第四章 4.2 一元一次方程及其解法（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第四章 一元一次方程 4.2 一元一次方程及其解法（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解一元一次方程的概念，能识别一个方程是不是一元一次方程。 2. 了解解一元一次方程的基本目标。 3. 掌握等式的基本性质，并能运用等式的基本性质解简单的一元一次方程。 知识点梳理 1. 一元一次方程的概念 · 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 · 要点解析： · “一元”：指方程中只含有一个未知数。 · “一次”：指方程中未知数的最高次数是1。 · “整式方程”：方程的等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。 · 一般形式：我们通常把一元一次方程化为形如 ax + b = 0 (其中 a、b 是常数，且 a 不等于 0) 的形式，这种形式叫做一元一次方程的一般形式。 2. 等式的基本性质 · 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 · 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 ac = bc，a ÷ c = b ÷ c （c 不等于 0）。 · 注意：运用性质2时，除数一定不能为0。 3. 解一元一次方程 · 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 · 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 · 解一元一次方程的基本目标：通过对方程进行适当的变形，把方程转化为 x = a (其中 a 是常数) 的形式。 · 利用等式性质解方程的步骤（初步）： · 移项（依据等式性质1）：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。（注意：移项要变号） · 合并同类项（如果需要）：把方程中含有相同未知数的项合并。 · 系数化为1（依据等式性质2）：在方程两边都除以未知数的系数（系数不为0），使方程化为 x = a 的形式。 4. 检验一个数是不是方程的解 · 方法：将这个数分别代入方程的左边和右边，计算出左右两边的值。如果左边的值等于右边的值，那么这个数就是方程的解；否则，就不是。 易错点提醒 1. 判断一元一次方程时： · 容易忽略“整式方程”这一条件，比如分母中含有未知数的方程不是一元一次方程。 · 对“未知数的次数是1”理解不清，比如 x 的平方的次数是2，就不是一次。 · 方程化简后再判断是否为一元一次方程。例如，方程 2x + 3 - 2x = 3 化简后没有未知数，就不是一元一次方程。 2. 运用等式性质时： · 等式两边同时加上（或减去）、乘同一个数（或式子）时，容易只对一边进行操作，而忘记对另一边进行同样的操作。 · 运用等式性质2时，两边除以同一个数，容易忽略这个数不能为0。 · 在方程变形时，容易把“移项”和“等式性质1”的操作混淆，导致符号错误。 知识点总结 · 一元一次方程：一个未知数、次数是1、整式方程。 · 等式性质：是解方程的依据，性质1（加减），性质2（乘除，除数不为0）。 · 解方程基本思路：通过等式性质，将方程逐步化为 x = a 的形式。 · 解方程的步骤（初步）：主要包括利用等式性质进行“移项”和“化系数为1”等操作。 预习建议 1. 认真阅读课本：仔细阅读教材中关于一元一次方程的概念、等式性质和解方程的内容，重点理解关键词句。 2. 动手操作：对于等式的基本性质，可以自己写几个简单的等式，按照性质进行变形，观察结果是否仍然相等，加深理解。 3. 多做判断练习：自己举例或从课本练习中找一些方程，判断它们是否是一元一次方程，巩固概念。 4. 尝试解简单方程：从最简单的方程入手，如 x + 5 = 8， 3x = 12 等，尝试运用等式性质求出未知数的值，并进行检验。 5. 及时总结反思：在预习过程中，遇到不理解的地方做上记号，带着问题听课；对于自己容易出错的地方，及时记录下来，加以注意。 6. 带着问题听课：明确自己预习时哪些地方明白了，哪些地方还不清楚，课堂上重点听老师讲解这些疑点。 巩固练习 一、选择题 1． 已知m，n都是质数，若关于x的方程 mx+5n=97的解为3，则 （　　） A．0 B．3 C．5 D．13 2．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，那么不是“巧数”的两位数的个数是（　　）. A．82 B．84 C．86 D．88 3．若方程和的解相同，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 5．的解为（　　） A． B． C． D． 6．方程|x+5|-|3x-7|=1的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．使等式 成立的有理数 是（　　） A．任意一个非负数 B．任意一个非正数 C．小于2的有理数 D．任意一个有理数 9．下列判断： ①若a+b+c=0，则（a+c）2=b2．②若a+b+c=0，且abc≠0，则 ．③若a+b+c=0，则x=1一定是方程a x+b+c=0的解④若a+b+c=0，且abc≠0，则abc＞0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 10．如果等式ax=b成立，则下列等式恒成立的是（　　）． A．abx=ab B．x= C．b-ax=a-b D．b+ax=b+b 二、填空题 11．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　． 12．若代数式的值与的值互为相反数，则的值为　 　． 13．解关于x的方程 时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“-1”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为x=2，则方程的正确的解为　 　. 14．已知关于x的方程（m为正整数）有整数解，则m的值为　 　 15．已知a，b为定值，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是1，则a+b=　 　. 16．若关于x的一元一次方程 x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程 y+2018+ ＝2y+m+2的解为　 　． 17．x＝　 　时，式子与互为相反数． 18．按下面的程序计算： 如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值可以是　 　 ． 19．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　． 三、解答题 20．已知关于x的方程 问当a 取何值时： （1）方程无解. （2）方程有无穷多解. 21．解下列关于x的方程： （1） （2） （3） ax-1= bx. （4）4x+b= ax-8. 22．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． （1）下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（　　） ②（　　） ③（　　） （2）若关于的方程是“幸福方程”，求的值； （3）若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 23．我们知道 现在，我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令和 分别求得 （称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）. 在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x<-1；②-1≤x<2；③x≥2.从而化简代数式 可分以下3种情况： ①当x<-1时，原式= ②当-1≤x<2时，原式=x+1-（x-2）=3； ③当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1. 阅读上述材料，回答问题. （1）分别求出|x+2|和|x-4|的零点值. （2）化简代数式|x+2|-|x-4|. （3）解方程|x-1|+|x+3|=6. 24．观察下列两个等式： 给出定义如下：我们称使等式a-b=2ab-1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为(a，b)。如：数对(1， )，(2， ）都是“同心有理数对”。 （1）在数对(-2，1)，(3， )中，属于“同心有理数对”的是　 　。 （2）若(a，3)是“同心有理数对”，求a的值。 （3）若(m，n)是“同心有理数对”，则(-n，-m) (填“是”或“不是”)“同心有理数对”，请说明理由。 25．已知多项式 （1）若代数式A-B 的值与x 无关，求m，n的值。 （2）在(1)的条件下，若关于 x 的方程 有无数个解，求a，b的值。 （3）在(2)的条件下，关于x的方程|x+a|- 有无数个解，求c 的值。 参考答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．D 11． 12． 13．x=1 14．1或4 15．0 16．y＝2017 17． 18．54或14或4 19． 20．（1）解：原方程整理： 化简得： 方程无解条件：系数且常数项 ， 由，得 所以 。 当，常数项，不满足“无解”； 当，常数项，满足. 即时，方程无解 . （2）解：由，得 ， 当，常数项，满足； 当，常数项，不满足. 即时，方程有无穷多解 . 21．（1）解：原式= 解得： . （2）解：原式= ： 解得：. （3）解：原式= → 当，（唯一解 ）； 当，左边，右边，无解 . （4）解：原式= → 当，（唯一解 ）； 当： 若，方程为，无数解； 若，方程为非零数，无解 . 22．（1）；； （2）解：， 解得：， 根据方程是“幸福方程”， 可得：或， 解得：或； 答：的值 为或-4. （3）解：， 解得：， 方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 解得：； ②当， 可化简变形为， 解得：， 因此，当时，该方程无解； 当时，； 综上所述，当时，； 当时，①时，无解；②时，． 23．（1）解：令x+2=0，得x=-2； 令x-4=0，得x=4， ∴|x+2|和|x-4|的零点值分别是-2，4. （2）解：①当x<-2时，原式=-(x+2)-[-(x-4)]=-6； ②当-2≤x<4时，原式=(x+2)-[-(x-4)]=2x-2； ③当x≥4时，原式=(x+2)-(x-4)=6. （3）解：解方程|x-1|+|x+3|=6， ①当x<-3时，方程可化为-(x-1)-(x+3)=6，解得x=-4； ②当-3≤x<1时，方程可化为-(x-1)+(x+3)=6，得4=6，所以不存在符合条件的x； ③当x≥1时，方程可化为(x-1)+(x+3)=6，解得x=2. 综上所述，方程的解是x=-4或x=2. 24．（1）(3，) （2）解：∵(a，3)是“同心有理数对”， ∴a-3=6a-1，∴a= （3） 解：(-n，-m)是“同心有理数对”。理由如下： 因为是"同心有理数对”，所以 因为， 所以 所以(-n，-m)是“同心有理数对”。 25．（1）解： ∵该代数式的值与x 无关， ∴2+2n=0，m-3=0， ∴m=3，n=-1 （2）解： 由(1)，得方程可化为( ax-b)-(2x+ ab)=6， 即(a-2)x-(b+ ab)=6。 ∵此方程有无数个解， ∴a-2=0，b+ ab=-6， ∴a=2，b=-2 （3）解： 由(2)，得方程为|x+2|-|x-2|=c。 分三种情况讨论： ①当x≥2时，原方程可化为x+2-x+2=c，解得c=4，此时等式恒成立，方程有无数个解； ②当-2≤x<2时，原方程可化为x+2-2+x=c，此时方程有唯一解 ③当x<-2时，原方程可化为-x-2-2+x=c，解得c=-4，此时等式恒成立，方程有无数个解。 综上所述，当c=4或-4时，方程有无数个解 学科网（北京）股份有限公司 $$