[解析] 设事件A为“甲车准点到站”,事件B为“乙车准点到站”,依题意,P(A)=,P(A|B)=,P(|A)=,由P(|A)==,可得P(A)=,由P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=,可得P(AB)=,由P(A|B)==,解得P(B)=.故选B. 12.ABD　[解析] 由题可知P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==,∴P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×==.故选ABD. 13.0.04　0.1　[解析] 记事件D=“选取的这个人患了流感”,事件E=“此人来自A地区”,事件F=“此人来自B地区”,事件G=“此人来自C地区”,由题意可得P(E)==0.2,P(F)==0.4,P(G)==0.4,P(D|E)=0.02,P(D|F)=0.05,P(D|G)=0.04,由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.02+0.4×0.05+0.4×0.04=0.04.P(E|D)====0.1. 14.解:(1)记“随机取到甲袋子”为事件A1,“随机取到乙袋子”为事件A2,“第一次取出的是白球”为事件B,“第二次取出的是白球”为事件C,因为P(A1BC)=P(A1)P(BC|A1)=×=, 所以随机取到的是甲袋子且从中取出的2个球均为白球的概率为. (2)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=, 所以第一次取出的是白球的概率为. (3)P(BC)=P(A1)P(BC|A1)+P(A2)P(BC|A2)=×+×=,所以P(C|B)===, 所以第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$