第57讲 随机事件与概率、古典概型 讲义-2026届高三数学一轮复习

第57讲　随机事件与概率、古典概型 【知识梳理】 1.样本空间与样本点 名称 含义 样本点 随机试验E的　　　　　　的基本结果,常用ω表示样本点  样本空间 全体　　　　的集合,常用Ω表示样本空间  有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间 2.随机事件、必然事件与不可能事件 名称 含义 随机事件 样本空间Ω的　　　,常用大写字母A,B,C,…表示  基本事件 只包含　　　样本点的事件  必然事件 每次试验　　　　　　的事件  不可能事件 每次试验　　　　　　　的事件  3.事件的关系和运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生,则事件B　　　　　  　　　 (或A⊆B) 相等 关系 若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等 　　　　  并事件(和事件) 事件A与事件B　　　　　发生  A∪B(或A+B) 交事件(积事件) 事件A与事件B　　　　　　　发生  A∩B(或AB) 互斥事件 事件A与事件B　　　　  A∩B=⌀ 对立事件 事件A和事件B有且仅有一个发生 A∪B=Ω,且A∩B=⌀ 注意:事件A的对立事件记为,对立事件是互斥事件的特殊情况. 4.古典概型 (1)两个特征: (2)计算公式:设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　=　　　　,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.  5.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有　　　　.  性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　　,P(⌀)=　　　　.  性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　.  性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　　　,P(A)=　　　　　.  性质5　如果A⊆B,那么P(A)　　　P(B).  性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=　.  6.频率与概率 (1)概率:对随机事件发生　　　　　　　　的度量(数值).  (2)概率与频率的关系:随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　　　　　事件A发生的概率P(A),称频率的这个性质为频率的稳定性,可以用频率fn(A)估计概率P(A).  常用结论 互斥事件概率加法公式的推广:若事件A1,A2,A3,…,An两两互斥,则P(A1+A2+A3+…+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An). 考点01　事件的关系与运算 例1 (1)打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3,那么事件A=A1∪A2∪A3表示 (　 ) A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中3发 (2)现有一批产品共9件,已知其中5件正品和4件次品,现从中选4件产品进行检测,则下列事件中互为对立事件的是 (　 ) A.恰好有两件正品与全都是正品 B.至少有三件正品与全都是正品 C.至少有一件正品与全都是次品 D.至少有一件正品与至少有一件次品 考点02　古典概型 例2 (1)从正六边形的六个顶点中任取四个点,则这四个点构成等腰梯形的概率是 (　 ) A. B. C. D. (2) 从分别写有数字1,2,3,4的4张卡片中无放回地随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 (　 ) A. B. C. D. (3)某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数之和是几就选几班,针对这种提议,下列说法正确的是 (　 ) A.公平,每个班被选到的概率都为 B.公平,每个班被选到的概率都为 C.不公平,6班被选到的概率最大 D.不公平,7班被选到的概率最大 考点03　概率的基本性质的应用 例3 (1)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()= (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(B)=,P(A∪C)=,则 (　 ) A.P(C)= B.P(A∪B)= C.P(A∪B∪C)=1 D.P(B∪C)= (3)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c. ①写出该试验的样本空间; ②求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; ③求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 考点04　频率与概率 例4 (1)下列说法中正确的是 (　 ) A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B.在n次随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有确定性 C.随着试验次数n的增大,一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 D.在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 (2)气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息,关于该市明天降雨情况的描述最为准确的是 (　 ) A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.如果住在郊区,明天不带伞出门很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降雨,而中心城区将不会有降雨 D.若明天降雨,则郊区的降雨量一定比中心城区多 限时训练 (时间:45分钟) 1.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,下列说法正确的是 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10% B.该医院接收10位患此疾病的病人,其中有1位病人被治愈 C.如果前9位病人都没有被治愈,那么第10位病人一定能被治愈 D.该医院接收10位患此疾病的病人,其中一定有能被治愈的 2.下列说法正确的是 (　 ) A.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小 B.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件 C.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率 D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 3.某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生” (　 ) A.是对立事件 B.都是不可能事件 C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件 4.根据气象统计资料,某地某天吹南风的概率为25%,下雨的概率为20%,吹南风或下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为 (　 ) 正品 次品 甲 9400 600 乙 9600 400 A.5% B.10% C.15% D.45% 5.某电子设备制造厂所用元件来自两个不同的元件制造厂甲和乙,统计出2万个元件的情况如下表: 从中任取1件,设事件A=“取出的产品为正品”,则P(A)= (　 ) A.0.93 B.0.94 C.0.95 D.0.96 6.已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)= (　 ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,先后不放回地摸出2个小球,若第二次摸出球的号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择未被摸出的球,则选到3号球的概率为 (　 )A. B. C. D. 8.已知事件A,B,且P(A)=0.2,P(B)=0.8,则下列说法正确的是 (　 ) A.若A⊆B,则P(A∪B)=0.2 B.若P(AB)=0.6,则P(A∪B)=0.4 C.若A与B相互独立,则P(AB)=0 D.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.8 9.(多选题)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件A=“取出的2个球是1个黑球和1个白球”,事件B=“取出的2个球中至多有1个黑球”,事件C=“取出的2个球均为白球”,则 (　 ) A.P(A)= B.P(A+C)= C.P(AB)= D.P(B)=P() 10.从0,1,2,3这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成数对(x,y),x为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字.设事件A=“第一次取出的数字是1”,B=“第二次取出的数字是2”. (1)写出此试验的样本空间,并求P(A),P(B); (2)判断A与B是否为互斥事件,并求P(A∪B). 11.从三棱锥的6条棱中任选2条棱,则这2条棱所在的直线是异面直线的概率为 (　 ) A. B. C. D. 12.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的手机号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗?”然后要求被调查的运动员掷一枚质地均匀的硬币,如果出现正面朝上,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的概率约为 (　 ) A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44% 13.有八张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这八张卡片中随机抽出三张,则抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.  14.(多选题)2024·黑龙江大庆期末一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,ai∈{0,1}(i=1,2,3,4,5),则 (　 ) A.A的所有试验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1,则A=11 100的概率大于A=00 011的概率 C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1,则A中各位数字之和是4的概率为 D.若a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为 参考答案 1.A　[解析] 由题可知患此疾病的病人被治愈的可能性为10%,故选A. 2.C　[解析] 对于A,对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故A中说法错误;对于B,当P(A)+P(B)=1时,事件A与B不一定互斥,则事件A与B不一定是对立事件,故B中说法错误;对于C,根据概率的性质可知,当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C中说法正确;对于D,某事件发生的概率只与该事件本身有关,与试验次数无关,故D中说法错误.故选C. 3.D　[解析] 根据题意,“至少有1名女生”与“至少有1名男生”可能同时发生,故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件.故选D. 4.B　[解析] 由题知,既吹南风又下雨的概率为25%+20%-35%=10%.故选B. 5.C　[解析] 由题意知P(A)==0.95.故选C. 6.D　[解析] 由A和C对立,可得P(A)+P(C)=1,又P(C)=0.8,所以P(A)=0.2,由随机事件A和B互斥,得P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5.故选D. 7.C　[解析] 该试验的样本空间包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个,选到3号球包含的样本点有(1,3),(2,1),(2,3),共3个,所以选到3号球的概率P==.故选C. 8.B　[解析] 对于A,若A⊆B,则P(A∪B)=P(B)=0.8,故A错误;对于B,若P(AB)=0.6,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4,故B正确;对于C,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.16,故C错误;对于D,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故D错误.故选B. 9.AB　[解析] 记3个白球为E,F,G,2个黑球为a,b,随机取出2个小球的样本空间包含的样本点有(E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(a,b),共10个,事件A包含的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),共6个,所以P(A)==,故A正确;事件B包含的样本点有(E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),共9个,所以P(B)=,事件C包含的样本点有(E,F),(E,G),(F,G),共3个,所以P(C)=,P()=1-P(C)=1-=≠P(B),故D错误;事件A+C包含的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(E,F),(E,G),(F,G),共9个,所以P(A+C)=,故B正确;事件AB包含的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),共6个,所以P(AB)==,故C错误.故选AB. 10.解:(1)该试验的样本空间为Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)},n(Ω)=12. 因为A={(1,0),(1,2),(1,3)},B={(0,2),(1,2),(3,2)}, 所以n(A)=3,n(B)=3,所以P(A)==,P(B)==. (2)因为A∩B={(1,2)},所以A与B不是互斥事件. 因为A∪B={(1,0),(1,2),(1,3),(0,2),(3,2)},所以n(A∪B)=5, 所以P(A∪B)=. 11.A　[解析] 如图,从三棱锥A-BCD的6条棱中任选2条棱,样本空间包含的样本点有(AB,AC),(AB,AD),(AB,BC),(AB,BD),(AB,CD),(BC,AD),(BC,CD),(BC,BD),(BC,AC),(CD,BD),(CD,AD),(CD,AC),(BD,AD),(BD,AC),(AC,AD),共15个,这2条棱所在的直线是异面直线包含的样本点有(AB,CD),(BD,AC),(BC,AD),共3个,故所求概率为=,故选A. 12.B　[解析] 因为抛硬币出现正面朝上的概率为,所以约有150人回答第一个问题,又手机号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,所以在回答第一个问题的150人中约有75人回答了“是”,故回答服用过兴奋剂的人数约为80-75=5,所以这群人中服用过兴奋剂的概率约为≈3.33%.故选B. 13.　[解析] 从八张卡片中随机抽出三张,样本空间中总的样本点个数为==56.因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等,则抽出的三张卡片上的数字之和应为18,则抽出的三张卡片上的数字应为8,7,3或8,6,4或7,6,5,共包含3个样本点,所以抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等的概率为. 14.ACD　[解析] 对于A,由于A的各位数字中,都可能为0或1,则A的所有试验结果构成的样本空间中有25=32(个)样本点,故A正确;对于B,若A的各位数字都是等可能地取值为0或1,则P(A=11 100)==P(A=00 011),所以A=11 100的概率等于A=00 011的概率,故B错误;对于C,A的各位数字都是等可能地取值为0或1,如果A中各位数字之和是4,那么这5个数字中有4个1和1个0,包含的样本点有11 110,11 101,11 011,10 111,01 111,共5个,则其概率为,故C正确;对于D,由于a1=1,数字A中恰有两个0,即在a2,a3,a4,a5四个数中恰好有2个0,2个1,可能的情况有0011,1100,1001,1010,0101,0110,共6种,启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为6××=,故D正确.故选ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$