第一章 特殊平行四边形 单元练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.矩形不一定具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2.如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.若正方形的一条对角线的长为，则这个正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 4.如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是    ． A. B. C. D. 6.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，是位于边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，中，，为斜边的中点，，，则的长为______． 10.如图，已知矩形，、分别是和上的点，、分别是、的中点．如果，，则的长为________． 11.如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为______． 12.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为______． 13.如图，在平行四边形中，请根据对角线有关的菱形判定，添加一个条件______使平行四边形是菱形． 14.如图，顺次连接菱形的各边中点、、、若，，则四边形的面积是______． 15.在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且当时，则的长为______． 16.如图，把边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图，已知四边形是平行四边形，，，垂足分别是，，并且求证：四边形是菱形． 18.本小题分 如图，正方形中，为上的点，是的延长线的点，且，过作垂足为，交于点． 求证：； 若，，求的长． 19.本小题分 如图，已知四边形是平行四边形，点，分别是，上的点，，并且． 求证：≌； 四边形是菱形． 20.本小题分 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． 求证：． 求证：四边形是菱形． 21.本小题分 老师布置了一个作业，如下： 已知：如图▱的对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点 求证：四边形是菱形． 某同学写出了如图所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题： 能找出该同学错误的原因吗？请你指出来； 请你给出本题的正确证明过程． 22.本小题分 如图，在长方形中，，动点从点出发，沿线段，向点运动，速度为；动点从点出发，沿线段向点运动，速度为、同时出发，设运动的时间是 请用含的代数式表示下列线段的长度 当点在上运动时，______，______； 当运动到上时，______，______； 当点在上运动时，为何值，能使？ 点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分， 选项A、、D正确， 故选：． 根据矩形的性质即可判断； 本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质：     平行四边形的性质矩形都具有；     角：矩形的四个角都是直角；     边：邻边垂直；     对角线：矩形的对角线相等；     矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 2.【答案】  【解析】解：四边形为菱形， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 根据菱形的性质以及，利用可得≌，可得，然后可得，继而可求得的度数． 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行的性质． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质．解题关键是知道正方形的面积除了用“边长乘以边长”外，还有一种重要的计算方法，即：对角线乘积的一半．解题时，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，列式计算即可得求解． 【解答】 解：正方形的一条对角线长为， 这个正方形的面积． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【解答】 解：菱形的周长为， ， 是菱形， ， 是的中点， 为边中点， 是的中位线， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的周长．  【解答】 解：菱形对角线互相垂直平分， ，， ， 菱形的周长为． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质 根据正方形的性质和等腰三角形的性质定理即可得到结论． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ． ． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数． 根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可． 【解答】 解：，，， ，， 由折叠可得， ， 故选A． 8.【答案】  【解析】解：绕点顺时针方向旋转得到， ，，， ． 故选：． 由旋转前后的对应角相等可知，；一个特殊三角形为等腰直角三角形，可知，把这两个角作差即可． 本题考查旋转的性质和正方形的性质． 9.【答案】  【解析】解：由勾股定理得，， ， ，为斜边的中点， ． 故答案为：． 利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题属中等难度题目，涉及到矩形的性质，勾股定理的运用及三角形中位线的性质根据勾股定理求，再运用中位线定理求． 【解答】 解：四边形是矩形， 是直角三角形， ，， ， 、分别是，的中点， ． 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：如图所示， 四边形是矩形， ，，， 根据题意得：≌， ，，， 在和中， ， ≌， ，， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 故答案为：． 由折叠的性质得出，，，由证明≌，得出，，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键． 首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【解答】 解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【试题剖析】 【试题解析】 解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故AC时，四边形是菱形． 故答案为． 根据菱形的判定方法即可判断． 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法． 14.【答案】  【解析】解：点、分别是菱形、边上的中点， 是的中位线， ，且． 同理，，且，， ，且． 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 四边形的矩形， 四边形的面积． 故答案是：． 根据菱形的性质、矩形的判定定理可以证得四边形是矩形．由三角形中位线定理和矩形的面积公式进行填空． 本题考查了中点四边形．解答该时，利用了三角形中位线定理，菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及矩形的判定与性质． 15.【答案】  【解析】解：，点是的中点， ， ， ， ， 是的中点，， ， 故答案为：． 根据直角三角形的性质求出，根据题意求出，根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ． 四边形是正方形， ． ． 连接，根据旋转的定义可知． 在和 ≌． ． ． 四边形周长． 四边形是正方形， ． 四边形周长． 故答案为． 根据正方形的性质可得，连接，通过≌，得出，从而得出，则四边形周长可转化为． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解决旋转问题的关键是找准旋转角和旋转后的对应边和对应角． 17.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ， ． 又， ≌ ， 平行四边形是菱形．  【解析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．由“”可证≌，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形是菱形． 18.【答案】证明：四边形是正方形 ， ， ，， ≌ 在中，， ≌， ， 四边形是正方形， ，   【解析】由正方形的性质可得，，由“”可证≌，可得； 由勾股定理可求，由全等三角形的性质可得，即可求的长． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键． 19.【答案】证明：四边形是平行四边形， ． 在与中， ≌； 由知，≌，则． 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形．  【解析】由全等三角形的判定定理可证； 由“邻边相等的平行四边形为菱形”可证． 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理． 20.【答案】证明：， 是直角三角形，是边上的中线，是的中点， ， 在和中， ， ≌ 由知，，且， ，且， 四边形是平行四边形 ，是的中点， 四边形是菱形  【解析】由“”可证≌，可得； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得四边形是菱形． 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关系． 21.【答案】解：能；该同学错在和并不是互相平分的，垂直平分，但未证明垂直平分，需要通过证明得出； 证明：四边形是平行四边形， ． ． 是的垂直平分线， ． 在与中， ≌． ． 垂直平分． 与互相垂直平分． 四边形是菱形．  【解析】直接利用菱形的判定方法分析得出答案； 直接利用全等三角形的判定与性质得出，进而得出答案． 此题主要考查了菱形的判定，正确得出全等三角形是解题关键． 22.【答案】解：，，，． 若，则， 解得， 即为秒时，． 当动点在上时， ， ， 解得， 即为秒时，点与点在边上重合．  【解析】解：点在上运动时，； ； 当点运动到上时，；； 故答案为：，，，． 若，则， 解得， 即为秒时，． 当动点在上时， ， ， 解得， 即为秒时，点与点在边上重合． 根据动点从点出发，沿线段，向点运动，速度为每秒个单位长度，动点从点出发，沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度，再根据运动的时间是秒，即可得出答案． 根据，可得出，再求出的值即可； 根据动点在上时，，得出，求出的值即可． 此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据图形和已知条件列出方程，注意分两种情况进行讨论． 第8页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$