北京市海淀区首都师大二附中2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. b＞-1 B. |b|＞2 C. a+b＜0 D. ab＜0 3.已知关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤1 B. m＜1 C. m≥1 D. m＞1 4.在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨.电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房用科学记数法表示（　　） A. 1.581×109元 B. 1.581×1010元 C. 52.7×107元 D. 5.27×108元 5.文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚.某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（　　） A. B. C. D. 6.如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF=28°，则∠COF的度数为（　　） A. 28° B. 30° C. 32° D. 34° 7.已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，全等的理由为（　　） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 8.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），CD⊥AB于点D，连接OC.设AD=a,BD=b,CD=h,给出下面三个结论：①；②；③h2=ab.上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若二次根式有意义，则x的取值范围是______. 10.因式分解：3a2-6ab+3b2=______． 11.如图，在扇形OAB中，圆心角∠AOB=130°，C是上的点，∠AOC=90°，则∠CAB的度数为______. 12.小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示.根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克. 13.分式方程的解是______. 14.若点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x2＞x1＞0，则y1，y2的大小关系是y1 ______y2.（填“＞”或“＜”） 15.传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD=60°，则长度为______. 16.小茗同学爱好气象研究.小茗用数列{an}记录其生活城市2022年5月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak=1；当第k天没下过雨时，记ak=-1（1≤k≤31）.他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk=1；当预报第k天没有雨时，记bk=-1（1≤k≤31）记录完毕后，小茗计算出a1b1+a2b2+…+a31b31=m,若已知5月气象台预报准确27天，则m=______；若a1b1+a2b2+… +akbk=n（1≤k≤31），则气象台k天中预报准确的天数为______（用n,k表示）. 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题5分) 计算：. 18.(本小题5分) 解不等式组：. 19.(本小题5分) 已知a-b-1=0，求代数式的值. 20.(本小题6分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD交于O，AC平分∠BAD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点C作AB的垂线交其延长线于点E，若BD=6，，求CE的长. 21.(本小题5分) 已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力.其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域.某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m,且空白区域A、B两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元/m2，B区域15元/m2，C区域20元/m2，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积. 22.(本小题6分) 在平面直角坐标系xOy中，已知函数y=kx+b（k≠0）与y=-kx+3的图象交于点（2，1）. （1）求k和b的值； （2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y=mx+2（m≠0）的值大于y=-kx+3的值，且小于y=kx+b的值，直接写出m的取值范围. 23.(本小题5分) 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a.教师评委打分：86，90，90，91，91，91，91，92，96，92； b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）； c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为______； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 24.(本小题6分) 如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB与圆O相切于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，PB=BC. （1）求证：OP=2OC； （2）若OC=3，AD=4，求BD的长. 25.(本小题5分) 如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线与AC，CD分别相交于点E，F. 小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为______（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE=CF时，BP= ______cm（结果精确到0.1）. 26.(本小题6分) 在平面直角坐标系xOy中，点（m,n）在抛物线y=x2-2bx上. （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知3.5≤m＜4，若抛物线上存在两点A（b-1，y1）和B（5，y2），当y2＞0时，求y1的取值范围并判断y1与n的大小关系. 27.(本小题7分) 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线DC上（与点C，D不重合）连接AP，平移△ADP.使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH. （1）若点P在线段CD上，如图1. ①依题意补全图1； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ=120°，正方形ABCD的边长为1，直接写出DP的长. 28.(本小题7分) 在平面直角坐标系xOy中，给定Q点和直线l.对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点P′，当OP′≤1时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”.在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”. （1）已知直线l：y=x-2. ①对于点Q（2，1），在点P1（1，-2），P2（2，-1），P3（2，-3），P4（3，0）中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线y=-x+2上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为3：1，则点Q的坐标为______； （2）已知点Q（0，2），直线l恒过点（2，0）.记点Q关于直线l的“反射极大值点”为P1，“反射极小值点”为P2.当直线l绕点（2，0）旋转时，直接写出P1Q与P2Q的取值范围. 1.【答案】  【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2.【答案】  【解析】解：由数轴得，-2＜b＜-1，2＜a＜3， ∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0， 故选：D． 由数轴得，-2＜b＜-1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根， ∴Δ=22-4m＜0， ∴m＞1， 故选：D． 直接根据Δ=22-4m＜0解答即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若Δ=b2-4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2-4ac＜0，则方程没有实数根． 4.【答案】  【解析】解：15.81亿=1581000000=1.581×109． 故选：A． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.【答案】  【解析】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸的结果数为2种， 所以恰好抽中笔和纸的概率==． 故选：A． 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽中笔和纸的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 6.【答案】  【解析】解：∵OE⊥OF， ∴∠EOF=90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOB=180°， 又∠AOF=28°， ∴∠EOB=180°-∠AOF-∠EOF=180°-28°-90°=62°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE=2∠EOB=2×62°=124°， ∵∠COE+∠DOE=180°， ∴∠COE=180°-∠DOE=180°-124°=56°， ∴∠COF=∠EOF-∠COE=90°-56°=34°． 故选：D． 首先由OE⊥OF，∠AOF=28°利用平角的定义可求出∠EOB=62°，再根据角平分线的定义得∠DOE=2∠EOB=124°，进而再根据平角的定义可求出∠COE的度数，最后再根据垂直的定义可求出∠COF的度数． 此题主要考查了垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，利用平角的定义和垂直的定义找出相关角的关系． 7.【答案】  【解析】解：由作图痕迹可知，∠CAB=∠DAB，∠ABC=∠ABD， 在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（ASA）． ∴全等的理由为ASA． 故选：D． 由作图痕迹可知，∠CAB=∠DAB，∠ABC=∠ABD，结合全等三角形的判定可得答案． 本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵点O是AB中点， ∴CO=AB， ∵CD⊥AB，AD=a,BD=b,CD=h, ∴CD≤CO，CO=AO=BO=AB=（AD+BD）=， 即h≤，故①正确； ∵C是半圆周上的动点（与A，B不重合）， ∴OD＜AO，CD＜DO， ∴DO=|BD−BO|=|b−|=||=||， ∴||＜h,故②错误； ∵DC⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠DCA+∠DCB=90°， ∴∠DAC=∠DCB ∴Rt△ADC∽Rt△CDB， ∴=， ∴=， ∴h2=ab, ∴h=， ∵h≤， ∴≤，故③正确； 故选：C． 根据AB是半圆O的直径，得出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质得出CO=AB=，根据C是半圆周上的动点（与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定DO=|BD−BO|=||，即可判定②；证明Rt△ADC∽Rt△CDB，根据相似三角形的性质得出h=，结合①中结论即可判断③． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：要使二次根式有意义，必须5x-1≥0， 解得：x≥， 所以x的取值范围是x≥． 故答案为：x≥． 先根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0，再求出x的取值范围即可． 本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0是解此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：原式=3（a2-2ab+b2） =3（a-b）2． 故答案为：3（a-b）2． 直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：∵∠AOB=130°，∠AOC=90°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=40°， ∴∠BAC=∠BOC=20°， 故答案为：20°． 根据已知易得∠BOC=40°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：调查的100户家庭有害垃圾存放量为：250×（1-60%-20%-15%）=12.5（千克）， 该小区500户家庭有害垃圾的存放量为：12.5×5=62.5（千克）， 故答案为：62.5． 求出样本中100户“有害垃圾”所占的百分比，进而求出100户家庭有害垃圾投放量，再求出500户家庭的即可． 本题考查扇形统计图以及样本估计总体，求出“有害垃圾”所占垃圾投放总量的百分比是正确计算的前提． 13.【答案】  【解析】解：， 原方程化为：=+1， 方程两边都乘以3（x+1），得6=x-1+3（x+1）， 解得：x=1， 检验：当x=1时，3（x+1）≠0，所以x=1是原方程的解， 即原方程的解是x=1， 故答案为：x=1、 变形后方程两边都乘以3（x+1）得出6=x-1+3（x+1），求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵x2＞x1＞0， ∴可得y1＜y2， 故答案为：＜． 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又x2＞x1＞0，可得到A（x1，y1）与点B（x2，y2）是第四象限图象上的两点，可得y1＜y2． 本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 15.【答案】  【解析】解：∵圆心角∠AOD=60°， ∴的长==π， ∴OA=1米， ∴OB=OA+AB=1+0.8=1.8（米）， ∴的长==π（米）， 故答案为：π米． 由弧长公式：l=（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r），即可计算． 本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 16.【答案】  【解析】解：依题意，若akbk=1（1≤k≤31），则表示第k天预报正确，若akbk=-1（1≤k≤31），则表示第k天预报错误， 若a1b1+a2b2+…+akbk=m,假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，（k-x）个-1，即x-（k-x）=m, 解得， 即气象台预报准确的天数为， ∴若a1b1+a2b2+⋯+a31b31=m, 则气象台预报准确的天数为（天）， 解得m=23， 故答案为：23，． 依题意，akbk=1（1≤k≤31）的值为1，或-1，且当akbk=1时，表示第k天预报正确，据此即可求解． 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是得出气象台预报准确的天数为． 17.【答案】  【解析】解： =1-2× = =． 先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.【答案】  【解析】根据不等式组的解法解不等式组即可． 本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解法． 19.【答案】  【解析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键． 20.【答案】  【解析】（1）证明∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA=OC，OB=OD=BD=3，BD⊥AC，再由锐角三角函数定义求出OA=4，则AC=8，然后由勾股定理求出AB=5，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】  【解析】运用二元一次方程列出面积与价格的方程求解即可得出正确答案． 本题考查了集合体得表面积与二元一次方程的掌握． 22.【答案】  【解析】（1）先根据直线y=-kx+3点（2，1）得出k=1，再将点（2，1）代入y=x+b,求出b的值； （2）根据图象即可求得． 本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 23.【答案】  【解析】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m=91． 45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组； 故答案为：91,4； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为： =×（90+90+91+91+91+91+92+92）=91， 故答案为：91； （2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）=92， 乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）=91.8， ∵92＞91.8， ∴甲选手在乙选手的前面， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ∴这三位选手中排序最靠前的是甲， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数， ∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92， 乙选手的方差S2乙=×[4×（92-91.8）2+（91-91.8）2]=0.16，5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k, ∴乙选手的方差小于丙选手的方差， ∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数， ∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92， ∴92≥k＞91， ∵k为整数， ∴k（k为整数）的值为92， 故答案为：甲，92． （1）①根据众数以及中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差，理解平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 24.【答案】  【解析】（1）连接OB，由切线的性质和等腰三角形的性质得出∠P=30°，再由直角三角形的性质即可得出结论； （2）作AH⊥BD 于H，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，∠ABC=90°得到AC=6，根据直角三角形的性质得到AB=AC=3，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握切线的性质和三角函数是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：（1）在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定BP的长度是自变量，CE的长度和CF的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当BP=3时，而AB=CD=3，AD=BC=6， ∴P是BC的中点， ∴BP=CP=3=AB=CD， 此时D，F重合， 过P作PI∥CD交AD于J，交AC于1， ∵AB∥CD， ∴AB∥PI∥CD， ∴，△PIE=△DCE， ∴，， ∵AB=3，BC=6， ， ∴， ∵△PIE∽△DCE， ∴， ∴； ②描点画图如下： （3）由函数图象可得：当CE=CF时，BP=1.9（cm）； （1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当BP=3时，则P是BC的中点，此时D，F重合，过P作PIKCD交AD于J，交AC于I，证明△PIE-△DCE，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线定理，熟练的利用数形结合的方法解题是关键 26.【答案】  【解析】（1）将（2，0）代入y=x2-2bx得0=4-4b, ∴b=1， ∴抛物线为y=x2-2x, ∵y=x2-2x=（x-1）2-1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-1）． （2）∵y=x2-2bx=x（x-2b）， ∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2b,0）， ∴抛物线的对称轴是直线x==b. ∵抛物线开口向上，y2＞0， ∴B（5，y2）在（2b,0）的右侧， ∴2b＜5， ∴b， ∴b2＜． ∴-b2＞-． ∴-b2+1＞-． ∵点A（b-1，y1）在抛物线y=x2-2bx上， ∴y1=（b-1）2-2b（b-1）=-b2+1， ∴y1＞-． 又∵b2≥0， ∴-b2+1≤1． ∴-＜-b2+1≤1，即-＜y1≤1． ∵点（m,n）在抛物线y=x2-2bx上， ∴n=m2-2bm. 又∵， ∴ =m2-2bm+b2-1 =（m-b）2-1． ∵m≥3.5，b＜2.5， ∴m-b＞1． ∴（m-b）2-1＞0． ∴n-y1＞0，即n＞y1． （1）利用待定系数法求得解析式，进一步变形为顶点式即可求解． （2）依据题意，由A（b-1，y1）在抛物线y=x2-2bx上，可得y1=（b-1）2-2b（b-1）=-b2+1，又结合b，且b2≥0，可得y1的范围；再作差n-y1=（m-b）2-1，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 27.【答案】  【解析】（1）①根据题意画出图形即可； ②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论； （2）同（1）②的可证AH=PH，AH⊥PH，得出∠HPA=45°，推导出∠APD=30°，再由三角函数即可求解． 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理． 28.【答案】  【解析】（1）由定义知：P'在⊙O上或⊙O内，又P与P'关于直线l对称，则P在⊙O关于直线l对称的圆上或圆内． ①如图1所示，将⊙O关于直线l对称得到⊙O'，则O'（2，-2）， ∵点P是点Q关于直线l1与⊙O的“反射极值点”， 则点P必在⊙O'上，且PQ的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值， ∵P1（1，-2），P2（2，-1），P3（2，-3）都在⊙O'上，QP2最小为2，QP3最大为4， 故符合定义的点为P2（2，-1），P3（2，-3）， 故答案为：P3（2，-3），P2（2，-1）； ②由定义可知，连接QO'交⊙O'于点M、N，如图2所示， 则由定义可知，QN为点Q关于直线l1与⊙O的“反射极大值点”N的距离， QM为点Q关于直线l1与⊙O的“反射极小值点”的距离， 所以QN=3QM，MN=2QM=2， 所以QM=1，QO'=2， 设Q（a,-a+2），由两点间距离公式可得：（a-2）2+（-a+2+2）2=22， 解得a=2或4， 故Q（2，0）或（4，-2）， 故答案为：（2，0）或（4，-2）； （2）如图3所示，作⊙O关于过（2，0）的动直线l对称的对称⊙O'， 即⊙O'的圆心在以K（2，0）为圆心、2为半径的⊙K上， 则此时的“反射极大值”点为点P1，“反射极大值”点为点P2， 故QP1=QK+3=，即2-1≤P1Q≤2+3； 在⊙O'转动过程中，⊙O'会经过点Q， 故0≤P2Q≤2+1． （1）①由定义知：P'在⊙O上或⊙O内，又P与P'关于直线l对称，则P在⊙O关于直线l对称的圆上或圆内．先将⊙O关于直线l对称得到⊙O'，则O'（2，-2），由图可知点P1（1，-2），P2（2，-1），P3（2，-3）都在⊙O'上，QP2最小为2，QP3最大为4，故符合定义的点为P2（2，-1），P3（2，-3）； ②由定义可知，连接QO'交⊙O'于点M、N，如图2所示，所以QN=3QM，MN=2QM=2，所以QM=1，QO'=2，设Q（a,-a+2），由两点间距离公式可得方程（a-2）2+（-a+2+2）2=22，解之即可得Q点坐标； （2）如图3所示，作⊙O关于过（2，0）的动直线l对称的对称⊙O'，即⊙O'的圆心在以K（2，0）为圆心、2为半径的⊙K上，则此时的“反射极大值”点为点P1，“反射极大值”点为点P2，故QP1=QK+3=2，在⊙O'转动过程中，⊙O'会经过点Q，于是得到结论． 本题是一道为圆为背景的新定义型综合题，考查了轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理，点圆最值，其本质还是点圆最值，熟练掌握以上内容并理解新定义下的本质是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$