广东省深圳市龙岗区同心实验学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市龙岗区同心实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列四幅纹样图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.绝对值的最早出现可以追溯到古希腊时期，绝对值在代数中有着重要的应用.已知数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a-1|的结果为（　　） A. a-1 B. a+1 C. 1-a D. -a-1 3.下列计算正确的是（　　） A. （a3）5=a15 B. a3•a5=a15 C. （a+b）2=a2+b2 D. a3+a5=a8 4.在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（    ） A. B. C. D. 5.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP=45°，∠APB=100°，则∠DBP的度数为（　　） A. 45° B. 50° C. 55° D. 无法确定 6.在△ABC中，∠BAC为钝角，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP=∠CAP（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A. B. C. D. 7.《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km,则提前1日到达储粮站.设运输这批公粮原计划每日行x km,则根据题意可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，已知i=30°，AB=15cm,n=1.5，则BC长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一个根为x=1，则m的值为______． 10.若ab=-2，a+b=3，则a2b+ab2的值为______. 11.在温度不变的条件下，气体所产生的压强p（kPa）与气体的体积V（mL）成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强p关于气体的体积V的函数图象.若压强由100kPa减压到80kPa,则气体体积增加了______mL. 12.如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF.若AB=4，∠BAD=120°，则阴影部分的面积为______. 13.如图，在△ABC中，AB=AC，，D为BC上一点，若满足BD=2CD，过D作DE⊥AD交AB延长线于点E，则= ______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题5分) 计算：. 15.(本小题7分) 先化简，再求值：，其中. 16.(本小题8分) “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100. 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88. 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示. 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a= ______，b= ______，β= ______度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数. 17.(本小题8分) 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来.”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请求出甲、乙两类图书每本的进价. 任务二： ①y关于x的关系式为______； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求出利润w的最大值. 18.(本小题9分) 如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC.点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB=∠BCP. ​​​​​​​ （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N. ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若∠CPB=30°，NC=3，求MN的长. 19.(本小题12分) 小深为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图所示的平面直角坐标系中进行模拟演示.当乒乓球（看成点）以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线C1：的一部分.有一斜面MN，乒乓球沿C1落到斜面MN上经反弹后，继续沿抛物线C2运动. （1）点P的坐标为______；抛物线C1最高点的坐标为______； （2）若斜面MN所在直线的解析式为y=x-7，抛物线C2与C1的开口大小和方向均不变，但最大高度C2是C1的，求： ①乒乓球与斜面MN接触点的坐标； ②抛物线C2的解析式. （3）小圳发现：“（2）中的抛物线C2可以通过C1平移得到.”则平移的最短路程为______； （4）在x轴上的线段AB处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知OA=3.5，且每个回收箱的宽、高分别是0.5，0.3.当（2）中沿抛物线C2下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，则可竖直摆放的回收箱的个数为______. 20.(本小题12分) 课本再现（北师大版九年级上册第29页～30页） 问题解决 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形. 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形. （1）动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片ABC，他分别找到AB、AC边的中点D、E，连接DE.分别过点D、E作BC边的垂线DF、EG，垂足为F、G.再将△DBF和△EGC分别绕点D、E旋转180°，即可得到矩形FGIJ（如图1）.则DE与BC的关系为：______. （2）探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点A作AH⊥DE于点H，再将△ADH和△AEH分别绕点D、E旋转180°，即可得到矩形BCMN（如图2）.小涵通过测量发现BC=15cm,∠BAC=90°，AC=2AB. ①求△ADE的面积； ②在△AEH绕点E顺时针旋转180°的过程中，点A的对应点为A′，若A′E与△BDN一边平行时，请直接写出此时A′N的长度. 1.【答案】  【解析】解：A、C、D不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：B． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，熟记定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由题可知， 0＜a＜1， 则|a-1|=-（a-1）=1-a, 故选：C． 根据绝对值的性质进行解题即可． 本题考查数轴，绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：（a3）5=a15，故选项A正确，符合题意； a3•a5=a8，故选项B错误，不符合题意； （a+b）2=a2+2ab+b2，故选项C错误，不符合题意； a3+a5不能合并，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由单词“APPLE”中有2个P，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】 解：∵单词“APPLE”中有2个P， ∴从单词“APPLE”中随机抽取一个字母为P的概率为：． 故选：C． 5.【答案】  【解析】解：∵AC∥EF，∠CAP=45°， ∴∠APE=∠CAP=45°， ∵∠APB=100°， ∴∠BPE=55°， ∵BD∥EF， ∴∠DBP=∠BPE=55°． 故选：C． 根据两直线平行，内错角相等可得∠APE=∠CAP=45°，又因为∠APB=100°，所以∠BPE=55°，再根据BD∥EF，即可解得． 本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 6.【答案】  【解析】解：用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP=∠CAP， 实际上是作∠BAC的平分线， ∴符合要求的作图是D选项， 故选：D． 根据角平分线的作法即可得到结论． 本题考查作图-基本作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 7.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：A． 根据题意可知：实际运送天数+1=原计划运送天数，然后列出相应的分式方程即可． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图： 由题意得：∠γ+∠β=90°，DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∴∠A+∠β=90°， ∴∠A=∠γ， ∵i=30°，n=1.5， ∴1.5=， 解得：sinγ=， ∴sinA=sinγ=， 在Rt△ABC中，AB=15cm, ∴BC=ABsinA=15×=5（cm）， ∴BC长为5cm, 故选：D． 根据题意可得：∠γ+∠β=90°，DE⊥AC，从而可得∠DEA=90°，进而可得∠A+∠β=90°，再根据同角的余角相等可得∠A=∠γ，然后根据已知易得：sinγ=，从而可得sinA=sinγ=，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键， 9.【答案】  【解析】解：把x=1代入方程x2-2x+m=0得1-2+m=0， 解得m=1． 故答案为：1． 把x=1代入方程x2-2x+m=0得1-2+m=0，然后解关于m的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10.【答案】  【解析】解：∵ab=-2，a+b=3， 原式=ab（a+b）=-2×3=-6， 故答案为：-6． 通过因式分解将a2b+ab2转化为ab（a+b），再整体代入即可． 本题考查代数式求值，因式分解的应用，将a2b+ab2转化为ab（a+b）是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设这个反比例函数的解析式为p=， ∵V=100时，p=60， ∴k=pV=100×60=6000， ∴p=， 当P=80时，V==75， 当P=100时，V==60， ∴75-60=15（mL）， ∴气体体积增大了15mL， 故答案为：15． 设这个反比例函数的解析式为p=，求得p=，当P=80kPa时，求得V=75mL，当P=100kPa时求得，V=60mL，于是得到结论． 本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD∥BC，∠BCD=∠BAD=120°， ∵∠BAD=120°， ∴∠B=180°-∠BAD=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=4， ∵点E是BC的中点， ∴CE=BC=2，AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， 同理，∠AFC=90°， ∵以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F， ∴CE=CF， 在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∵AE=AB•sin∠B=4×=2， ∴S△AEC=S△AFC=CE•AE=×2×2=2， ∴S四边形AECF=S△AEC+S△AFC=4， ∵S扇形=π×22=， ∴S阴影=S四边形AECF-S扇形=4-． 故答案为：4-． 连接AC，根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质证明S△AEC=S△AFC，由三角形和扇形面积公式，根据“四边形AECF的面积-扇形ECF的面积”列式计算即可． 本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，掌握根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、扇形和三角形的面积计算公式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EH⊥BC，交CB延长线于点H，如图所示： ∴∠AFD=∠H=90°， 在Rt△ABG中，tan∠ABF==， 设AF=4k,BF=3k, 由勾股定理得：AB==（=5k, 在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC于点F， ∴CF=BF=3k, ∵BD=2CD， ∴BF+DF=2（CF-DF）， ∴3k+DF=2（3k-DF）， 解得：DF=k, ∴BD=BF+DF=3k+k=4k, ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADF+∠EDH=90°， 在Rt△ADF中，∠ADF+∠DAF=90°， ∴∠DAF=∠EDH， 又∵∠AFD=∠H=90°， ∴△AFD∽△DHE， ∴AF/DH=DF/HE， ∵=， ∴=， ∴BH=4HE-4k, ∵AF⊥BC，EH⊥BC， ∴AF∥EH， ∴△EHB∽AFB， ∴==， 由=，得：=， ∴HE=， 由∴==，得：==． 故答案为：． 过A作AF⊥BC于点F，过E作EH⊥BC，交CB延长线于点H，在Rt△ABG中，由tan∠ABF==，设AF=4k,BF=3k,则AB=5k,由等腰三角形性质得CF=BF=3k,再根据BD=2CD得DF=k,则BD=4k,证明△AFD和△DHE相似得=，则=，由此得BH=4HE-4k,再证明△EHB和AFB相似得==，由=，得=，则HE=，再由=即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的定义，勾股定理是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】解：原式=4-1+2-+2× =4-1+2-+ =5． 利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15.【答案】  【解析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把a的值代入到化简后的结果中计算即可． 本题考查分式的化简求值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：（1）把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a==86， 在抽取的七年级10名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是84， ∴众数b=84， 由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%=2（人）， β=360°×=108°， 故答案为：86；84；108； （2）八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数与众数高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）500×=150（人）， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数是150人． （1）根据中位数，众数定义可得a,b的值，由八年级A，B等级的人数可求出C等级的人数，360°乘C等级的人数所占比例得β的值； （2）根据平均数，众数以及中位数的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：任务一：设甲图书进价每本a元，乙图书进价每本b元，由题意得， ， 解得， 答：甲图书进价每本36元，乙图书进价每本45元； 任务二：①由题意得，36x+45y=4500， 所以y=-0.8x+100， 故答案为：y=-0.8x+100； ②由题意得，总利润W=（38-36）x+（50-45）y=2x+5×（-0.8x+100）=-2x+500， ∵k=-2＜0， ∴W随着x的增大而减小， ∵x≥60， ∴当x=60时，W最大=-2×60+500=380（元）， 答：利润w的最大值是380元． 任务一：根据单价、数量、总价之间的关系列二元一次方程组进行解答即可； 任务二：①根据甲、乙两种图书的总金额为4500元，进而得到y与x之间的关系式； ②求出获得利润与购买数量之间的函数关系式，由函数的性质进行解答即可． 本题考查函数关系式，掌握二元一次方程组的解法以及一次函数的性质是正确解答的关键． 18.【答案】  【解析】【分析】 （1）连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后证明∠OCP=90°，则根据切线的判定方法可得到结论； （2）①利用基本作图作∠APC的平分线即可； ②先利用三角形外角性质得到∠CMN=∠CAB+∠APM，∠CNM=∠PCN+∠CPN，再利用等量代换可证明∠CMN=∠CNM，则判断△CMN为等腰直角三角形，所以MN=CN． 本题考查了作图-作一个角的平分线、圆周角定理和切线的判定．判断△CMN为等腰直角三角形是解题的关键. 19.【答案】  【解析】（1）∵点P在抛物线C1上，且在y轴上， ∴当x=0时，y=1，即点P的坐标为（0，1）， ∵抛物线C1的解析式为：， ∴抛物线C1最高点的坐标为（4，5）． 故答案为：（0，1）；（4，5）． （2）①由题意，令，整理得x2-4x-32=0， ∴x1=-4，x2=8， ∵x＞7， ∴x=8， 当x=8时，y=x-7=1， ∴乒乓球与斜面MN接触点的坐标为（8，1）． ②由题意得，抛物线C2的最大高度为， 设抛物线C2的解析式为， 把x=8，y=1代入得， ∴h1=10，h2=6． ∵h＜8， ∴h=6， ∴抛物线C2的解析式为y=-（x-6）2+2． （3）∵C1的得到为（4，5），C2的得到为（6，2）， ∴可将抛物线C1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到C2． ∴平移的最短路程为． 故答案为：． （4）∵OA=3.5，AB=0.5， ∴OB=4， 对于，当x=3.5时，，当x=4时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ∴0.4375＜0.3m＜1， ∴1.5＜m＜3.3， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 故答案为：2个或3个． （1）由点P在抛物线C1上，且在y轴上，得到当x=0时，y=1，求得点P的坐标为（0，1），得到抛物线C1最高点的坐标为（4，5）； （2）①解方程得到x1=-4，x2=8求得x=8，当x=8时，y=x-7=1，于是得到乒乓球与斜面MN接触点的坐标为（8，1）； ②由题意得，抛物线C2的最大高度为5×=2，设抛物线C2的解析式为y=-（x-h）2+2把x=8，y=1代入得到h=6，于是得到抛物线C2的解析式为y=-（x-6）2+2； （3）根据C1的得到为（4，5），C2的得到为（6，2），得到可将抛物线C1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到C2于是得到平移的最短路程为=； （4）由OA=3.5，AB=0.5，得到OB=4，设竖直摆放的回收箱有m个，得到1.5＜m＜3.3，于是得到结论． 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 20.【答案】  【解析】解：（1）DE与BC的关系为：DE∥BC且DE=BC，理由如下： ∵D是AB的中点，E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE=BC； 故答案为：DE∥BC且DE=BC； （2）①如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴AB2+AC2=BC2， ∵BC=15cm,∠BAC=90°，AC=2AB， ∴（2AB）2+AB2=152， ∴AB=3cm, ∴AC=6cm, ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD=AB=cm,AE=AC=3cm, ∴△ADE的面积=•AD•AE=××=（cm2）； ②由旋转得：A'E=AE=3cm,DN=DH， ∵DE∥BC， ∴∠ADH=∠ABC， ∵∠BAC=∠AHD=90°， ∴△ABC∽△HDA， ∴=，即=， ∴DH==cm, 当A'E∥BN时，如图3，∠A'EN=∠BND=90°， ∴EN=DE+DN=+=9（cm）， 由勾股定理得：A'N===3（cm）； 当A'E∥BD时，如图4，∠A'EM=∠ADH=∠ABC， 过点A'作A'F⊥EM于F， ∴∠A'FN=90°， ∴∠BAC=∠A'FE， ∴△A'FE∽△CAB， ∴=，即=， ∴A'F=6cm, ∴EF==3（cm）， ∴FN=+3+=12（cm）， 由勾股定理得：A'N==6（cm）． 综上，A'N的长为3cm或6cm. （1）根据三角形的中位线定理可得结论； （2）①如图2，先根据勾股定理计算AB=3cm,则AC=6cm,最后根据三角形的面积公式即可解答； ②分两种情况：当A'E∥BN时，如图3，∠A'EN=∠BND=90°，当A'E∥BD时，如图4，∠A'EM=∠ADH=∠ABC，证明三角形相似即可解答． 本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，正确地证明三角形相似是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$