精品解析：2025年天津市滨海新区塘沽第六中学模拟预测数学试题

数学学科学业质量调查 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案写在“答题纸”上考试结束后，将 “答题纸”交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 5. 如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 9. 如图，AC是的直径，点B、D在上，，，则的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 10. 若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14. 将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为__________________． 15. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 16. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 17. 如图，E为正方形的边上一点，F为边延长线上一点，且点G为边上一点，且． 的周长为8，，与交于点H，连接． （1）正方形的边长为__________________________． （2） 的长为____________________________． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，的顶点A ，B，C均落在格点上． （1）的周长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点M，使以点M为圆心，以为半径的与相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_________； （Ⅱ）解不等式②，得_________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为________． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 21. 在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 22. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 23. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把 绕点 逆时针旋转，得，点， 旋转后的对应点为，，记旋转角为，连接 （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，求的长； （3）若点 为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科学业质量调查 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案写在“答题纸”上考试结束后，将 “答题纸”交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A，C，D中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心． 3. 如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解． 【详解】解：由图可知：该几何体的左视图如图所示： 故选B． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 5. 如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值． 【详解】∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 设S△AEF=x， ∵S四边形BCFE=16， ∴， 解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 8. 若关于x一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 9. 如图，AC是的直径，点B、D在上，，，则的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 10. 若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数)的图像是双曲线，当时，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数图像的性质解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象在二、四象限上，且在每一个象限y随x的增大而增大， ∴在第二象限，即； 在第四象限，且y随x的增大而增大，， ∴． 故选B． 11. 如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关的知识是解题的关键． 根据旋转的性质证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合平行线的判定求解即可． 【详解】∵将以点为中心顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 12. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图， 则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．随机概率公式是解题的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球， ∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，解题的关键在于掌握函数图像向下平移的规则．原抛物线的解析式减去2即可． 【详解】解：根据平移规则，向下平移2个单位需在解析式中减去2， , 故答案为：． 15. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥高cm， 故答案是：． 16. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 【答案】450 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 17. 如图，E为正方形的边上一点，F为边延长线上一点，且点G为边上一点，且． 的周长为8，，与交于点H，连接． （1）正方形的边长为__________________________． （2） 的长为____________________________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理．根据的周长为8，结合，可得出，再结合，即可求出正方形的边长；过点作于点，先证点是的中点，于是得出点是的中点，求出，的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 的周长为8， ， ， ， ， 即， 设正方形的边长为， 则， ， ， ， 即正方形的边长为4， 由可得， 点在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， 为的中点， 过点作于点， ， ∴， 点是的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 故答案为：4， ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A ，B，C均落在格点上． （1）的周长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点M，使以点M为圆心，以为半径的与相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 【答案】（1）12 （2）延长至D，使，连接，取的中点E，连接交于点M 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 则的周长， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：延长至D，使，连接，取的中点E，连接交于点M， 则点M即为所求， 故答案为：延长至D，使，连接，取的中点E，连接交于点M． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_________； （Ⅱ）解不等式②，得_________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据不等式的解法即可； （Ⅱ）根据不等式的解法即可； （Ⅲ）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可； （Ⅳ）根据数轴即可写出不等式组的解集． 【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，， 故答案为：； （Ⅱ）解不等式②，得， 故答案为：； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （Ⅳ）由数轴可知，不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组以及不等式的解集在数轴上的表示方法，解题的关键是掌握不等式的解法以及熟知不等式的解集在数轴上的表示方法． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 【答案】（1）40，15 （2）这组数据的平均数是8.3，众数是9，中位数是8 （3）该校800名初中学生中，得分不低于9分学生人数约为380 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中6分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和得分为7分的人数即可求出m； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数； （3）总人数乘以得分不低于9分的学生人数的所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：（分， 在这组数据中，9出现了12次，次数最多， 众数是9分， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的分数都是8分， 中位数是（分， 即这40个样本数据平均数、众数、中位数分别是8.3分，9分，8分． 【小问3详解】 解：（名） 答： 该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数为380． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1）； （2）半径为4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【小问1详解】 解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． 【小问2详解】 如图：连接， 直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 22. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 23. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把 绕点 逆时针旋转，得，点， 旋转后的对应点为，，记旋转角为，连接 （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，求的长； （3）若点 为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，结合平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）由旋转的性质，结合勾股定理判定是等边三角形，进而由中垂线的判定与性质得到，，由勾股定理求出线段长，数形结合得到； （3）由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点，确定相关线段长度，得到点的运动轨迹为以为圆心的圆，根据最小值是；最大值是；结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：连接，延长与相交于点，如图所示： 在中，， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴点，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点， ，，，，， 在中，，则点的运动轨迹为以为圆心，的圆上， 如图所示： 由点到圆周上点的距离关系得到最小值是；最大值是； ， 最小值是；最大值是，即． 【点睛】本题考查旋转综合，旋转性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质、点到圆周上点距离最值，熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合，根据题意准确作出辅助线求解是解决问题的关键． 25. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． 【小问4详解】 解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴ ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $