精品解析：吉林省长春力旺实验中学2024-2025学年七年级下学期第一阶段月考数学试题

长春力旺实验中学2024-2025学年度下学期 七年级数学学科第一阶段教学诊断试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤是一元一次方程的有几个（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：①：仅含未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； ②：含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不符合一元一次方程的定义； ③：未知数的次数为2，不符合“次数为1”的条件，不符合一元一次方程的定义； ④：分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； ⑤整理为：仅含未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； 综上，符合一元一次方程定义的为①和⑤，共2个． 故选：C． 2. 根据等式的性质，下列变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟知等式的性质：基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式；基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数), 所得结果仍是等式．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则或，故该选项变形错误，不符合题意； B、若，则，故该选项变形错误，不符合题意； C、若，，则，故该选项变形错误，不符合题意； D、若，则，故该选项变形正确，符合题意； 故选：D． 3. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A. 均用两点之间线段最短来解释 B. 均用两点确定一条直线来解释 C. 现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D. 现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线和两点之间线段最短的知识点，解题的关键是理解此知识点的含义． 【详解】现象1：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释； 现象2：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 故选C． 4. 已知是关于的方程的解，那么的值为（　　） A. B. C. 8 D. -8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．先将代入方程中得到，进而解方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 5. 如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“成”相对的是（　　）     A. 竞 B. 有 C. 事 D. 者 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体展开图中相对面的位置特征（相间、“Z”端是相对面 ），找出与“成”相对的面．本题主要考查了正方体展开图中相对面的识别，熟练掌握“正方体展开图中相对的面之间相隔一个正方形”是解题的关键． 【详解】解：∵ 正方体展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形 ∴ “志”与“事”相对，“者”与“竟”相对 ∴与“成”相对的是“有”． 故选：． 6. 已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则下列不等式符合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴得出不等式的解集，再分别求解各选项不等式，对比解集找出符合的选项．本题主要考查了一元一次不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ）是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为． 选项A：解得，不符合． 选项B：解得，不符合． 选项C：解得，符合． 选项D：解得，不符合． 故选：． 7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意，得, 故选：A． 8. 若关于的方程组的解满足，则的化简结果是（　　） A. 6 B. -6 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】解方程组得，由知，解得，再根据绝对值的性质求解即可．本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解方程组得， ， ， 解得， ∴ ， 故选：． 二、填空题 9. 用不等式表示“与的差是非负数”___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“非负数”的含义以及正确表示出“与的差”． 先表示出“与的差”再根据“非负数即大于等于0”列出不等式． 【详解】解：“与的差”用代数式表示为， 非负数是指大于等于0的数， 因为“与的差是非负数”， 所以可列不等式为． 故答案为：． 10. 已知是常数，若和是同类项，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 11. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 春节期间，欧亚商场进行促销活动，某种品牌的加湿器原价为200元，打九折出售后仍可获得的利润，则这种商品的进价为_____元． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设这种商品的进价为x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这种商品的进价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品的进价为150元． 故答案为：150． 13. 规定表示中较小的数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对新定义的理解及一元一次不等式的求解，解题的关键是根据的定义列出不等式．根据表示中较小的数，已知，可知5是较小的数，即，解此不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 不等式两边同时乘以3，得到， 移项可得，即， 两边同时除以2，解得． 所以的取值范围是． 故答案为：． 14. 学校生物社团近期开展为期一个月的生态缸制作活动，要求最终生态缸的总数不少于20个．现用如图①中的长方形和正方形玻璃作侧面和底面（其中长方形的宽和正方形的边长相等），做成如图②的竖式和横式的两种无盖玻璃缸．现有个正方形玻璃和个长方形玻璃若干，若最后恰好将所有玻璃用完，则的值可能是___________． 【答案】100（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是正确列出方程组，并根据题意求值． 设做竖式和横式的两种无盖玻璃缸分别为x个、y个，根据题意，列出方程组，可得，再结合生态缸的总数不少于20个，可得，即可求解． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖玻璃缸分别为x个、y个，根据题意得， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵生态缸的总数不少于20个， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴的值可能是100． 故答案为：100（答案不唯一） 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后化系数为1； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解： 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 化系数为1得 【小问2详解】 解： 去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 16. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键是根据方程组特点选择代入消元法或加减消元法． （1）用代入消元法，把代入求解； （2）先将第一个方程化简，再用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： 将①代入②可得， 解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为； 【小问2详解】 原方程组整理可得 ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 故原方程组的解为． 17. 以下是小力同学解不等式的过程，请你完成下列任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 任务一：小力同学从第___________步开始出错 任务二：请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上． 【答案】任务一：一 任务二：， 正解去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项合并同类项，得．第三步 系数化为1，得第四步 ． 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． （1）去分母，注意不要漏乘常数项； （2）按照解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项， 故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项； （2）略 18. 在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． （1）求原方程组中、的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组． （1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求； （2）将、代入原方程组求解正确解． 【小问1详解】 解：将代入②得， 将代入①得； 【小问2详解】 解：原方程组为， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 19. 如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 【答案】（1）10 （2）2或4 【解析】 【分析】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键． （1）先根据线段的和差得到，再由线段中点的定义即可求解． （2）先求出的长，再根据线段的和求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ， 点是的中点， ； 【小问2详解】 解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 20. 为美化校园环境共建和谐校园，学校组织学生志愿者进行以“旺中风采”为主题的操场围墙美化绘制活动，学校共有两个志愿活动小组，第一小组独立完成需要12天，第二小组独立完成需要6天．现先由第一小组绘制3天后第二小组加入一起绘制，问共需多少天可完成围墙美化？ 【答案】共需6天完成 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设第二小组加入天后完成工作，根据题意，求出x的值，即可求解． 【详解】解：设第二小组加入天后完成工作，根据题意得： ， 解得：， 答：共需6天完成． 21. 请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且求证：． 证明：平分（已知）， （___________）． 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质进行证明即可． 【详解】证明：平分， （角平分线的定义） 平分（已知）， （角平分线的定义）． （等式性质）． 即． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 22. 文具批发商城有甲、乙两种文具．已知甲文具的批发单价比乙文具的批发单价少10元；8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等． （1）求甲、乙两文具的批发单价各是多少？ （2）学校商店计划从该批发商城购进以上两种文具．若所用资金为590元，且购进甲文具不超过5件，则该店购进乙文具至少多少件？ 【答案】（1）甲文具的批发单价为70元/件，乙文具的批发单价为80元/件 （2）该店购进乙文具至少3件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设甲文具的批发单价为元/件，则乙文具的批发单价为元/件，根据“8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等”列方程求解即可； （2）设该店购进甲、乙文具分别为件、件，根据所用资金为590元列二元一次方程，再根据购进甲文具不超过5件列不等式，求解即可； 【小问1详解】 解：设甲文具的批发单价为元/件，则乙文具的批发单价为元/件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：甲文具的批发单价为70元/件，乙文具的批发单价为80元/件； 【小问2详解】 设该店购进甲、乙文具分别为件、件， 根据题意得：， 解得：． ， ， 解得：， 该店购进乙文具至少3件． 23. 【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 （1）①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． （2）已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． （3）已知，则___________． 【答案】（1）①；② （2） 解：， 可，得， ∴无论取何值，的值均不变． （3）27 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将代入代数式，可得，再将代入代数式，可得，再根据即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解； （3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与相关的式子，进而求解． 【小问1详解】 解：①将整体代入，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为； ②将代入代数式，可得， ∴， 将代入代数式，可得， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设：⑨，⑩， 给，得， 给，得， ， ， ， ． 24. 如图所示，直线，直角的直角顶点在直线上，边在直线上，的平分线与的角平分线交于点，已知． （1）如图1，___________； （2）如图2，已知与相交于点，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由： （3）在（2）的条件下，将绕点按顺时针旋转得到，与之间的夹角为的旋转角，当在两条平行线间旋转时，是否存在某条边所在的直线与直线垂直，若存在，请直接写出此时旋转的角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴； （3）存在，当时，旋转的角度为或当时，旋转的角度为或当时，旋转的角度为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，即可求解； （2）过点P作，可得，从而得到，，再结合角平分线的定义，可得，即可求解； （3）分三种情况，结合旋转的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得：， 由旋转的性质得：，，， 如图，当时，此时， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，此时， ∴， ∴； 综上所述，旋转的角度为或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，旋转的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学2024-2025学年度下学期 七年级数学学科第一阶段教学诊断试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤是一元一次方程的有几个（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 根据等式的性质，下列变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A. 均用两点之间线段最短来解释 B. 均用两点确定一条直线来解释 C. 现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D. 现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 4. 已知是关于的方程的解，那么的值为（　　） A. B. C. 8 D. -8 5. 如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“成”相对的是（　　）     A. 竞 B. 有 C. 事 D. 者 6. 已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则下列不等式符合的是（　　） A. B. C. D. 7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程组的解满足，则的化简结果是（　　） A. 6 B. -6 C. 2 D. -2 二、填空题 9. 用不等式表示“与的差是非负数”___________． 10. 已知是常数，若和是同类项，则___________． 11. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为______． 12. 春节期间，欧亚商场进行促销活动，某种品牌的加湿器原价为200元，打九折出售后仍可获得的利润，则这种商品的进价为_____元． 13. 规定表示中较小的数，若，则的取值范围是___________． 14. 学校生物社团近期开展为期一个月的生态缸制作活动，要求最终生态缸的总数不少于20个．现用如图①中的长方形和正方形玻璃作侧面和底面（其中长方形的宽和正方形的边长相等），做成如图②的竖式和横式的两种无盖玻璃缸．现有个正方形玻璃和个长方形玻璃若干，若最后恰好将所有玻璃用完，则的值可能是___________． 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解二元一次方程组： （1） （2） 17. 以下是小力同学解不等式的过程，请你完成下列任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 任务一：小力同学从第___________步开始出错 任务二：请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上． 18. 在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． （1）求原方程组中、的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解 19. 如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 20. 为美化校园环境共建和谐校园，学校组织学生志愿者进行以“旺中风采”为主题的操场围墙美化绘制活动，学校共有两个志愿活动小组，第一小组独立完成需要12天，第二小组独立完成需要6天．现先由第一小组绘制3天后第二小组加入一起绘制，问共需多少天可完成围墙美化？ 21. 请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且求证：． 证明：平分（已知）， （___________）． 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． （___________）． 22. 文具批发商城有甲、乙两种文具．已知甲文具的批发单价比乙文具的批发单价少10元；8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等． （1）求甲、乙两文具的批发单价各是多少？ （2）学校商店计划从该批发商城购进以上两种文具．若所用资金为590元，且购进甲文具不超过5件，则该店购进乙文具至少多少件？ 23. 【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 （1）①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． （2）已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． （3）已知，则___________． 24. 如图所示，直线，直角的直角顶点在直线上，边在直线上，的平分线与的角平分线交于点，已知． （1）如图1，___________； （2）如图2，已知与相交于点，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由： （3）在（2）的条件下，将绕点按顺时针旋转得到，与之间的夹角为的旋转角，当在两条平行线间旋转时，是否存在某条边所在的直线与直线垂直，若存在，请直接写出此时旋转的角度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $