2025年吉林省长春七十二中中考数学二模试卷

2025年吉林省长春七十二中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图为某地连续4天的天气预报图，其中日最低气温中最高的为（　　） A. -11℃ B. -12℃ C. -6℃ D. -16℃ 2.近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000 075千克以下，将0.000 075用科学记数法表示为（　　） A. 0.75×10-4 B. 7.5×10-4 C. 75×10-6 D. 7.5×10-5 3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A. B. C. D. 4.已知x＞y,则下列不等式不成立的是（　　） A. x-1＞y-1 B. -3x+1＜-3y+1 C. -2x＜-2y D. ax-1＞ay-1 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔P为10海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处，那么海轮航行的距离AB的长是（　　） A. 10海里 B. 10sin50°海里 C. 10cos50°海里 D. 10tan50°海里 6.如图，OA、OB为⊙O的半径，过点B作BC⊥OA于点D，交⊙O于点C，连结AC.若∠ACB=35°，则∠CBO的大小为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7.小明去学校的路，前一半是上坡路，速度较慢，后一半是下坡路，速度较快，且两段路程长度相等，下列图象能大致反应小明上学时间t和他离家距离s的变化情况的是（　　） A. B. C. D. 8.反比例函数的图象上有P（n,y1），Q（n+5，y2）两点.下列正确的选项是（　　） A. 当n＜-5时，y2＜y1＜0 B. 当-5＜n＜0时，y2＜y1＜0 C. 当-5＜n＜0时，0＜y1＜y2 D. 当n＞0时，0＜y1＜y2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.分解因式：9x2-3xy= ______. 10.若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）的解，则代数式20-2a-b的值是______. 11.若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根，则实数c的取值范围为______. 12.在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为______. 13.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°.D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在弧AB上.若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的周长是______（结果保留π）. 14.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论正确的是______. ①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AC=2AE-AB；⑤BE≠CF. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题6分) 先化简，再求值：，其中x=-2. 16.(本小题6分) 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）.小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性.若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 17.(本小题6分) 有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点至少需要租用甲种客车多少辆？ 18.(本小题7分) 如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC. （1）请利用圆规和无刻度直尺作∠BAC的角平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AM于E； （2）连结CE.求证：四边形ADCE是矩形. 19.(本小题7分) 图①、图②、图③分别是5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹. （1）在图①中，画一个面积为3钝角△ABC. （2）在图②中，画一个面积为5的等腰直角△ABD. （3）在图③中，画一个面积为6.5的四边形ABEF，且∠A为45°. 20.(本小题7分) 学校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式.学校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了他们的身高（单位：cm），数据整理如下： a.18名学生的身高： 170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186 b.18名学生身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 178 m n （1）写出表中m,n的值； （2）国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 甲组学生的身高 176 177 177 178 179 182 乙组学生的身高 174 175 177 178 179 183 如果同一组学生身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好，据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为176，177，178，179.在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的平均身高增大但方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______. 21.(本小题8分) 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km-10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x min之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求y1（x≥10），y2关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3km/min,小明家到工厂的距离为9km,那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 22.(本小题9分) 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求AP+BP最小值. 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP 第三步：计算CM的长度由△CPM∽△CBP可得，即CM=CP=1 第四步：AP+BP=AP+MP，如图③当A、P、M三点共线时AP+BP最小，此时AP+BP= ______. 【模型探究】如图④，在△ABC中，AC=1，AB=2，D为AB上一点，小明同学认为当AD=时，CD的长是BC长的一半，于是给出如下证明： ∵AC=1，AB=2，AD= ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴CD=BC 请补全缺失的证明过程. 【模型应用】如图⑤，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P为扇形上一动点，则2AP+PB的最小值为______. 23.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结PB，过点C作CQ⊥射线BP于点Q.设点P的运动时间为t. （1）PC= ______（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在△ABC内部时，求t的取值范围； （3）连结AQ，则AQ的最小值为______； （4）当时，直接写出t的值. 24.(本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0）.点P是抛物线上一点，其横坐标为m. （1）求抛物线的函数表达式； （2）当-3≤x≤2时，y的取值范围是______； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G.若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d,当2≤d≤5时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点M的坐标为（m,-m），点Q的坐标为（-m-2，-m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN.当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围. 1.【答案】  【解析】解：∵16＞12＞11＞6， ∴-16＜-12＜-11＜-6， 故选：C． 根据负数绝对值大的反而小，据此即可解答． 本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数绝对值大的反而小， 2.【答案】  【解析】解：0.000 075=7.5×10-5． 故选D． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，第一个不是0的数字7前面有5个0，确定出n=-5． 此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3.【答案】  【解析】解：选项A的几何体的三视图符合题意；选项B、C、D的三视图均不符合题意． 故选：A． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． A本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 4.【答案】  【解析】解：A．若x＞y,则x-1＞y-1，故选项A成立； B．若x＞y,则-3x＜-3y,-3x+1＜-3y+1，故选项B成立； C．若x＞y,则-2x＜-2y,故选项C成立； D．若x＞y,当a＞0时，ax＞ay,ax-1＞ay-1，故选项D不成立． 故选：D． 根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选：C． 首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：∵∠ACB=35°， ∴∠AOB=2∠ACB=70°， ∵BC⊥OA， ∴∠BDO=90°， ∴∠OBC=90°-∠AOB=20°， 故选：A． 先利用圆周角定理可得：∠AOB=70°，再根据垂直定义可得∠BDO=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：上坡路速度慢，那么上坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大， 下坡路速度较快，那么下坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大，且变大的速度比上坡阶段的快，即对应的函数图象更陡， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 上下坡阶段，离家距离s都随时间上学时间t的增大而增大，但是下坡阶段s的增长速度比上坡阶段的快，据此可得答案． 本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握其性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有P（n,y1），Q（n+5，y2）两点， 当n＜-5时，y2＜y1＜0； 当-5＜n＜0时，y1＜0＜y2； 当n＞0时，y1＞y2＞0； 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小． 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论是关键． 9.【答案】  【解析】解：原式=3x（3x-y）． 故答案为：3x（3x-y）． 利用提公因式法分解因式即可． 本题考查了因式分解-提公因式法，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）的解， ∴4a+2b+2=0， ∴4a+2b=-2， ∴2a+b=-1， ∴20-2a-b =20-（2a+b） =20-（-1） =21， 故答案为：21． 根据x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入代数式20-2a-b,即可求得所求式子的值． 本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出2a+b的值． 11.【答案】  【解析】解：∵一元二次方程x2-2x+c=0无实数根， ∴Δ=（-2）2-4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 利用根的判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12.【答案】  【解析】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7=y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ∴9（x-1）=y. ∴根据题意可列方程组． 故答案为：． 根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x,y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接OC， ∵四边形DOEC是矩形，OD=8，OE=6， ∴EC=OD=8，OE=CD=6， ∴OC==10， ∴AE=10-6=4，BD=10-8=2， 弧AB的长为=5π， ∴阴影部分图形的周长是4+8+6+2+5π=5π+20． 故答案为：5π+20． 根据题意和图形，利用勾股定理，可以得到OC的长，然后根据弧长公式即可求得阴影部分图形的周长． 本题考查弧长的计算、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14.【答案】  【解析】解：如图所示：连接BD、DC． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ED=DF，故①符合题意； ∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD=30°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=AD， 同理：DF=AD， ∴DE+DF=AD，故②符合题意； 由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°， 假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°， 又∵∠E=∠BMD=90°， ∴∠EBM=120°． ∴∠ABC=60°． ∵∠ABC是否等于60°不知道， ∴不能判定MD平分∠EDF，故③不符合题意； 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE=AF， ∵DM垂直平分BC， ∴BD=CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF，故⑤不符合题意； ∴AC=AF+CF=AE+BE=2AE-AB，故④符合题意； 故答案为：①②④． 由角平分线的性质可得DE=DF，由直角三角形的性质可证DE=DF=AD，由HL可证Rt△ADE≌Rt△ADF，Rt△BDE≌Rt△CDF可得AE=AF，BE=CF，可得AC=2AE-AB，即可求解． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=-2代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 列表可得出所有等可能的结果数以及两种样本溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】设需要租用x辆甲车，则租用(8-x)辆乙车，根据租用的8辆客车的总载客量不少于300人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 18.【答案】  【解析】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵DE∥AB，AM∥BC， ∴四边形ABDE为平行四边形 ∴AE=BD ∵AB=AC，AD平分∠BAC ∴BD=DC，AD⊥BC ∴AE=DC，∠ADC=90° 又AM∥BC ∴四边形ADCE为平行四边形 又∠ADC=90° ∴四边形ADCE为矩形 （1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19.【答案】  【解析】（1）如图①中，△ABC即为所求； （2）如图②中，△ABD即为所求； （3）如图③中，四边形ABEF即为所求． （1）作一个底为2，高为3的钝角三角形ABC即可； （2）作一个腰为的等腰直角三角形即可； （3）利用数形结合的思想作出图形即可． 本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20.【答案】  【解析】解：（1）将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186， 从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为（178+178）÷2=178，故m=178， 其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179，故n=179； （2）甲组学生的身高分布于176～182，乙组学生的身高分布于174～183， 据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小， 所以执旗效果更好的是甲组． 故答案为：甲组； （3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在176厘米～179厘米， 从乙组的数据可以知道，在176厘米～179厘米的身高有3个，分别是177，178、179，为保证这六名执旗手身高的平均身高增大但方差最小，应选身高为178、179这2个． 故答案为：178，179． （1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答； （3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175～178，据此可解答． 本题主要考查方差，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 21.【答案】  【解析】解：（1）见答案． （2）9÷0.3=30（分钟）， 当x=30时，y1=0.2x+4=0.2×30+4=10，y2=0.4x=0.4×30=12， ∵10＜12， ∴小明选择A品牌共享电动车更省钱． 故答案为：A． （3）见答案． （1）利用待定系数法求出y1关于x的函数解析式；根据图象求出B品牌共享电动车每分钟的收费，从而根据“B品牌共享电动车的收费=B品牌共享电动车每分钟的收费×骑行时间”求出y2关于x的函数解析式； （2）根据时间=路程÷速度求出小明每天骑行共享电动车的时间，将小明每天骑行共享电动车的时间分别代入y1，y2关于x的函数解析式，求出对应的函数值并比较大小即可； （3）按照x的取值范围，分别将对应函数代入|y1-y2|=4并求出x的值即可． 本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． 22.【答案】  【解析】【模型认知】解：连结圆心C与动点P，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP，如图， ∵△CPM∽△CBP， ∴， ∴CM=CP=1， ∵△CPM∽△CBP， ∴， ∴MP=PB． ∴AP+BP=AP+MP， ∴当A、P、M三点共线时AP+BP最小，如图， 此时AP+BP=． 故答案为：； 【模型探究】证明：∵AC=1，AB=2，AD=， ∴， ∴， 又∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴CD=BC． 【模型应用】解：延长OC至点E使CE=6，连接PE，OP，如图， 则OE=OC+CE=12， ∵OA=3，OP=OC=6， ∴， ∴， ∵∠AOP=∠POE， ∴△AOP∽△POE， ∴， ∴PE=2PA， ∴2AP+PB=PE+PB． ∴当点E，P，B在一条直线上时，PE+PB为线段BE， ∴PE+PB的最小值==13． ∴2AP+PB的最小值为13． 故答案为：13． 【模型认知】连结圆心C与动点P，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP，利用相似三角形的判定与性质求得MP=PB，则AP+BP=AP+MP，当A、P、M三点共线时AP+BP最小，利用勾股定理解答即可； 【模型探究】利用相似三角形的判定与性质解答即可； 【模型应用】延长OC至点E使CE=6，连接PE，OP，利用相似三角形的判定与性质得到PE=2PA，则2AP+PB=PE+PB，当点E，P，B在一条直线上时，PE+PB为线段BE，利用勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 23.【答案】  【解析】（1）∵点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C匀速运动（P不与A、C重合）， ∴PC=5-2t, 故答案为：5-2t； （2）当点Q在AC上时，与点P重合，此时BP⊥AC， ∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5， ∴BC==4， ∵， ∴=， ∴AP==， ∴t=， ∴当点Q在△ABC内部时，t的取值范围是0＜t＜； （3）∵∠CQB=90°， ∴点Q在以BC为直径的半圆上运动， 取BC的中点O，连接AO交半圆于点Q，此时AQ最小， ∵AO==， ∴AQ=AO-OQ=-2． ∴AQ的最小值为-2； 故答案为：-2； （4）当点Q在三角形ABC内部时， 过点A作AD⊥PB于点D， 则tan∠PCQ=tan∠DAP=， 设DP=x,AD=2x,PQ=y,CQ=2y, ∵∠ADB=∠CQB=90°，∠ABD=∠BCQ， ∴△ADB∽△BQC， ∴， ∴=， ∴BQ=，y=， ∴（2x）2+=32， ∴， ∴AP2=DP2+AD2=5x2=， ∴AP=， ∴t=； 当点Q在三角形ABC外部时， 过点A作AN⊥QB于点N，同理可得AP=3， ∴t=． 综上所述，t的值为． （1）由题意可得出答案； （2）当点Q在AC上时，与点P重合，此时BP⊥AC，求出AP==，则可得出答案； （3）取BC的中点O，连接AO交半圆于点Q，此时AQ最小，由勾股定理可得出答案； （4）分两种情况，当点Q在三角形ABC内部时，当点Q在三角形ABC外部时，由相似三角形的性质可得出答案． 本题属于三角形综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 24.【答案】  【解析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入抛物线方程得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+； （2）抛物线的对称轴为x=-， 代入数据得x=1， 观察函数图象可知，在-3≤x≤2范围内， x=1此时的函数值最大，x=-3此时的函数值最小， 把x=1代入抛物线表达式得y=-+1+=2， 把x=-3代入抛物线表达式得得y=--3+=-6， 故答案为：-6≤y≤2； （3）∵2≤d≤5， ∴分两种情况， 在y=-x2+x+中， ①m=1， 把m=1代入抛物线表达式可得y=2， 此时d=2-0=2，符合条件； ②令y=-2， 解得x=1±2， 令y=-5， 解得x=1±， 这四个解在图象上形成了两个范围， 1-≤m≤1-2， 1+2≤m≤1+， ∵d=|-5-0|=5，d=|-2-0|=2， ∴此时d符合条件． 综上所述，m的范围为m=1，1-≤m≤1-2，1+2≤m≤1+； （4）若要使矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 矩形应在抛物线对称轴的左半部分， ∵M（m,-m），Q（-m-2，-m），P（m,-m2+m+）， ∴， 解得-3≤m≤1． （1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，利用待定系数法，将交点坐标代入抛物线表达式建立方程组，求解系数b和c,即可得到函数表达式； （2）先将抛物线表达式化为顶点式，确定对称轴和开口方向，找到最大值点；再计算区间端点处的函数值，结合抛物线单调性确定该区间内y的取值范围； （3）明确最值差d的含义，结合抛物线顶点坐标和单调性，分区间讨论不同范围内的最高点与最低点，求解m的取值范围； （4）由M、Q两点坐标特征可知MQ平行于x轴，结合抛物线对称轴及单调性，分析矩形位置与对称轴的关系，确定m需满足的条件，进而得到m的取值范围． 本题关于抛物线，考查了抛物线的性质的应用，抛物线与几何性质的结合，解题的关键是分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$