专题2.1 命题、定理、定义重难点题型专训（1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第一册）

专题2.1 命题、定理、定义重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 命题 题型二 命题的概念 题型三 判断命题的真假 题型四 指出命题的条件和结论 题型五 已知命题的真假求参数 拓展训练一 命题真假与求参相关问题 知识点一：命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【即时训练】 1．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 【答案】D 【分析】先分析甲乙去过的城市数，然后根据甲乙的说法进行判断即可. 【详解】由题意可判断出甲去过两个城市，乙去过一个城市， 因为甲没去过B城市，所以甲去过A和C城市， 又因为乙没去过C城市且和甲去过同一城市，所以乙一定去过A城市， 故选：D. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 【答案】 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则的否定形式为. 故答案为： 【经典例题一 命题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）小乐记录了自己两次跑步的运动数据，提出以下两个关于运动时间与配速的命题：（注：配速为每公里所用时间，单位：分钟/公里，数值越小表示速度越快） 命题①：若第一次跑步5公里用时25分钟，第二次跑步8公里用时40分钟，则两次跑步配速相等. 命题②：若两次跑步配速分别为和 (，>0，且<)，则对于任意正数t，都有. 下列说法正确的是（ ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【分析】命题①的真假判断用配速公式：配速总时间总路程，命题②的真假判断用作差法分析 【详解】命题①的真假判断：配速公式：配速总时间总路程. 第一次配速：（分钟／公里）；第二次配速：（分钟／公里）. 结论：两次配速均为5分钟／公里，命题①为真. 命题②的真假判断：  作差法分析：.已知条件：且，则分子，分母，整体差值小于0.结论：成立，命题②为真. 故选A. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）举例判断即可； （2）令，均为整数，然后化简变形进行判断. 【详解】（1）假命题．例如一个钝角是160°，一个锐角是20°，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角． （2）真命题．证明：记均为整数． 令 则均为奇数． 所以． 因为为偶数， 所以为奇数， 即为奇数， 即若为奇数，则是奇数． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【答案】满足满足 【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解. 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当时，； (3)若或，则. 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的定义判断； （2）代入后得到，得到结论； （3）代入得到. 【详解】（1）是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． （2）是假命题，满足，故为假命题. （3）是真命题，或，能得到. 【经典例题二 命题的概念】 【例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 1．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 2．（多选题）（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【分析】根据命题的定义判断可得答案. 【详解】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据可以判断真假的陈述句为命题的定义，逐项分析判定即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 【经典例题三 判断命题的真假】 【例1】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题. 综上，和均为真命题. 故选：B. 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【分析】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【答案】ABC 【分析】举例子即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【分析】根据条件得出同号，即可求出结果. 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 【经典例题四 指出命题的条件和结论】 【例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【答案】A 【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可. 【详解】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确. 对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误； 对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误； 对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误. 故选：A 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【详解】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 3．（2025高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 4．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 【经典例题五 已知命题的真假求参数】 【例1】（2024高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得 故选：D 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，是真命题，即，可得的取值范围； （2）根据题意可得若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，结合（1）的结论可解. 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题， 即方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是； （2）若命题为真命题， 由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意； 所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题， 此时且，即，可得实数的取值范围是. 1．（2024高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出. 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 2．（多选题）（24-25高一·全国·期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题目条件列不等式计算即可. 【详解】依题意，， ∴， ∴实数的取值范围是， 故选：BC. 3．（2023高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据命题的真假列出，解不等式即可求解. 【详解】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 4．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【拓展训练一 命题真假与求参相关问题】 【例1】（24-25高一上·海南·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原命题为假命题其否定形式为真命题，从而将问题转化为恒成立问题，再求解参数的取值范围可得出结果. 【详解】根据题意，恒成立 解得 ，选项C正确. 故选：C. 【例2】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或者p假q真，由此列出不等式，从而可得出答案. 【详解】解：若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真， 当p真q假，则，解得， 或，无解， 综上，. 故选：C. 2．（多选题）（22-23高一·江苏·假期作业）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可 （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 1．（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若 ⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含与不包含的定义，利用反例，可得答案. 【详解】对于①，因集合A，B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题； 对于②，因集合A，B满足 ⊈B，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题； 对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题. 所以①②是真命题. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】根据素数的概念判断命题的真假，再由命题的否定与命题真假的关系得解. 【详解】因为是素数， 所以命题是假命题，是真命题， 所以是真命题，是假命题， 故和都是真命题， 故选：C 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 5．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 6．（多选题）（2023高一·江苏·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】AB 【分析】根据命题的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确； 故选：AB 7．（多选题）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D. 【详解】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）（24-25高一·全国·课后作业）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】根据中位数定义可确定，判断选项中的取值集合是否满足即可. 【详解】根据中位数定义可知，只需，则中位数必为 选项中的取值集合均满足，均正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据命题真假性求解参数范围的问题，属于基础题. 9．（多选题）（24-25高一上·全国·随堂练习）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 10．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 【答案】AB 【分析】根据三角形内角和判断A；根据圆的几何性质可判断B；举反例判断C；根据两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等判断D。 【详解】由于三角形内角和为，故内角中最多有一个钝角， 即在一个三角形中至少有两个锐角，A正确； 根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确； 不妨取和互余，它们的补角为和，这两角不互余，C错误； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等， 两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误， 故选：AB 11．（22-23高一·全国·课后作业）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 【答案】①③ 【分析】①叙述正确，为真命题，面积相等的三角形不一定全等，②为假命题；，则③为真命题；若，则，故④为假命题. 【详解】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题； 面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题； 若，则，故有实数解，则③为真命题； 若，则，故④为假命题. 故答案为：①③. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是 .（填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②若果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 【答案】① 【分析】根据等式的性质逐一判断即可. 【详解】如果，且，那么 由推不出或，如 由推不出，如时 由推不出，如时 故答案为：① 13．（24-25高一·全国·课后作业）下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 【答案】③④ 【分析】在的情况下，利用确定方程均有实根，由此可知①正确； 分别在和确定除以的余数，知②正确； 通过反例可确定③④错误. 【详解】对于①，方程为一元二次方程，； 当时，若，则，方程有实根；①正确； 对于②，若，则，则除以的余数是； 若，则，则除以的余数是； 综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确； 对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误； 对于④，若，则，④错误. 故答案为：③④. 14．（2024高一·全国·课后作业）把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式： . 【答案】若x＝2，则x2－3x＋2＝0 【分析】找到命题的条件和结论，即可改成“若p，则q”的形式 【详解】命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”可以改写成“若x＝2，则x2－3x＋2＝0” 故答案为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0 【点睛】本题主要考查了指出命题的条件和结论，属于基础题. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解； （2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解. 【详解】（1）因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； （2）因为，且， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； （3）因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； （4）当时，互为子集，所以该命题为假命题. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 18．（23-24高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. （1）实数的平方是非负数； （2）等底等高的两个三角形是全等三角形； （3）当 时， ； （4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【答案】答案见解析 【分析】找到原命题的条件部分和结论部分，进而将命题改写成“若p，则q”的形式. 【详解】（1）若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题； （2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不符合全等三角形的条件； （3）若，则，是假命题，比如若，则 ； （4）若一个点在一个角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题. 【点睛】本题考查命题及其真假的判断，把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论不太明显，需要补充条件，需要注意的是命题改写的形式不唯一. 19．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 20．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 命题、定理、定义重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 命题 题型二 命题的概念 题型三 判断命题的真假 题型四 指出命题的条件和结论 题型五 已知命题的真假求参数 拓展训练一 命题真假与求参相关问题 知识点一：命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【即时训练】 1．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 2．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 【经典例题一 命题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）小乐记录了自己两次跑步的运动数据，提出以下两个关于运动时间与配速的命题：（注：配速为每公里所用时间，单位：分钟/公里，数值越小表示速度越快） 命题①：若第一次跑步5公里用时25分钟，第二次跑步8公里用时40分钟，则两次跑步配速相等. 命题②：若两次跑步配速分别为和 (，>0，且<)，则对于任意正数t，都有. 下列说法正确的是（ ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当时，； (3)若或，则. 【经典例题二 命题的概念】 【例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 1．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 【经典例题三 判断命题的真假】 【例1】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【经典例题四 指出命题的条件和结论】 【例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 3．（2025高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 4．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【经典例题五 已知命题的真假求参数】 【例1】（2024高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 1．（2024高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 2．（多选题）（24-25高一·全国·期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【拓展训练一 命题真假与求参相关问题】 【例1】（24-25高一上·海南·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（多选题）（22-23高一·江苏·假期作业）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 3．（24-25高二上·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 1．（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024高三·全国·专题练习）下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若 ⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 5．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 6．（多选题）（2023高一·江苏·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 7．（多选题）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 8．（多选题）（24-25高一·全国·课后作业）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一上·全国·随堂练习）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 11．（22-23高一·全国·课后作业）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是 .（填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②若果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 13．（24-25高一·全国·课后作业）下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 14．（2024高一·全国·课后作业）把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式： . 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 18．（23-24高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. （1）实数的平方是非负数； （2）等底等高的两个三角形是全等三角形； （3）当 时， ； （4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 19．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 20．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$