精品解析：山东省德州市宁津县张宅中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级数学第一次月考试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而判断得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 则， 解得：． 故选：A． 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A 1，2，3 B. ，， C. ，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股数的定义及勾股定理即可求解，熟练掌握勾股数的定义及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：A、，则不是勾股数，故不符合题意； B、、、不是整数，则不是勾股数，故不符合题意； C、，，不是整数，则不是勾股数，故不符合题意； D、，则是勾股数，故符合题意； 故选D． 3. 下列二次根式中, 与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，对选项进行判定即可 【详解】A、是最简二次根式，与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式； 故选C. 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义及判断，注意判断时需要将式子化简成 最简二次根式，再进行判断． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，二次根式的性质，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的减法法则和二次根式的性质进行计算，即可判断答案． 【详解】A、和不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 6. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和数轴的应用．根据勾股定理计算的长度，再由点A的位置，确定点A的符号，从而得出即可． 【详解】解：∵以数轴的单位长线段为边作一个正方形， ∴正方形边长为1， ∴对角线长为， ∵以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A， ∴点A为， 故选：D． 7. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A. 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 8. 小明用张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得：，然后进行计算即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 又正方形，，的面积依次为，，， ， ， 故选：D． 9. 与根式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可. 【详解】由题意可得x是负数， 所以=， 故选：D. 【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点. 10. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为和， ∴它们的边长分别为，， ∴，， ∴空白部分的面积为 ． 故选：D． 11. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，求出绳索的长是解题关键．设绳索的长度为，则，，进而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度． 【详解】解：设绳索的长度为， 则，， ∴， 由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 即立柱的高度为， 故选：D． 12. 如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是___ 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理及算术平方根非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键． 利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得，解方程即可求解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为： ． 15. 如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ， 在中，，，，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形的面积为36． 故答案为：36． 16. 数在数轴上表示如图，则化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，判断，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可. 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先找到点关于的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：延长到，使得，过点作于点，如图所示： ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算，涉及绝对值，乘方，立方根，负整数指数幂等，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算立方根，负整数指数幂，绝对值，再算加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】（1）5秒 （2）米 【解析】 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：当米时， 答：落到地面需要5秒； 【小问2详解】 解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 21. 如图，在中，，，． （1）试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； （2）若的面积为3，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定； （1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证； （2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下， ， ， 是直角三角形，且， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 22. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点作的垂线交的延长线于点，则．易得，利用三角形的面积公式即可得解； （2）在中，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 过点作的垂线交的延长线于点，则， ， ． ． ， 根据勾股定理得： ． ． 【小问2详解】 在中，， ，，， ． 23. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： （1）化简：________． （2）计算：． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解本题的关键； （1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 24. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为 （2）不能成功，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）过点作，垂足为，利用勾股定理进行求解即可； （2）延长到点，勾股定理求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得． 在中，． 根据勾股定理，得， ． 答：风筝离地面的垂直高度为． 【小问2详解】 不能成功． 理由：如图，延长到点，使， 此时． 在中，． 根据勾股定理，得． ， 不能成功． 25. 问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料： 在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ． 应用： （2）平面直角坐标系中，已知两点和，线段 ． （3）若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ． 拓展： （4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且，，三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 【答案】（1），，；（2）5；（3）或；（4）点， 【解析】 【分析】本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识； （1）先求出点坐标，即可求解； （2）由两点之间距离公式可求解； （3）由两点之间距离公式可求解； （4）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）两点其坐标分别是和，轴，轴， 点， ，， ， 故答案为：，，； （2）两点和， ， 故答案为：； （3）设点C(x,0)， ∵点D的坐标是(0,-4)，， ∴， ∴， ∴点C坐标为(4,0)或( ,0)； （4）如图2，作点关于轴的对称点，连接 ， 点，的坐标分别为和， ， 的周长， 的周长， 当点在线段上时，的周长有最小值， 点，的坐标分别为和， ， 的周长最小值为， 过点作于， 点， ，， 点， ， ， ， ， ， 点． 综上所述：点，的周长最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学第一次月考试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. ，， D. 7，24，25 3. 下列二次根式中, 与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 8. 小明用张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 与根式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A. B. C. D. 11. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 米 D. 米 12. 如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是___ 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么__________． 15. 如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为________． 16. 数在数轴上表示如图，则化简的结果是________． 17. 如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为_________． 18. 如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是______． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 21. 如图，在中，，，． （1）试判断与否垂直？并通过计算进行说明； （2）若的面积为3，求的长． 22. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 23. 阅读与思考 下面是一位同学数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： （1）化简：________． （2）计算：． （3）计算：． 24. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 25. 问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料： 在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ． 应用： （2）平面直角坐标系中，已知两点和，线段 ． （3）若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ． 拓展： （4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且，，三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$