第二章一元二次方程同步测试2025—2026学年湘教版九年级数学上册

· 第二章一元二次方程同步测试2025—2026学年湘教版九年级上册 · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ·  11.3.2 多边形内角和 （第1课时）学案 2021--2022学年人教版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程，根据判别式判断方程的解即可． 【详解】①， ∵ ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ②， 解得，，故错误； ③， ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ④， 解得，故正确． 综上所述，其中正确的有1个． 故选：A． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4．二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次方程的两根为和， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：C． 5．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每年的增长率相同，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x， 根据题意得，． 故选：D． 6．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，根据矩形的面积公式进行列出方程即可． 【详解】解：由题意和图可列方程为：； 故选B． 7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．根据题意当时，方程为，有实数根，当时，得出，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围是， 故选：B． 8．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 10．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 11．设、是方程的两个根，则的值为（    ） A．-2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：由条件可知，， ， 则， 故选：A． 12．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根于系数的关系，根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：根据定义，运算可表示为：， 由方程得：， 整理为标准形式： ∵， ∴方程无实数根． 故选C． 二、填空题 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 14．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 15．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，； 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 16．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）将方程整理为，再直接开平方解方程； （2）先求出判别式，得到，再由求根公式解方程； （3）将方程整理为，再利用因式分解法解方程． 【详解】（1）由得， 直接开平方得，， 或， 解得，； （2）由题知，，， ， 由于，所以方程有两个不相等的实数根， ， ，； （3）由， 变形得， 即， 或， 解得，． 18．某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 【答案】(1) (2)万亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率，找等量关系列出正确的方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据2021年至2023年两年的增长，建立方程求解； （2）基于第一问的年增长率预测2024年的绿化面积． 【详解】（1）解：设2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）； 答：2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率是； （2）解：（万亩 ）， 答：预测2024年底该市的绿化面积为万亩． 19．已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 【答案】(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 20．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 21．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． (1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ (2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 【答案】(1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为 (2)矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据等量关系列出方程即可求解； （2）首先求出矩形的另一边长为，然后根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 依题意得：， 解得：，， ， ， ∴， 答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为； （2）解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长， ∴矩形的另一边长为 ∴（元）． 答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元． 22．如图，中，，，，动点从点出发以/s速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：______________________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，勾股定理、一元二次方程的求解． （1）根据路程=速度×时间，即可求解； （2）由题意得：的面积等于三角形的面积的．分别表示出的面积和三角形的面积即可求解； （3）利用勾股定理建立方程，进而判断方程是否有解，即可求解． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间得： ， 则 故答案为： （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴的面积等于三角形的面积的 ∴ 即 解得： 即当t为 时，的面积等于四边形的面积的； （3）解：不可以，理由如下： 若，由勾股定理得： 整理得： ∵ ∴原方程无解，的长不可以是4． 23．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得， 推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或； 即：或， 解得：，； （2）解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 第二章一元二次方程同步测试2025—2026学年湘教版九年级上册 · 时间：90分钟 总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 8．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 10．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．设、是方程的两个根，则的值为（    ） A．-2025 B． C． D． 12．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 14．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 15．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 16．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 三、解答题（共72分） 17．（共8分）解方程： (1)； (2)； 18．（共8分）某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 19．（共10分）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 20．（共10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21．（共10分）如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． (1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ (2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 22．（共12分）如图，中，，，，动点从点出发以/s速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：______________________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 23．（共12分）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$