精品解析：山东省青岛市胶州市第八中学（原胶州市李哥庄中学）2024-2025学年八年级下学期数学月考试卷

2024-2025学年度第二学期阶段性教学质量检测 八年级数学试题 （120分，90分钟） 第一卷（30分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. “x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．首先表示的．为，再表示与5的相反数的和为，最后表示是非负数可得答案． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 2. 下列四个不等式：（）；（）；（）；（）中，能推出的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】（），所以，但大于还是小于，不能确定，即不能确定为正数，故不能得出，故错误； （）因为，所以，但大于还是小于，不能确定，即不能确定出为负数，故不能得出，故错误； （）因为，所以，即必为正数，故可得出，故正确； （）中，不能得出 为负数，故不能得出，故错误； 综上可得（）正确， 故选：． 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 4. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 5. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．写出直线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集为； 故选：C． 6. 如图，顶角A为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为( ) A. 2 B. 2＋ C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE垂直平分AB， ∴BE=AE， ∴∠B=∠BAE=30°， ∴∠EAC=90°， ∴AE=CE， ∴AE+CE=3AE=BC， ∴AE=． 故选C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力． 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 8. 如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个“三等分角仪”由两根有凹槽的木条组成，两根木条在点O处相连，并可绕点O转动，点C固定，，点可在凹槽中滑动．图②是图①的简化图，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，解一元一次方程，等腰三角形性质等．根据题意设，继而得，，利用三角形内角和定理得，列式求解，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），若正比例函数y=mx（m为常数，且m≠0）的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式（k-m）x+b＜0的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像分析即可解题. 【详解】由函数图像可知一次函数单调递减,正比例函数单调递增, 将（k-m）x+b＜0变形,即kx+b＜mx, 对应图像意义为一次函数图像在正比例函数图像下方,即交点P的右侧, ∵点P的横坐标为1， ∴即为所求解集.故选B 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的图像问题,数形结合的解题方法,中等难度, 将不等式问题转化为图像问题是解题关键, 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据证明得出，再逐一判断每个结论即可得出选项． 【详解】解：在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确， ∴正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 第二卷（90分） 二．填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式, ∴k-3≠0且|k|-2=1, 解得k=-3. 12. 用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设______________． 【答案】三角形三个内角都大于60 °． 【解析】 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °． 故答案为：三角形三个内角都大于60 °． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 13. 某商店以单价元购进一件商品，出售时标价元，由于销售不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于，那么最多可降价______元． 【答案】43 【解析】 【分析】先设降价元出售该商品，则降价出售获得的利润是元，再根据利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】解∶设降价元出售该商品， 则， 解得． 故该店最多降价元出售该商品． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式即可求解． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，过点作于点，可得，可证，得，再证，得，则，由此得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 15. 如图，在中，，，为中线，，则___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解． 【详解】解：∵，，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：14． 16. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与相交于点为直线上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵边的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴当A、P、B三点共线时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：6． 三、解答题（共计72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项，然后不等式两边同除以，即可得出答案； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 两边同时除以得：； 【小问2详解】 解：， 两边同时乘以12得：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：； 【小问3详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； 【小问4详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 18. 已知：线段c，直线l及l外一点A． 求作：Rt△ABC，使直角边AC（AC⊥l，垂足为点C），斜边AB=c．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）． 【答案】 如图所示： 则Rt△ABC就是所求作的三角形． 【解析】 【详解】【分析】首先过点A作直线l的垂线，以点A为圆心c为半径画弧，交直线l于点B，连接线段AB，则△ABC即为所求三角形. 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 19. 已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 【答案】 证明：连接， 平分，，，即， ． 是垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．根据角平分线的性质可以证得，然后根据线段的垂直平分线的性质证得，则可以证明，根据全等三角形的对应边相等证明． 【详解】略 20. 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每张定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每张名片定价3元不变，但制版费900元打六折，请你替张老板根据印刷量来选择方案． 【答案】当张时，选择甲、乙经销商一样划算；当张时，选择乙经销商划算；当张时，选择甲经销商划算． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理解题意找出等量关系式，根据等量关系式列出方程，在本题中能应用分类讨论思想进行讨论是解题关键．分甲经销商的费用乙经销商的费用，甲经销商的费用乙经销商的费用， 甲经销商的费用乙经销商的费用三类情况进行讨论． 【详解】解：根据题意甲经销商的费用为：； 乙经销商的费用为：； 当时， 解得：， 即张时，选择甲、乙经销商一样划算； 当时， 解得：， 即张时，选择乙经销商划算； 当时， 解得：， 即张时，选择甲经销商划算． 21. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 22. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表： 品种 项目 单价（元棵） 成活率 80 100 若购买种树棵，购树所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？ 【答案】（1）y且为整数）；（2）购种树不少于400．（3）应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元． 【解析】 【分析】（1）根据购树的总费用买种树的费用买种树的费用，化简后便可得出与的函数关系式； （2）根据（1）得到的关系式，然后将所求的条件代入其中，然后判断出购买种树的数量； （3）先用种树的成活的数量种树的成活的数量树的总量平均成活率来判断出的取值，然后根据函数的性质判断出最佳的方案． 【详解】解：（1） 且为整数）； （2）由题意得：， 解得：， 又因为计划购买，两种风景树共900棵， 所以， 即购种树不少于400． （3） 随的增大而减小． 当时，购树费用最低为（元． 当时，， 此时应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．注意根据自变量的取值范围来判断所要求的解． 23. 已知在中，，，，为边上的高，动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为． （1）求的长； （2）为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 ∵动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为， 由（1）知：，， ∴当点从点运动点时，所需时间：， ∴的取值范围为， ∵为边上的高， ∴， ∵为等腰三角形，分以下三种情况： ①如图1，当时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； ②当时，； ③如图2，当时，过点作于， ∴，即点是的中点， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性教学质量检测 八年级数学试题 （120分，90分钟） 第一卷（30分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. “x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A. B. C. D. 2. 下列四个不等式：（）；（）；（）；（）中，能推出的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，顶角A为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为( ) A. 2 B. 2＋ C. D. 3 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 8. 如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个“三等分角仪”由两根有凹槽的木条组成，两根木条在点O处相连，并可绕点O转动，点C固定，，点可在凹槽中滑动．图②是图①的简化图，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），若正比例函数y=mx（m为常数，且m≠0）的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式（k-m）x+b＜0的解集为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二卷（90分） 二．填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____． 12. 用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设______________． 13. 某商店以单价元购进一件商品，出售时标价元，由于销售不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于，那么最多可降价______元． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为________． 15. 如图，在中，，，为中线，，则___________． 16. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与相交于点为直线上一动点，则的最小值为_______． 三、解答题（共计72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． （3）； （4）． 18. 已知：线段c，直线l及l外一点A． 求作：Rt△ABC，使直角边AC（AC⊥l，垂足为点C），斜边AB=c．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）． 19. 已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 20. 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每张定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每张名片定价3元不变，但制版费900元打六折，请你替张老板根据印刷量来选择方案． 21. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 22. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表： 品种 项目 单价（元棵） 成活率 80 100 若购买种树棵，购树所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？ 23. 已知在中，，，，为边上的高，动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为． （1）求的长； （2）为等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $