九年级数学上学期第一次月考（沪教版五四制第24章相似三角形，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册第二十四章相似三角形。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误； B、由得，ac=bd，故本选项错误； C、由 得，ad=bc，故本选项正确； D、由 得，ac=bd，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键． 2．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB． 【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项A、B可判定DE∥AB； ＝，即＝，故选项C可判定DE∥AB； 而由＝不能判断DE∥AB，故D选项答案错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键． 3．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将关于对称得，可知是的黄金分割点，可得 【详解】解：将关于对称得，根据黄金分割的定义可知是的黄金分割点， 答案：C 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 4．已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误； B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、符合向量的长度及方向，故正确. 故选D． 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质和计算法则是解题的关键． 5．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵EF是点B、D的对称轴， ∴△BFE≌△DFE， ∴DE=BE． ∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°， ∴DE⊥BC． 在等腰梯形ABCD中， ∵=， ∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G， ∴四边形AGED是矩形， ∴GE=AD=1， ∵Rt△ABG≌Rt△DCE， ∴BG=EC=1.5， ∴AG=DE=BE=2.5， ∴AB=CD==， ∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°， ∴∠FDE+∠CDE=90°， ∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°， ∴∠BDC=∠DFE， ∵∠DEF=∠DBC=45°， ∴△BDC∽△DEF， ∴， ∴DF=， ∴BF=， ∴AF=AB﹣BF=， ∴=． 故选B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为， 故答案为：． 8．已知正数满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质、正确变形是解题的关键； 根据题意可得，再利用比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵为正数 ∴； 故答案为：2025． 9．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【详解】解：设、两地的实际距离为千米． 根据题意得到：， 解得：千米． 故答案为：． 10．如图，，，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴，即：， ∵，且， ∴， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 11．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，则， ∵是与的比例中项， ∴， 整理，得 解得 ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么 ．（用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】先证明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案． 【详解】∵OB=2OD， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴=， ∴， ∵, ∴=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用． 14．如图，已知点P在等边三角形的边的延长线上，，射线与的延长线交于点Q，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．通过等边三角形的性质结合外角证明即可求解． 【详解】解：如图， ∵等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是 ． 【答案】 【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ． 【详解】解：过点E作EQ⊥BM，则 根据图1图形EQ与CD之间的距离= 由勾股定理得：，解得：； ，解得： ∵ ∴ ∵EQ⊥BM， ∴ ∴ ∴之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键． 16．如图，四边形中，与交于点O，，，于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】过点C作交于E，判断出，进而利用判断出，得出，，进而证明，再结合相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 18．如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理； 根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得的最小值与最大值，当时，的值最小，当平分时，最长，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时，的值最小，此时点的对应点落在上， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 即 解得：； 如图，当平分时，最长，此时点的对应点落在上，连接， 由题意可知，， 在中，，， 由翻折可知， 设，则，， 在中，， 在中， 解得： 则此时， 综上所述，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是； 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】(1) (2),是直角三角形 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 20．如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)，． (2)图见解析，、． 【分析】此题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值，继而求得的值，又由，即可求得答案； （2）作出的图形中，在、方向上的分向量分别为、． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图， ∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 21．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 24．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解； （3）先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【详解】（1）解：的图象经过点 ， 轴， ， ∴点的坐标为， 轴，点在函数图象上 ∴点的坐标为， ∴ ， （2）， ， ， 点的纵坐标 由反比例函数 ， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ∴， 即， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 线段为较长直角边作，使与相似， ∴， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点的坐标为或． 25．在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册第二十四章相似三角形。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(     ) A． B． C． D． 2．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A． B． C． D． 3．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 8．已知正数满足，则 ． 9．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 10．如图，，，，，那么 ．    11．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 12．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么 ．（用向量、的式子表示） 14．如图，已知点P在等边三角形的边的延长线上，，射线与的延长线交于点Q，如果，，那么 ． 15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是 ． 16．如图，四边形中，与交于点O，，，于点D．若，则 ． 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    18．如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 20．如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 21．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 25．在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 C D C D A B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8．2025 9． 10． 11． 12．/ 13． 14． 15． 16． 17．/ 18． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19（10分）．（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 20（10分）．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图， ∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 21（10分）．（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 22（10分）．解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23（12分）．（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 24（12分）．（1）解：的图象经过点 ， 轴， ， ∴点的坐标为， 轴，点在函数图象上 ∴点的坐标为， ∴ ， （2）， ， ， 点的纵坐标 由反比例函数 ， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ∴， 即， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 线段为较长直角边作，使与相似， ∴， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点的坐标为或． 25（14分）．（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$