22.2二次函数与一元二次方程（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 第二十二章 二次函数 第22.2 二次函数与 一元二次方程 学 习 目 标 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 2.通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想. 1.二次函数的一般式：_________________， ____是自变量，____是____的函数. 2.二次函数与一元二次方程有什么联系？ 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ 当y=0时，ax2+bx+c=0. y=ax2+bx+c（a≠0） x y x b2-4ac＞0 方程有两个不相等的实数根； b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac＜0 方程无实数根. 复习引入 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 考虑以下问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 互动新授 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值. 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 互动新授 （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ 解：当h=15时，15=20t-5t2, 整理得，t2-4t+3=0, 解得，t1=1,t2=3. ∴当球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m. 互动新授 解：当h=20时，20=20t-5t2, 整理得，t2-4t+4=0, 解得，t1=t2=2. ∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 互动新授 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 解：当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m. 互动新授 解：小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0 整理得，t2-4t=0 解得，t1=0，t2=4 ∴当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s. （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 互动新授 由函数到方程 h=20t-5t2 20t-5t2=15 20t-5t2=20 20t-5t2=20.5 20t-5t2=0. 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切． 例如，已知二次函数y=-x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2＋4x=3（即x2-4x+3=0）．反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3 的值为0，求自变量x的值． 已知二次函数的值，求自变量x的值. 解一元二次方程 互动新授 思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1. 可以看出： (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1. 互动新授 (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. 互动新授 (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系. 互动新授 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： 2个交点 有两个不相等的实数根 1个交点 没有交点 有一个不相等的实数根 没有实数根 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 总结归纳 例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 典例精析 例2 已知二次函数与x轴有两个交点． (1)求实数k的取值范围． (2)若此二次函数有最小值-3，求k的值． 解:(1)令 ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴Δ0，即，解得． (2)， ∵a=，∴x=-1时，y有最小值2k-5， ∵此二次函数有最小值-3，∴2k-5=-3， 解得k=1． 典例精析 1.抛物线y=3x2+6x+3与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2.二次函数y=x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（    ） A．b=-3 B．b=-2 C．b=-1 D．b=2 B A 小试牛刀 1.二次函数y=x2+3x-40的图象与x轴交于A、B两点，求线段AB的长． 解：令x2+3x-40=0， 解得：x1=5，x2=﹣8， ∴A（5，0），B（﹣8，0） ∴AB=5+8=13． 课堂检测 2.已知二次函数y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题： (1)方程x2-6x+8=0的解是什么？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ x y O 2 4 8 解：(1)x1=2，x2=4. (2)x＜2或x＞4. (3)2＜x＜4. 课堂检测 3.如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．    (1)求该图象的解析式； (2)求AC长． 解：（1）把点代入中， 得解得 ∴二次函数的解析式为： （2）对于二次函数 令得 课堂检测 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴． 解得：或-3． 1．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 拓展训练 2.已知：抛物线y=x2+ax+a-2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都有两个交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵ a2-4(a-2)=(a-2)2+4＞0， ∴不论a取何值时， 抛物线 y=x2+ax+a-2与x轴都有两个交点. (2)解：∵x1+x2=-a，x1·x2=a-2， ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=a2-2a+4=3. 解得 a=1. 拓展训练 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系: 课堂小结 1.已知抛物线的部分图像如图所示，求方程的解. 解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为（），则， 解得：． ∴方程的解为或． 课后作业 1.已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，求实数m的值． 解：当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点． 培优作业 感谢聆听! $$