精品解析：山东省青岛市城阳第十七中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学第二学期第一次阶段性检测 时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形内角和定理． 已知一个等腰三角形的一个角是，没有明确这个角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论，然后用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①的角是底角时，则等腰三角形的顶角为：， ②的角是顶角时，则等腰三角形的顶角为． 故选：C 2. 下列各命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A．若，则的逆命题是若，则，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若，则的逆命题是若，则，是假命题． 故选C． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心． 【详解】解：移项、合并同类项，得 化系数为1，得， 将解集表示在数轴上如图： 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可． 【详解】由图可知，，且， ∴，，，， ∴关系式不成立的是选项C． 故选C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝度值大的反而小． 5. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A. 直角三角形中两个锐角都大于45° B. 直角三角形中两个锐角都不大于45° C. 直角三角形中有一个锐角大于45° D. 直角三角形中有一个锐角不大于45° 【答案】A 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6. 小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少元”，乙说“至多元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为(　　) A. 12元 B. 13元 C. 14元 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题． 【详解】解：设这本书的价格为元，由题意可得， 甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，即， 乙、丙的说法错误，说明这本书的价格多于13元，即， 所以这本书的价格满足： 又因为明花整数元网购了一本《趣数学》， 所以这本书的价格是14元， 故选：C． 【点睛】本题考查推理与论证，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格． 7. 若不等式恰有3个整数解，那么a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据不等式组解出x的取值范围，恰有3个整数解，写出整数解，确定出a-1的取值范围即可求出a的取值范围. 【详解】根据得， 恰有3个整数解为2，1，0， 所以知，即， 故选：C. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键找到整数解然后在求出a的取值范围． 8. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 9. 如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 10. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确 ∵， ∴， ∴．故③正确， ∵．， ∴， ∴，故④正确， 若，则，，与题干条件不符， ∴无法判断，故②错误， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 12. 若 是关于 的一元一次不等式，则 _______________． 【答案】0 【解析】 【分析】一元一次不等式要求一次项存在,系数不为零,指数为一. 【详解】∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴m-20且|m-1|=1 解得：m=0或2,且m, ∴m=0 【点睛】本题考查了一元一次不等式含参问题,属于简单题,熟悉一元一次不等式的概念是解题关键. 13. 小明借到一本有72页的图书，要在10天内读完，开始2天每天只读5页，设以后几天每天读页，所列不等式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设以后每天读x页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，列出不等式即可． 【详解】解：设以后每天读x页， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关系式列不等式求解． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，解题关键是熟记线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得出，，再利用三角形的周长即可求解． 【详解】解：垂直平分线段， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴CD＝AD． ∵∠B＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD， ∴BD＝2CD． ∵BC＝， ∴CD＋2CD＝， ∴CD＝， ∴DB＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 16. 如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为______． 【答案】的所有值 【解析】 【分析】把y=2代入y=x+1，求出x的值，从而得到点P的坐标，由于点P是两条直线的交点，根据两个函数图象特点可以求得不等式x+1≤mx+n的解集． 【详解】把y=2代入y=x+1，得x=1， ∴点P的坐标为（1，2）， 根据图象可以知道当x≤1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值． 因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1． 故答案为x≤1． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 17. 如图，在中，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．先根据三角形内角和定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得出，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别垂直平， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 18. 如图．等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是的动点，的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接BM，过B作BH⊥AC于H，由等边三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD=，BM=CM，进而得到EM+CM=BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM=BH，利用勾股定理计算可得． 【详解】解：连接BM，过B作BH⊥AC于H， ∵△ABC是等边三角形，是边上的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD=， ∴BM=CM， ∴EM+CM=BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM=BH， ∴BH=AD=， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的计算，正确理解等边三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共66分） 19. 解下列不等式组： （1） （2） （3）解不等式组，在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】（1） （2） （3） 不等式的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及用数轴表示不等式组的解集，求不等式组的非负整数解．正确求解每一个不等式的解集是解题的关键． （1）先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共解即可； （3）先求出每一个不等式的解集，用数轴表示出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后写出非负整数解即可； 【小问1详解】 解：, 解不等式①得，， 解不等式②得， 该不等式组的解集是； 【小问2详解】 , 解不等式①得，， 解不等式②得，， 该不等式组的解集是； 【小问3详解】 , 解不等式①得，， 解不等式②得， 该不等式组的解集为， 该不等式组的非负整数解为：． 20. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 【答案】 证明：∵是 的边的中点，， ∴、 均为直角三角形 在中 【解析】 【分析】首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】略 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键． 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）32海里 （2）有触礁的危险， 理由如下： 过C作交的延长线于点D， （海里）， （海里）， ， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，（海里）， ， ， （海里）， 答：B处到灯塔C的距离为32海里； 【小问2详解】 略 22. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． （1）请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． （2）小军采用哪种租书方式更合算？ 【答案】（1）， （2）小于20本时，采用零星租书方式比较划算；等于20本时，两种方式都可以；大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求函数的解析式，利用一次函数的交点解决方案问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）求出函数的交点，通过交点和函数的性质得出方案即可． 【小问1详解】 解：零星租书方式函数关系式为：； 会员卡租书方式函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 根据一次函数的性质得， 当时，，即小于20本时，采用零星租书方式比较划算； 当时，，即等于20本时，两种方式都可以； 当时，，即大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算； 23. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 24. 如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别连接PQ，AQ．设运动时间为t（s）（0<t<3），解答下列问题： （1）当AQ平分∠BAC时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （3）设四边形APQC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t的值为s； （2）当t=2 s时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （3）S=； （4）t=s或s时，△BPQ为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）求得CQ=BQ，根据距离、速度、时间的关系即可求解； （2）根据BQ=BP，列方程求解即可； （3）利用S=三角形ABC的面积-三角形BPQ的面积，列式求解即可； （4）分PQ⊥AB和PQ⊥BC两种情况讨论，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在等边△ABC中，AQ平分∠BAC， ∴点Q是BC的中点， ∴CQ=BQ=BC=3(cm)， ∴t=(s)， ∴t的值为s； 【小问2详解】 解：根据题意：BP=t，CQ=2t，则BQ=6-2t， 过点P作PD⊥BC于点D， 在等边△ABC中，∠B=60°，点P在线段BQ的垂直平分线上， ∴BD=BP，BD=DQ=BQ， 根据题意得：(6-2t) ， 解得：t=2 (s)， ∴当t=2 s时，点P在线段BQ的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm， BC边上的高为AB=3(cm)，BQ=6-2t，BQ上的高为PB=(cm)， ∴四边形APQC的面积S=×6×3-×(6-2t)× =9； 【小问4详解】 解：当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形， ∴BQ=2BP，即6-2t=2t， 解得：t=(s)； 当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形， ∴2BQ=BP，即2(6-2t)=t， 解得：t=(s)； 综上，t=s或s时，△BPQ为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二学期第一次阶段性检测 时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 下列各命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A. 直角三角形中两个锐角都大于45° B. 直角三角形中两个锐角都不大于45° C. 直角三角形中有一个锐角大于45° D. 直角三角形中有一个锐角不大于45° 6. 小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少元”，乙说“至多元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为(　　) A. 12元 B. 13元 C. 14元 D. 无法确定 7. 若不等式恰有3个整数解，那么a取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5.5 10. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 12. 若 是关于 的一元一次不等式，则 _______________． 13. 小明借到一本有72页的图书，要在10天内读完，开始2天每天只读5页，设以后几天每天读页，所列不等式为___________． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为______ 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________． 16. 如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为______． 17. 如图，在中，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 18. 如图．等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是的动点，的最小值为________． 三．解答题（共66分） 19. 解下列不等式组： （1） （2） （3）解不等式组，在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 20. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 22. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． （1）请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． （2）小军采用哪种租书方式更合算？ 23. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 24. 如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别连接PQ，AQ．设运动时间为t（s）（0<t<3），解答下列问题： （1）当AQ平分∠BAC时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （3）设四边形APQC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $