内容正文:
吉安市2024-2025学年(下)八年级数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1. 下列各式中,是一元一次不等式的有( )
①,②,③,④,⑤,⑥
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的定义,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式为一元一次不等式.
【详解】解:①是一元一次不等式;
②是一元二次不等式;
③是分式;
④二元一次不等式;
⑤是一元一次不等式;
⑥是二元一次不等式,
故正确的有两个
故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义,熟练掌握不等式的定义是正确解题的关键.
2. 若a<b,则下列不等式正确的是( )
A. a﹣2>b﹣2 B. a﹣b>0 C. D. ﹣2a>﹣2b
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案.
【详解】解:A、∵a<b,∴a﹣2<b﹣2,错误;
B、∵a<b,∴a﹣b<0,错误;
C、∵a<b,∴,错误;
D、∵a<b,∴﹣2a>﹣2b,正确;
故选:D.
【点睛】此题主要考查了不等式的性质,正确把握不等式的基本性质是解题关键.
3. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时,应先假设( )
A. 三个内角都是锐角 B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角
【答案】C
【解析】
【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤,根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可.
【详解】解:用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”,应先假设三个内角都不是锐角.
故选:C.
4. 小明要从天府广场到武侯祠,两地相距2.5千米,已知他步行的平均速度为70米/分钟,跑步的平均速度为200米/分钟,若他要在不超过40分钟的时间内到达,那么他至少需要跑步多少分钟?设他跑步的时间为x分钟,则列出的不等式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式,根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可,解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系.
【详解】解:设他跑步的时间为分钟,则他步行时间为分钟,
根据题意,得:,
故选:A.
5. 年月日至1日,第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约,携手实现经济共同发展.北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓,使其到三地的距离相等,如图所示则中转仓的位置应选在( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理,正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理:和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理,即可得到答案.
【详解】到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上,到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上,则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处.
故选:A.
6. 如图,在中,,,D为BC的中点,,垂足为过点B作交DE的延长线于点F,连接CF,现有如下结论:
平分;;;;.其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】由,推出AD是的中线,如果是角平分线,则,显然与已知矛盾,故错误.
易证是等腰直角三角形,故BF.
由≌,推出,由,推出,即.
在中,,易证.
由于≌,推出,推出,于,即可推出.
【详解】解:错误,
,
是的中线,如果是角平分线,则,显然与已知矛盾,故错误.
正确
,,
,
,
是等腰直角三角形,故BF.
正确,,,
≌,
,
,
,
.
正确在中,,
,是等腰直角三角形,
.
正确≌,
,
,
,
.
故选B.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7. 如图,数轴上所表示的关于x的不等式的解集为________.
【答案】x≤3
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可.
【详解】解:由数轴可得:关于x的不等式的解集是:x≤3.
故答案为:x≤3.
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键.
8. 如图,中,,于点D,,,则的长是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含直角三角形的性质;
求出,然后利用两次含直角三角形的性质即可求出.
【详解】解:∵,,
∴,,
∵,即,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
9. 已知关于的方程的解是非负数,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】把当作已知数表示出方程的解,根据方程的解为非负数列出不等式,确定出的范围即可.
【详解】解:方程,
解得:,
∵关于的方程的解是非负数,
∴,
解得:,
∴的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式.根据题意得出不等式是解题的关键.
10. 已知关于x的不等式组有解,则所有满足条件的正整数m的和为____.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
分别求出每一个不等式的解集,根据不等式组的解集的情况可得答案.
【详解】解:由得:,
由得:,
不等式组有解,
,
则正整数m的和为.
故答案为:6.
11. 如图,一次函数与的图象交于点,则关于x的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象,可以发现当时,一次函数的图象在的图象的上方,从而可以得到不等式的解集.
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象,利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键.
【详解】解:由图象可得,
当时,一次函数的图象在的图象的下方,
∴不等式的解集是:
故答案为:.
12. 在中,,,,D为中点,E为边上一动点,当构成的四边形有一组邻边相等时,则的长可以是_______.
【答案】2或3或
【解析】
【分析】分三种情况考虑,当时,由即可求出的长度;当时,过点D作于F,通过解直角三角形可得出的长度,再根据等腰三角形的三线合一即可得出的长度;当时,过点D作于F,设,则,利用勾股定理表示出的值,结合即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,进而即可得出的长度.综上即可得出结论.
【详解】解:在中,,,
,
,
∵D为中点,
,
当构成的四边形有一组邻边相等时,由以下三种情况.
(1)如图1,当时,
,
;
(2)如图2,当时,作,垂足为点F,
,,
,
在中,,
;
;
(3)如图3,当时,作,垂足为点F,
,
设,则,
在中,,,,
,即,
解得:,
即,
。
故答案为:2或3或.
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程,分三种情况寻找的长度是解题的关键.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13. 解不等式(组),并将解集在数轴上表示出来.
(1)
(2)
【答案】(1),数轴见解析
(2)不等式组无解,数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式以及不等式组的求解,在数轴上表示不等式组的解集,正确求出不等式的解集是解题关键.
(1)根据去分母,去括号,移项等过程求解不等式,在数轴上表示解集即可;
(2)分别求出每个不等式的解集,在数轴上表示出不等式组的解集即可.
【小问1详解】
解:,
,
,
,
,
将解集表示数轴上.如图所示:
【小问2详解】
,
解不等式①得:,
解不等式②得∶,
将解集表示在数轴上,如图所示:
∴不等式组无解.
14. 如图,在与中,于点E,于点D,,.证明:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定.根据题意利用判定即可得到本题答案.
【详解】证明:∵,,
∴,
在和中,
,
∴.
15. 图1、图2、图3均是的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中找一格点N,按下列要求作图.
(1)在图1中,连结NA、NB,使.
(2)在图2中,连结NA、NB、NC,使.
(3)在图3中,连结NA、NC,使.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】(1)结合网格特点和勾股定理找出格点,使得即可;
(2)先根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形,从而找出的中点所在的格点即为格点;
(3)先结合网格特点和勾股定理可得,再在的上方找一格点,使得即可.
【小问1详解】
解:如图1,格点即为所作.(画出其中一个即可)
【小问2详解】
解:由网格可知,,
,
,
是等腰直角三角形,
则的中点所在的格点即为所求的格点,如图2所示:
【小问3详解】
解:如图3,格点即为所作.
理由:,
点在上,
由圆周角定理得:.
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、圆周角定理,熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题关键.
16. 已知关于的方程,
(1)若该方程的解满足,求的取值范围;
(2)若该方程的解是不等式的最小整数解,求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先求出方程的解,再根据方程的解满足,得到关于x的不等式,即可求解;
(2)求出不等式的解集,根据该方程的解是不等式的最小整数解,可得,即可求解.
【小问1详解】
解:,
解得:,
∵该方程的解满足,
∴,
解得:;
【小问2详解】
解:
去括号得:,
移项合并同类项得:,
解得:.
∵该方程的解是不等式的最小整数解,
∴,
∴,解得:.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程,解一元一次不等式,熟练掌握解一元一次方程,解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.
17. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
(1)求值;
(2)当为直角三角形时,求直线的表达式.
【答案】(1)12 (2)
【解析】
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质,点的坐标,熟练掌握角三角形的性质,点的坐标,以及待定系数法求出一次函数的表达式是解决问题的关键.
(1)依题意得点在轴的正半轴上,,再由勾股定理得,由此可得出的值;
(2)根据点在轴的正半轴上得,因此当为直角三角形时,只有,由勾股定理得,则,由此解出,进而得点,然后利用待定系数法求出直线的表达式即可.
【小问1详解】
解:∵点,点,点,
∴点在轴的正半轴上,,
,
在中,由勾股定理得:,
在中,由勾股定理得:,
;
【小问2详解】
解:∵点在轴的正半轴上,
,
∴当为直角三角形时,只有,
在中,由勾股定理得:,
由(1)可知:,
,
解得:(不合题意,舍去),
,
设直线的表达式为:,
将点,点代入,
得:,
解得:,
∴直线的表达式为:.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18. 如图Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC,交AD于E,交AC于F.
(1)求证:△AEF是等边三角形;
(2)求证:BE=EF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C=30°,∠CAD=60°,又由BF平分∠ABC,可得∠ABF=∠CBF=30º即可证得∠AFB=∠AEF,继而证得:△AEF为等边三角形.
(2)由△AEF是等边三角形可得EF=AE,通过等量代换即可得出结论.
【小问1详解】
证明:∵∠BAC=90º,∠C=30º
∴∠ABC=60º
∴∠BAD=30º
∴∠CAD=60º
又∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF=30º
∴∠AFB=∠C+∠CBF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∠AEF=∠BAD+∠ABF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠CAD=∠AFB=∠AEF
∴△AEF是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)
【小问2详解】
证明:∵△AEF是等边三角形
∴EF=AE
又∵∠BAD=∠ABF=30º
∴BE=AE(等角对等边)
∴BE=EF(等量代换)
【点睛】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
19. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为,其营养成分表如下:
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包?
(2)考虑到健康饮食的需求,若每份午餐需选用这两种食品共7包,并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于,且脂肪含量要尽可能低.请通过计算,求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案.
【答案】(1)应选用A种食品4包,B种食品2包
(2)应选用A种食品3包,B种食品4包
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用:
(1)设选用A种食品x包,种食品y包,根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组,即可求解;
(2)设应选用A种食品a包,B种食品包,根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式,求出不等式的最大整数解即可.
【小问1详解】
解:设选用A种食品x包,种食品y包,
由题意可知,,
解得.
答:应选用A种食品4包,B种食品2包.
【小问2详解】
解:设应选用A种食品a包,B种食品包,
由题意可知,.
解得:.
当选用A种食品a包时,脂肪含量(单位:g)为,
脂肪含量随a的增大而减小.
∴时既符合蛋白质的需求,又能够保证脂肪含量最少.
B种食品:(包).
答:应选用A种食品3包,B种食品4包.
20. 如图,在中,,点P在上运动,点D在上运动,始终保持与相等,的垂直平分线交于点E,交于点F,连接.
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求的长.
【答案】(1),理由见解析
(2)DE的长为4.75
【解析】
【分析】(1)根据等边对等角,直角三角形的两个锐角互余,线段垂直平分线的性质,解答即可;
(2)连接,设,则,,利用勾股定理解答即可.
本题考查了直角三角形两个锐角互余,等边对等角,线段垂直平分线,勾股定理,熟练掌握性质和定理是解题的关键.
【小问1详解】
解:.理由如下:
理由:∵,
∴,
∵是的垂直平分线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【小问2详解】
解:如图,连接,设,则,,
∵,
∴,
∴,
解得,
∴的长为.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21. 如图,是等边三角形内一点,,以为边在的左侧作等边三角形,连接.
(1)根据题意补全图形;
(2)求的度数;
(3)延长交于点,判断是否为线段的中点,并说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)
(3)点是线段的中点,理由见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质,三角形全等的判定及性质,等腰三角形的性质.
(1)根据题意作图即可;
(2)运用“”证明,根据全等三角形的对应边性质即可得证;
(3)过点作的平行线,交的延长线于点,则.证明,进而得到,因此,从而,从而可证得,根据全等三角形的性质即可得到点D是线段的中点.
【小问1详解】
解:补全图形如图所示:
【小问2详解】
解:是等边三角形,
,.
是等边三角形,
,,
,
即.
在和中,
.
.
【小问3详解】
解:点是线段的中点.理由如下:
过点作的平行线,交的延长线于点.
则.
,,
.
,,
.
.
,
.
,
,
.
,
.
,
∴点D是线段的中点.
22. 阅读理解:
【形成概念】我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合,且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫做“有缘组合”;当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫做“无缘组合”
【初步感知】
(1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”,并说明理由;
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【问题解决】
(2)若关于的组合是“无缘组合”,求的取值范围
【答案】(1)组合(Ⅰ)是“无缘组合”; 组合(Ⅱ)是“有缘组合”; (2)
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义,关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解.
(1)先求方程的解,再解不等式,根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义,判断即可;
(2)先解方程和不等式,然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围.
详解】解:(1)(Ⅰ)∵,
∴,
∵,
∴,
∵2不在范围内,
∴(Ⅰ)组合是“无缘组合”;
(Ⅱ),
去分母,得:,
去括号,得:,
移项,合并同类项,得:.
解不等式,
去分母,得:,
去括号,得:,
移项,合并同类项,得:,
化系数为1,得:.
∵在范围内,
∴(Ⅱ)组合是“有缘组合”;
(2)解方程,
去分母,得,
移项,合并同类项,得:,
化系数为1得:,
解不等式,
去分母,得:,
移项,合并同类项,得:,
∵关于x的组合是“无缘组合,
∴,
解得:.
六、解答题(本大题共1小题,共12分)
23. 正方形中,点E、F在、上,且,与交于点G.
(1)如图1,求证;
(2)如图2,在上截取,的平分线交于点H,交于点N,连接,求证:①是等腰直角三角形;②.
【答案】(1)详见解析
(2)①详见解析;②详见解析
【解析】
【分析】(1)根据四边形 是正方形得到,,结合,即可得到答案;
(2)①根据,即可得到,从而得到,结合,,可得,即可得到,结合平分即可得到,即可证明;
②过点B作,交于点H,易得,从而得到,易证 ,即可得到答案;
【小问1详解】
证明:∵四边形 是正方形,
∴,
∵,
∴;
【小问2详解】
证明:①∵,
∴,
,
,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵平分,
∴ ,
∵,
∴,
∴,
即:,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形;
②如图所示,过点B作,交于点H,
∵,,
∴,
∴ ,
∴,
∴是等腰直角三角形 ,
∴,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
在和中,
∴ ,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质,正方形的性质,勾股定理,解题的关键是作辅助线找到等量代换的线段.
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吉安市2024-2025学年(下)八年级数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1. 下列各式中,是一元一次不等式的有( )
①,②,③,④,⑤,⑥
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 若a<b,则下列不等式正确的是( )
A. a﹣2>b﹣2 B. a﹣b>0 C. D. ﹣2a>﹣2b
3. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时,应先假设( )
A. 三个内角都是锐角 B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角
4. 小明要从天府广场到武侯祠,两地相距2.5千米,已知他步行的平均速度为70米/分钟,跑步的平均速度为200米/分钟,若他要在不超过40分钟的时间内到达,那么他至少需要跑步多少分钟?设他跑步的时间为x分钟,则列出的不等式为( )
A. B.
C. D.
5. 年月日至1日,第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约,携手实现经济共同发展.北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓,使其到三地距离相等,如图所示则中转仓的位置应选在( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点
6. 如图,在中,,,D为BC的中点,,垂足为过点B作交DE的延长线于点F,连接CF,现有如下结论:
平分;;;;.其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7. 如图,数轴上所表示的关于x的不等式的解集为________.
8. 如图,中,,于点D,,,则的长是______.
9. 已知关于的方程的解是非负数,则的最小值为________.
10. 已知关于x的不等式组有解,则所有满足条件的正整数m的和为____.
11. 如图,一次函数与的图象交于点,则关于x的不等式的解集是______.
12. 在中,,,,D为中点,E为边上一动点,当构成的四边形有一组邻边相等时,则的长可以是_______.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13. 解不等式(组),并将解集在数轴上表示出来.
(1)
(2)
14. 如图,在与中,于点E,于点D,,.证明:.
15. 图1、图2、图3均是正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中找一格点N,按下列要求作图.
(1)在图1中,连结NA、NB,使.
(2)在图2中,连结NA、NB、NC,使.
(3)在图3中,连结NA、NC,使.
16. 已知关于的方程,
(1)若该方程的解满足,求的取值范围;
(2)若该方程的解是不等式的最小整数解,求的值.
17. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
(1)求的值;
(2)当为直角三角形时,求直线表达式.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18. 如图Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC,交AD于E,交AC于F.
(1)求证:△AEF等边三角形;
(2)求证:BE=EF.
19. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为,其营养成分表如下:
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包?
(2)考虑到健康饮食的需求,若每份午餐需选用这两种食品共7包,并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于,且脂肪含量要尽可能低.请通过计算,求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案.
20. 如图,在中,,点P在上运动,点D在上运动,始终保持与相等,的垂直平分线交于点E,交于点F,连接.
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求的长.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21. 如图,是等边三角形内一点,,以为边在的左侧作等边三角形,连接.
(1)根据题意补全图形;
(2)求的度数;
(3)延长交于点,判断是否为线段的中点,并说明理由.
22. 阅读理解:
【形成概念】我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合,且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫做“有缘组合”;当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫做“无缘组合”
【初步感知】
(1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”,并说明理由;
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【问题解决】
(2)若关于的组合是“无缘组合”,求的取值范围
六、解答题(本大题共1小题,共12分)
23. 正方形中,点E、F在、上,且,与交于点G.
(1)如图1,求证;
(2)如图2,在上截取,平分线交于点H,交于点N,连接,求证:①是等腰直角三角形;②.
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