第二十二章 二次函数 考点小测 2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教九全数学考点小测（6-11）22章 二次函数 小测6　二次函数及二次函数y＝ax2的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)二次函数y＝2x2－5x＋1的一次项系数是(　　) A. 5 B. 1 C. 2 D. －5 2. (3分)下列函数：①y＝3－x2；②y＝；③y＝x(x－2)；④y＝4x＋1，其中是二次函数的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. (3分)关于抛物线y＝－2x2，下列说法错误的是(　　) A. 开口方向向下 B. 顶点坐标为(0，0) C. 对称轴是y轴 D. 图象经过第一、二象限 4. (3分)已知二次函数y＝x2，当x＜0时，y随x的增大而　　　　.(填“增大”或“减小”) 5. (3分)如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的饲养室，饲养室一面靠墙AB(墙足够长)，其余的部分用24 m长的栅栏围成甲、乙两部分，设围成的饲养室的宽为x m，面积为y m2，则y关于x的函数解析式为　　　　　　. 第5题图 6. (3分)已知二次函数y＝2 025x2的图象上有两个不同点P(t1，2 025)，Q(t2，2 025)，则t1＋t2的值为　　　　　　. 7. (7分)日常生活情境旅行社团购费用 十一黄金周期间，某旅行社开展优惠活动，推出了如图所示的收费标准，求该旅行社开展优惠活动时的收费费用y(元)与团购人数x(人)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 第7题图 人教九全数学考点小测 小测7　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)抛物线y＝－(x＋2)2－1的顶点在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. (3分)二次函数y＝4x2－3的最小值是(　　) A. 0 B. 3 C. －3 D. 4 3. (3分)(日常生活　连拱桥)如图①是某地连拱桥的一部分，两个桥洞具有相同的抛物线的形状，按照如图②所示方式建立平面直角坐标系.若左边的一条抛物线可以表示为y＝－(x＋6)2＋4，则两个桥洞最高点之间的距离为(　　) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 　　 第3题图 4. (3分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋h的图象如图所示，则二次函数y＝a(x－h)2－1的图象可能是(　　) 第4题图 5. (3分)将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　　　. 6. (3分)若点P(3，y1)，Q(6，y2)均在二次函数y＝3x2－1的图象上，则有y1　　　　y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 7. (7分)如图是二次函数y＝a(x－1)2－4的图象的一部分，该部分图象与x轴交于点A(4，0). (1)求a的值； (2)设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，求△PAB的面积. 第7题图 人教九全数学考点小测 小测8　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)抛物线y＝x2－4x＋4的对称轴是(　　) A. 直线x＝2 B. 直线x＝－2 C. 直线x＝4 D. 直线x＝－4 2. (3分)二次函数y＝－2x2－x的图象大致为(　　) A B C D 3. (3分)关于二次函数y＝4x2－8x＋5，下列说法正确的是(　　) A. 函数图象与y轴的交点坐标为(5，0) B. 对称轴在y轴左侧 C. y的最小值为－1 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大 4. (3分)抛物线y＝x2＋bx＋2经过点(2，2)，则b的值为　　　　. 5. (3分)将抛物线y＝x2－2x＋5向右平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为　　　　　　　. 6. (3分)(日常生活 影响茶树生长因素)如图，中国是世界上最早发现和利用茶叶的国家，也是茶树资源最为丰富的国家. 第6题图 小丽查阅资料发现，某茶树侧芽的生长素最适浓度为4 g/L，此时生长速度达到最快，为10 mm/天.当浓度继续增大时，侧芽的生长速度y(mm/天)与生长素浓度x(g/L)近似满足函数关系式：y＝－0.5x2＋bx＋c，则当生长素的浓度在最适浓度的基础上增大1 g/L时，该茶树侧芽的生长速度降低了　　　　mm/天. 7. (7分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(－1，7)和(2，1). (1)求抛物线的解析式； (2)若(4，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝y1－2，求m的值. 人教九全数学考点小测 小测10　二次函数与一元二次方程 满分：20分　　　　　得分：　　　 1. (3分)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根是(　　) A. x1＝－1，x2＝3　　　B. x1＝1，x2＝－3　　　C. x1＝－1，x2＝－3　　　D. x1＝1，x2＝3 2. (3分)抛物线y＝x2－mx＋4如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋4＝mx的根的情况为(　　) 第2题图 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个异号的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. (3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中x和y的值如下表，则下列选项是ax2＋bx＋c＝0的一个根所在范围的是(　　) x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y －2.8 －2.4 －1.2 0.8 3.6 A. 0.10＜x＜0.11 B. 0.11＜x＜0.12 C. 0.12＜x＜0.13 D. 0.13＜x＜0.14 4. (3分)已知抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，则实数c的取值范围是　　　　　　. 5. (3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象交坐标轴于点A(－1，0)，B(0，3)，对称轴为直线x＝1.则当y＞0时，x的取值范围是　　　　　　. 第5题图 6. (5分)已知二次函数y＝x2＋ax＋a－3的图象经过点(2，7). (1)求a的值； (2)判断二次函数y＝x2＋ax＋a－3的图象与x轴的交点个数，并说明理由. 人教九全数学考点小测 小测11　实际问题与二次函数 满分：20分　　　　　得分：　　　 1. (3分)若苹果从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2(g的数值取9.8)，则s与t的函数图象大致是(　　) 2. (3分)某烟花厂特别设计了一种新型花炮，这种花炮的升空高度h(m)与时间t(s)满足的关系式是h＝－t2＋18t(t＞0，烟花自身高度忽略不计).若这种花炮在升空到最高点时引爆，则从发射到引爆需要的时间为(　　) A. 3 s B. 4 s C. 5 s D. 6 s 3. (3分)夜光杯雕是甘肃省酒泉市的民间传统艺术，被称为穿越千年的丝路绝技.如图是夜光杯的示意图，其杯体轴截面近似为抛物线y＝x2＋3的一部分，若杯身的高度CD＝5 cm.则杯口AB的宽度为　　　　 cm. 第3题图 4. (3分)某商店销售一批头盔，现在的售价为35元，每天可卖出50顶.市场调查反馈：若销售单价每降低1元，每天可多售出2顶，当每顶头盔的售价定为　　　　元时，能使每天的销售额最大. 5. (8分)日常生活情境　修建池塘如图是一个矩形花坛 ABCD，现准备在花坛中修建一个小池塘 EFGH.已知花坛的边AB＝6 m，BC＝8 m，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，且AE＝AH＝CF＝CG.设AE长为x m，池塘EFGH的面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，池塘EFGH的面积最大？最大值为多少？ 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教九全数学考点小测（6-11）22章 二次函数 小测6　二次函数及二次函数y＝ax2的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)二次函数y＝2x2－5x＋1的一次项系数是(　　) A. 5 B. 1 C. 2 D. －5 2. (3分)下列函数：①y＝3－x2；②y＝；③y＝x(x－2)；④y＝4x＋1，其中是二次函数的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. (3分)关于抛物线y＝－2x2，下列说法错误的是(　　) A. 开口方向向下 B. 顶点坐标为(0，0) C. 对称轴是y轴 D. 图象经过第一、二象限 4. (3分)已知二次函数y＝x2，当x＜0时，y随x的增大而　　　　.(填“增大”或“减小”) 5. (3分)如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的饲养室，饲养室一面靠墙AB(墙足够长)，其余的部分用24 m长的栅栏围成甲、乙两部分，设围成的饲养室的宽为x m，面积为y m2，则y关于x的函数解析式为　　　　　　. 第5题图 6. (3分)已知二次函数y＝2 025x2的图象上有两个不同点P(t1，2 025)，Q(t2，2 025)，则t1＋t2的值为　　　　　　. 7. (7分)日常生活情境旅行社团购费用 十一黄金周期间，某旅行社开展优惠活动，推出了如图所示的收费标准，求该旅行社开展优惠活动时的收费费用y(元)与团购人数x(人)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 第7题图 参考答案 小测6　二次函数及二次 函数y＝ax2的图象和性质 1. D 2. B　【解析】①y＝3－x2符合二次函数的定义，故正确；②y＝是y与x2成反比例关系，故错误；③y＝x(x－2)＝x2－2x符合二次函数的定义，故正确；④y＝4x＋1是一次函数，故错误；属于二次函数的有2个. 3. D　【解析】∵－2＜0，∴抛物线开口向下，图象经过第三、四象限且过原点，故选项A正确，选项D错误；二次函数y＝－2x2的顶点坐标为(0，0)，故选项B正确；二次函数y＝－2x2的对称轴为y轴，故选项C正确. 4. 减小　【解析】∵二次函数y＝x2的图象开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小. 5. y＝－3x2＋24　x(0＜x＜6)　【解析】由题意可得，饲养室宽为x m，则长为(24－3x) m，∴y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x，∵24－3x＞x，即x＜6，∴x的取值范围为0＜x＜6，∴y关于x的函数解析式为y＝－3x2＋24x(0＜x＜6). 6. 0　【解析】∵P(t1，2 025)，Q(t2，2 025)，点P，Q的纵坐标相等，∴点P，Q关于y轴对称，∴横坐标互为相反数，∴t1＋t2＝0. 7. 解：由题意可得，当x＞20时，y＝x[1 000－20(x－20)]， 化为一般形式，得y＝－20x2＋1 400x， (2分) 令1 000－20(x－20)≥700， 解得x≤35， (4分) ∴y与x之间的函数解析式为 y＝ (7分) 人教九全数学考点小测 小测7　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)抛物线y＝－(x＋2)2－1的顶点在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. (3分)二次函数y＝4x2－3的最小值是(　　) A. 0 B. 3 C. －3 D. 4 3. (3分)(日常生活　连拱桥)如图①是某地连拱桥的一部分，两个桥洞具有相同的抛物线的形状，按照如图②所示方式建立平面直角坐标系.若左边的一条抛物线可以表示为y＝－(x＋6)2＋4，则两个桥洞最高点之间的距离为(　　) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 　　 第3题图 4. (3分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋h的图象如图所示，则二次函数y＝a(x－h)2－1的图象可能是(　　) 第4题图 5. (3分)将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　　　. 6. (3分)若点P(3，y1)，Q(6，y2)均在二次函数y＝3x2－1的图象上，则有y1　　　　y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 7. (7分)如图是二次函数y＝a(x－1)2－4的图象的一部分，该部分图象与x轴交于点A(4，0). (1)求a的值； (2)设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，求△PAB的面积. 第7题图 参考答案 1. C　【解析】∵抛物线y＝－(x＋2)2－1的顶点坐标为(－2，－1)，∴顶点在第三象限. 2. C　【解析】当x＝0时，y取最小值为－3. 3. B　【解析】∵抛物线y＝－(x＋6)2＋4的顶点坐标为(－6，4)，右边抛物线与左边抛物线关于y轴对称，∴右边抛物线的顶点坐标为(6，4)，∴两个桥洞最高点之间的距离为6－(－6)＝12 . 4. A　【解析】∵一次函数y＝ax＋h的图象经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0，∴二次函数y＝a(x－h)2－1的图象开口向上，顶点坐标(h，－1)在第四象限，∴选项A符合题意. 5. y＝3(x＋2)2＋4　【解析】抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2＋4. 6. ＜　【解析】∵3＞0，∴图象开口向上，∵y＝3x2－1的对称轴为y轴，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴y1＜y2. 7. 解：(1)∵点A(4，0)在抛物线y＝a(x－1)2－4上， ∴a(4－1)2－4＝0， ∴解得a＝； (2分) (2)由(1)得a＝， ∴该二次函数为y＝(x－1)2－4， ∴该抛物线的顶点为P(1，－4)， 又∵A(4，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点是B(－2，0)， ∴AB＝4－(－2)＝6，∴S△PAB＝×6×4＝12， ∴△PAB的面积是12. (7分) 人教九全数学考点小测 小测8　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 满分：25分　　　　　得分：　　　 1. (3分)抛物线y＝x2－4x＋4的对称轴是(　　) A. 