精品解析：四川省遂宁市第六中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

遂宁六中2025年上期初三第一学段数学试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有的数． 【详解】解： ，，0都是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：将1000亿用科学记数法可表示为； 故选：A． 【点睛】本题考查考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，，为整数，是解题的关键． 3. 下列几何体中，主视图是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的视图，对各选项图形的主视图分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、圆锥的主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意； B、圆柱的主视图为矩形，故本选项符合题意； C、三棱柱的主视图为矩形中间有1条竖线，故本选项不符合题意； D、球的主视图为圆，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，体现了直观想象的核心素养． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 5. 下列事件中是必然事件的是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 任意一个六边形的外角和等于720° C. 同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同 D. 367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件； B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件； C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件； D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件； 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键． 直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴a.b同号， ， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ， ， 则函数的图象分布在第二、四象限， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，⑤若方程的解是或，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴为直线可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ，故②正确； ∵当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过另一点， ∵抛物线向左平移2个单位长度得到， ∴方程的解是和，故⑤正确， 其中正确的结论是：①②④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式和公式法因式分解；熟记公式是解题的关键．先提公因式3，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 13. 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 __________________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的求法，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有12个小球，其中红球2个，绿球4个， ∴黄球有6个， ∴从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，得，再分别取三边的中点，，得，这样依次下去…，经过第2021次操作后得，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半，是解题的关键．先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 为等边三角形， ， ， 点，分别是、的中点， 是的中位线， ， 同理可得：…… 则 一条边上的高为：， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， 由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B， ∴∠ABA1=∠CBA2， ∴△ABA1≌△CBA2， 故①正确； 过D作DM⊥CA1于M，如图所示， 由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE， ∴DM平分∠CDA1， ∴∠ADE+∠CDM=45°， 又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°， ∴∠BCA1=∠CDM， ∴∠ADE+∠BCA1=45°， 故②正确； 连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA， 即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为， 故③正确； 过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示， ∵∠ADE=30°， ∴AE=tan30°·AD=，DE=， ∴BE=AB-AE=1-， 由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=， ∴∠A1EH=60°， ∴A1H=A1E·sin60°=， ∴△A1BE的面积=， 故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识点，综合性较强． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键． 17. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 18. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【小问1详解】 证明：为的中点， ． ； 在和中， ； 【小问2详解】 证明： 垂直平分， ． 19. 某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 （2） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率： （1）类项目的人数除以所占的比例求出总人数，再用总人数乘以类项目的人数所占的比例求解即可； （2）设喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）． ． 答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为． 【小问2详解】 喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下： 第2位 第1位 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能． ． 答：抽中一名男生和一名女生的概率为． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 21. 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式 （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】 【答案】（1）， （2）元， （3）当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可； （2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可； （3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴随x增大而增大， ∴当时，最大，最大为元； ， ∵， ∴当时，随x增大而增大， ∴当时，最大，最大为元； 【小问3详解】 解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润； 当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润； 当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润； 综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】（1）6千米 （2）1.06分钟 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而利用平角定义可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：，，， ∴，， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴两点之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟． 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； （3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； 【小问2详解】 解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； 【小问3详解】 解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 解得，，或， 在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， 直线经过、， 设直线的解析式为， 则， 解得，， 直线的解析式为； （2）如图1中，过点作轴交于点．设，则． ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则， 设交轴于点，则， ， 直线的解析式为， ， 作点关于的对称点， 则直线的解析式为， 设交轴于点，则， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁六中2025年上期初三第一学段数学试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 3. 下列几何体中，主视图是矩形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列事件中是必然事件的是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 任意一个六边形的外角和等于720° C. 同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同 D. 367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，⑤若方程的解是或，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：__________． 12. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 13. 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 __________________． 14. 如图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，得，再分别取三边的中点，，得，这样依次下去…，经过第2021次操作后得，则的面积为______． 15. 如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号） 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 18. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 19. 某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式 （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； （3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $