4.3 用一元一次方程解决问题（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第四章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 知识与技能： · 初步学会分析实际问题中的数量关系，能找出问题中的等量关系。 · 能根据等量关系列出一元一次方程，解决简单的实际问题。 · 初步掌握列一元一次方程解决问题的一般步骤。 2. 过程与方法： · 经历将实际问题抽象为数学问题（列方程）的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 · 在解决问题的过程中，学会与他人合作交流。 3. 情感态度与价值观： · 通过用方程解决实际问题，感受数学的应用价值，增强学习数学的信心。 · 在探索解决问题的过程中，获得成功的体验。 知识点梳理 1. 列方程解决问题的基本思路： 从实际问题中找出等量关系，设出合适的未知数，然后根据等量关系列出方程，通过解方程来解决问题。 2. 列一元一次方程解决问题的一般步骤（可简记为：审、找、设、列、解、验、答）： · 审：审题 仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 · 找：找出等量关系 这是列方程的关键。分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个（或几个）相等关系。常见的等量关系类型有：和差关系、倍数关系、行程问题中的路程速度时间关系、工程问题中的工作量工作效率工作时间关系、购物问题中的总价单价数量关系等。 · 设：设未知数 选择一个适当的未知量用字母表示，通常设为 x。设未知数时要写明单位。可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 · 列：列方程 根据找出的等量关系，用含未知数的代数式表示出相关的量，然后列出一元一次方程。 · 解：解方程 求出所列方程的解。 · 验：检验 · 检验所求得的解是否是所列方程的解。 · 检验所求得的解是否符合实际问题的意义（如人数不能为负数，物品数量不能为分数等）。 · 答：写出答案 回答题目中的问题，答案要完整，并注明单位。 3. 常见的等量关系类型（这一节可能涉及的）： · 和差倍分问题： 例如，A 数与 B 数的和是 C，A 数比 B 数的 2 倍多 D 等。 · 行程问题（初步）： 路程 = 速度 × 时间。（可能涉及相遇问题或追及问题的雏形，但以简单为主） · 购物问题： 总价 = 单价 × 数量。 · 工程问题（初步）： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间。（通常工作总量可以看作单位1） 易错点提醒 1. 审题不清，等量关系找错或找不准： 这是最常见的错误。一定要仔细读题，圈点关键词，明确各量之间的关系。 2. 设未知数时忘记写单位，或者在方程中单位不统一： 设未知数时要带单位，方程两边的单位要一致。 3. 列方程时，等量关系中的量没有用含未知数的代数式正确表示出来。 4. 解方程过程中出现计算错误。 5. 忘记检验，或者只检验方程的解而忽略了实际意义： 解出方程的解后，务必检查是否符合实际情况。 6. 答非所问，或者答案不写单位。 知识点总结 本节主要学习了如何用一元一次方程解决实际问题。其核心是找出实际问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程。解决问题的一般步骤是审、找、设、列、解、验、答。其中，“审”和“找”是基础，“列”是关键，“验”是保证。通过本节的学习，我们要初步体会方程模型在解决实际问题中的作用。 预习建议 1. 回顾旧知： 复习一元一次方程的概念以及解法，确保解方程的技能熟练。 2. 通读教材： 仔细阅读课本中4.3节的内容，包括引言、例题和练习。 3. 动手实践： 尝试独立完成教材中的“练一练”或课后简单的练习题，重点体验“找等量关系”的过程。如果遇到困难，可以标记出来，带着问题听课。 4. 思考总结： 对于例题，不仅要看懂解法，更要思考“为什么这么设未知数？”“这个等量关系是怎么找到的？” 5. 记录疑问： 将预习过程中不理解的地方记录下来，上课时认真听讲，主动提问。 巩固练习 一、选择题 1．长方形 和正方形 3按如图方式摆放成一个长为3322、宽为2020的长方形，则 S2的边长为(　　). A．651 B．655 C．656 D．662 E．666 2．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是(　　). A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克 3．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折.如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为(　　)元. A．180 B．202.5 C．180或202.5 D．180或200 4．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（　　） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C． D． 6．植树节到了，某学习小组组织大家种树，如每个人种10棵，则还剩6棵；如每个人种12棵，则缺6棵，设该学习小组共有x人种树，则方程为（　　） A．10x﹣6=12x+6 B．10x+6=12x﹣6 C． +6= ﹣6 D． ﹣6= +6 7．五水共治检查组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米才停下来休息．司机说：“再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了”．则A市到B市的路程为（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．1200千米 8．七年级一班共有学生42名，一节美术课上老师组织同学们做圆柱形茶叶筒（一个桶身两个桶底组成一套），每名学生能做桶身20个或桶底30个，为使做的桶身和桶底正好配套．设安排x名学生做桶身，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%，则a的值为 (　　) A．8 B．6 C．3 D．2 10．某校七年级三班的45名同学参加球类拓展课选报.若经统计知，想参加足球拓展课的有25人，想参加篮球拓展课的有31人，两种球类拓展课都不想参加的有4人，则两种球类拓展课都想参加的有(　　) A．7人 B．12人 C．15人 D．18人 二、填空题 11．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何.”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12 两（古代中国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少.”则原有生丝　 　斤. 12．一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元，这件羽绒服打了　 　折． 13．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示.若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　. 14．小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数，则小明家的电话号码是　 　. 15．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后中途相遇.相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/时，当甲到达 B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达 A 地后也立刻按原路向 B 地返行.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36 分又再次相遇，则A，B两地的距离是　 　千米. 16．某超市推出如下优惠方案： ⑴一次性购物不超过100元不享受优惠； ⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律九折； ⑶一次性购物超过300元一律八折. 小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款　 　元. 17． 将①和②两张正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM=ND.若AD=17，m--n=9，则正方形①的边长为　 　. 18．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将9个数分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，则图中x 的值为　 　. 19．如图，一个长方形被分割为11个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为9，这个长方形的长比宽多　 　。 三、解答题 20． A，B，C三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A在前，C在后，B在A，C正中间.10分钟后，C追上B；又过了5分钟，C追上 A.问再过多少分钟，B追上? 21．某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 22．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB=45°，∠DPC=60°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t． （1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度； （2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．当三角尺ABP与三角尺PCD重叠时，∠MPN=180°，如图1． ①用含t的代数式表示：∠APM= ；∠NPD= ； ②当t为何值时，边PB平分∠CPD； （3）在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23． 学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表： 选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分 A 12 12 0 0 36 B 12 7 3 2 22 C 12 5 4 3 16 D 12 6 0 6 12 （1）请直接写出胜一局、平一局、负一局分别积几分； （2）已知某选手E的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？为什么？ 24．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． （1）下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ （2）若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； （3）若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 25．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． （1）甲种商品每件的进价为　 　元，乙种商品每件的利润率为　 　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 26．如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 那么称这个四位数为“递减数”. 例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”. （1）判断四位数5324 是不是“递减数”； （2）若一个“递减数”为 ，求这个“递减数”； （3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9 整除，求满足条件的递减数的最大值. 参考答案 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11． 12．八 13．106cm 14．88887654 15．36 16．288或316 17． 18．4 19．1 20．解：设开始时B与A，C的距离均为s，C，B，A的速度分别为c，b，a 从开始到B追上A需要x分钟.则由题意得： ①②③ 由①②得 两式相减，得 即s=30(b-a)， 代入③式得x(b-a)=30(b-a).由b-a≠0，得x=30. 因此，再过30-10-5=15(分)，B追上 A 21．（1）解：根据题意，A公司每天修建0.5km，B公司每天修建1km，单独修建时，A公司比B公司多用10天，设路基总长为x km， 因为A公司单独完成的时间比B公司多10天，即 2 x = x + 10 设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：x=10； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）解： 根据第1小问，路基总长为10km，设A公司工作时间为t天，则B公司工作时间为3t−4 天， A公司和B公司共同修建的总长度为10km，即 0.5t+3t−4=10， 解得：t=4天， 所以，B公司工作时间为3×4−4=8天. （3）解：方案一，理由如下， 方案一：A公司单独完成，工作天数为 2x=20天，总费用为20×2=40万元， 方案二：B公司单独完成，工作天数为 x=0天，总费用为10×6=60万元， 方案三：按第2小问的方式完成，A公司工作4天，B公司工作8天，总费用为4×2+8×6=8+48=56万元， 故方案一最省钱. 22．（1）85；（2）①10t，2t；②；（3）存在，t＝秒或秒． 23．（1）解：胜一局积3分、平一局积1分，负一局积-1分； （2）解： 不能，理由如下： 设选手E负局数为x，依题意得： 3×2x＝4×1×（12-x-2x）， 解得：x＝，不是整数， 故胜局积分不能等于平局积分的四倍． 24．（1）①③ （2） （3） 25．（1）； （2）解：设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件 （3）解：设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为（件），舍去． 当时，由，得，商品件数为（件） ． 第二天，购买乙商品： 当时，由，得（元），舍去． 当时，由，得，商品件数为（件） ． 当时，商品件数为（件） ，舍去． 两天一共购买的商品件数为（件） ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件 26．（1）解：∵53-32=21≠24， ∴5324不是“递减数”. （2）解： 由题意，得10a+3-31=12，解得a=4， ∴这个“递减数”是4312. （3）解：∵四位自然数 是“递减数”， ∴10a+b-（10b+c）=10c+d， ∴10a-9b-11c=d， ∴100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b =99（a+b）+11a+2b. ∵前三个数字组成的三位数 abc与后三个数字组成的三位数 bcd白的和能被9整除， ∴11a+2b能被9整除， 当a=9时，此时b=0或b=9，不符合题意，舍去； 当a=8时，b=1，此时d=71-11c， 只有c=6时，d=5，符合题意. ∴满足条件的递减数的最大值是8165. 学科网（北京）股份有限公司 $$