直线x＝2 B. 直线x＝－2 C. 直线x＝4 D. 直线x＝－4 2. (3分)二次函数y＝－2x2－x的图象大致为(　　) A B C D 3. (3分)关于二次函数y＝4x2－8x＋5，下列说法正确的是(　　) A. 函数图象与y轴的交点坐标为(5，0) B. 对称轴在y轴左侧 C. y的最小值为－1 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大 4. (3分)抛物线y＝x2＋bx＋2经过点(2，2)，则b的值为　　　　. 5. (3分)将抛物线y＝x2－2x＋5向右平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为　　　　　　　. 6. (3分)(日常生活 影响茶树生长因素)如图，中国是世界上最早发现和利用茶叶的国家，也是茶树资源最为丰富的国家. 第6题图 小丽查阅资料发现，某茶树侧芽的生长素最适浓度为4 g/L，此时生长速度达到最快，为10 mm/天.当浓度继续增大时，侧芽的生长速度y(mm/天)与生长素浓度x(g/L)近似满足函数关系式：y＝－0.5x2＋bx＋c，则当生长素的浓度在最适浓度的基础上增大1 g/L时，该茶树侧芽的生长速度降低了　　　　mm/天. 7. (7分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(－1，7)和(2，1). (1)求抛物线的解析式； (2)若(4，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝y1－2，求m的值. 参考答案 1. A　【解析】∵y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，∴对称轴为直线x＝2. 2. C　【解析】∵－2＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵当x＝0时，y＝0，∴图象过原点，∴选项C符合题意. 3. D　【解析】∵当x＝0时，y＝5，∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，5)，故选项A不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝1＞0，∴对称轴在y轴右侧，故选项B不符合题意；∵4＞0，∴二次函数图象开口向上，∴当x＝1时，y的值最小，最小值为y＝4×12－8×1＋5＝1，故选项C不符合题意；∵二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意. 4. －1　【解析】将点(2，2)代入y＝x2＋bx＋2 中，得2＋2b＋2＝2，解得b＝－1. 5. y＝(x－3)2＋4　【解析】将抛物线y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝(x－1－2)2＋4，即y＝(x－3)2＋4. 6. 0.5　【解析】由题意得该函数的解析式为y＝－0.5(x－4)2＋10，当x＝5时，y＝9.5，10－9.5＝0.5(mm/天)，即该茶树侧芽的生长速度降低了0.5 mm/天. 7. 解：(1)将(－1，7)，(2，1)分别代入抛物线，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝2x2－4x＋1； (3分) (2)∵(4，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点， ∴y1＝2×42－4×4＋1＝17，y2＝2m2－4m＋1， ∵y2＝y1－2， ∴2m2－4m＋1＝17－2＝15， 解得m1＝1－2，m2＝1＋2. (7分) 人教九全数学考点小测 小测10　二次函数与一元二次方程 满分：20分　　　　　得分：　　　 1. (3分)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根是(　　) A. x1＝－1，x2＝3　　　B. x1＝1，x2＝－3　　　C. x1＝－1，x2＝－3　　　D. x1＝1，x2＝3 2. (3分)抛物线y＝x2－mx＋4如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋4＝mx的根的情况为(　　) 第2题图 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个异号的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. (3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中x和y的值如下表，则下列选项是ax2＋bx＋c＝0的一个根所在范围的是(　　) x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y －2.8 －2.4 －1.2 0.8 3.6 A. 0.10＜x＜0.11 B. 0.11＜x＜0.12 C. 0.12＜x＜0.13 D. 0.13＜x＜0.14 4. (3分)已知抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，则实数c的取值范围是　　　　　　. 5. (3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象交坐标轴于点A(－1，0)，B(0，3)，对称轴为直线x＝1.则当y＞0时，x的取值范围是　　　　　　. 第5题图 6. (5分)已知二次函数y＝x2＋ax＋a－3的图象经过点(2，7). (1)求a的值； (2)判断二次函数y＝x2＋ax＋a－3的图象与x轴的交点个数，并说明理由. 参考答案 小测10　二次函数与一元二次方程 1. A 2. D 3. C　【解析】由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围为0.12＜x＜0.13. 4. c＞4　【解析】若抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，则Δ＝(－4)2－4c＜0，解得c＞4. 5. －1＜x＜3　【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点坐标为A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴当－1＜x＜3时，y＞0，即当y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3. 6. 解：(1)将点(2，7)代入y＝x2＋ax＋a－3 中，得4＋2a＋a－3＝7， 解得a＝2； (2分) (2)二次函数y＝x2＋ax＋a－3的图象与x轴的交点个数为2个. (3分) 理由如下： 由(1)可知二次函数y＝x2＋2x－1， 令y＝0，即x2＋2x－1＝0， ∵Δ＝22－4×(－1)＝8＞0. ∴二次函数y＝x2＋ax＋a－3 的图象与x轴的交点个数为2个. (5分) 人教九全数学考点小测 小测11　实际问题与二次函数 满分：20分　　　　　得分：　　　 1. (3分)若苹果从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2(g的数值取9.8)，则s与t的函数图象大致是(　　) 2. (3分)某烟花厂特别设计了一种新型花炮，这种花炮的升空高度h(m)与时间t(s)满足的关系式是h＝－t2＋18t(t＞0，烟花自身高度忽略不计).若这种花炮在升空到最高点时引爆，则从发射到引爆需要的时间为(　　) A. 3 s B. 4 s C. 5 s D. 6 s 3. (3分)夜光杯雕是甘肃省酒泉市的民间传统艺术，被称为穿越千年的丝路绝技.如图是夜光杯的示意图，其杯体轴截面近似为抛物线y＝x2＋3的一部分，若杯身的高度CD＝5 cm.则杯口AB的宽度为　　　　 cm. 第3题图 4. (3分)某商店销售一批头盔，现在的售价为35元，每天可卖出50顶.市场调查反馈：若销售单价每降低1元，每天可多售出2顶，当每顶头盔的售价定为　　　　元时，能使每天的销售额最大. 5. (8分)日常生活情境　修建池塘如图是一个矩形花坛 ABCD，现准备在花坛中修建一个小池塘 EFGH.已知花坛的边AB＝6 m，BC＝8 m，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，且AE＝AH＝CF＝CG.设AE长为x m，池塘EFGH的面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，池塘EFGH的面积最大？最大值为多少？ 第5题图 参考答案 小测11　实际问题与二次函数 1. B　【解析】∵s＝gt2是二次函数的解析式，∴函数的图象是一条抛物线，又∵g＞0，∴图象的开口向上，∵t≥0，s≥0，∴该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分. 2. D　【解析】依题意可知h＝－t2＋18t，当t＝－＝6时，h取得最大值，即从发射到引爆需要的时间为6 s. 3. 6　 【解析】∵当x＝0时，y＝3，∴OC＝3 cm，∴OD＝OC＋CD＝8 (cm)，令x2＋3＝8，解得 x＝3 或x＝－3，∴AB＝3－(－3)＝6 (cm). 4. 30　【解析】设每顶头盔降价x元，每天的销售额为w，由题意可得w＝(35－x)(50＋2x)＝－2x2＋20x＋1 750＝－2(x－5)2＋1 800，∵－2＜0，∴当x＝5时，w有最大值，∴将售价定为35－5＝30元时，每天的销售额最大. 5. 解：(1)根据题意，易得△AEH≌△CGF(SAS)， △EBF≌△GDH(SAS)， ∴S＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△EFB ＝6×8－2×x2－2×(8－x)(6－x) ＝－2x2＋14x(0＜x≤6)； (4分) (2)∵S＝－2x2＋14x＝－2(x－)2＋(0＜x≤6)， ∵－2＜0， ∴当x＝ m时，池塘EFGH的面积最大，最大值为 m2. (8分) 学科网（北京）股份有限公司 $$