精品解析：浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年九年级下学期3月考试数学试卷

九年级数学试题卷 一、认真选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列实数中,是无理数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】无理数是指无限不循环小数，本题中cos45°=，是无限不循环小数，则cos45°为无理数.故选D． 2. PM2.5是指大气中直径小于或等于毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把用小数形式表示正确的是（　　） A. 0.000025 B. 0.00025 C. 0.0025 D. 0.025 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．而，所以还原时把小数点往左移动位即可得到答案． 【详解】解：用小数形式表示正确的是0.0025; 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是把用科学记数法表示绝对值较小的数还原，关键是在理解科学记数法的基础上掌握小数点的移动方向与数位． 3. 下列水平放置的四个几何体中，主视图形状与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．主视图形状为长方形； B．主视图形状为长方形； C．主视图形状为长方形； D．主视图形状为三角形， ∴主视图与其它三个不相同的是D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、平方差公式及多项式除以单项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 故选：． 5. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB=12求出OP的长，连接OC，在Rt△OPC中，利用勾股定理即可求出PC的长，进而可得出CD的长． 【详解】解：连接OC， ∵AB=12 ∴OB= 又BP=2 ∴OP=OB-PB=6-2=4         在Rt△OPC中，， ∵OB过圆心，OB⊥CD ∴CD=2PC=2× 故选：C 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 6. 在一次演讲比赛中，某班派出的5名同学参加年级竞赛，赛的成绩如下表(单位：分)，其中隐去了3号同学的成绩但得知5名同学的平均成绩是21分，那么5名同学成绩的中位数是（ ） 编号 1号 2号 3号 4号 5号 得分 20 19 25 18 A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与中位数的计算，首先根据五名同学的平均成绩求得3号同学的成绩，然后利用中位数的定义直接解答即可． 【详解】解：∵5名同学的平均成绩是21分， ∴3号同学的成绩为（分）， 将5个数据按从小到大顺序排列为：18，19，20，23，25， 所以，5名同学成绩的中位数是20分， 故选：B． 7. 已知方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键． 先将两个方程相加，得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 8. 已知函数（为常数，且，），函数的图象和函数的图象关于直线对称． ①函数的图象上的点的纵坐标都小于2． ②若当（为大于0的实数）时，的最大值为，则在此取值范围内，的最小值必为． 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且k＞0，x＞0）， ∴函数图象在第一象限，如图， ∴函数y的最小值大于0， ∵函数的图象和函数的图象关于直线y=1对称， ∴的最大值小于2， ∴函数的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确； 当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，的最大值为a，则其对应点为（m，a）， 那么，点（m，a）关于直线y=1的对称点为（m，2-a）， ∴在此取值范围内，的最小值必为2-a，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化-对称，数形结合是解题的关键． 9. 如图，在中，，CD是的角平分线，过点D作交BC于点E．和的面积分别为和，若，则的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由题意易证△AND∽△DMB，进而可得，设，则有，得出BE，AC，然后求出，问题可进行求解． 【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示： ∵，CD是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴△AND∽△DMB， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，点,,分别是 ,,上的点，，，, ,则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作△EFG的外接圆交BC与另一点H.由圆的性质可得∠BHE=∠EGF=45°，∠CHG=∠GEF=60°.然后求出BH和CH的长即可. 【详解】作△EFG的外接圆交BC与另一点H. ∵∠BHE与∠EGF所对的弧相同， ∴∠BHE=∠EGF=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴BH=BE=3. ∵∠CHG是圆内接四边形的外角， ∴∠CHG=∠GEF=60°. ∴∠CGH=30°， ∴CH=tan30°·CG=， ∴BC=BH+CH= . 故选A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键. 二、认真填一填(本题有6个小题，每小题3分，共18分) 11. 小林和小方参加射击预选赛，他们每人10次射击环数的平均数都是92，方差分别为 如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参加比赛，那么会选____________(填“小林”或“小方”)． 【答案】小林 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以小林的成绩比较稳定，那么会选小林． 故答案为：小林． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 13. 已知a是实数，且满足，则代数式的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据得到a的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a-3=0或2-a=0， ∴a=3（舍）或a=2， ∴==1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键是根据题意得到a的值． 14. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故答案为： 15. 如图， 直线经过、两点， 则不等式的解集为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题、一次函数与一元一次不等式的关系，先求得一次函数的图象经过和原点，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，然后找出一次函数图象在一次函数图象上方，且图象上点的纵坐标不大于3的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴一次函数的图象经过和原点， 在同一平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，如图： 由图可知，当时，一次函数图象在一次函数图象上方，且图象上点的纵坐标不大于3， 不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中， ，M，N分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点D，当时，的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点H，利用折叠性质得出，从而判断，再设出，分别表示出各个线段的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形沿翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）7；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程，理解平方根的定义是解答的关键． （1）先计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再加减运算即可； （2）根据直接开平方法解方程即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）原方程化为 开方，得 ∴，． 18. （1）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，求a的值． （2）计算：先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）3；（2），12 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解、整式的混合运算、二次根式的运算、代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）将方程的解代入方程中求解即可； （2）先利用完全平方公式、单项式乘多项式运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程的一组解， ∴， 解得； （2） ， ∵，， ∴， ∴原式． 19. 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数． 【答案】（1）50 （2）补全条形统计图如图所示： ； 57.6°（3）292天 【解析】 【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数． （2）利用轻微污染天数是50-32-8-3-1-1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案． （3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可 【详解】（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天， ∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）． （2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天． 扇形统计图中表示优的圆心角度数是360°=57.6°． （3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32， ∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）． 因此，估计该市一年达到优和良的总天数为292天． 20. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． （1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 【答案】（1）5元 （2）7元 【解析】 【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可； （2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元， 由题意得： 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意， 答：第一次每盒乒乓球的进价是5元； 【小问2详解】 解：设每盒乒乓球的售价为y元， 第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为（元）， 由题意得：， 解得：． 答：每盒乒乓球的售价至少是7元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式． 21. 在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． （1）求m的值和一次函数表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 【答案】（1），一次函数的解析式为： （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及的考点有：求函数解析式、观察函数图象解决不等式问题、点的平移问题等；解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式以及图象交点的坐标即可解决问题． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，最后把，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）根据函数图象，以及，两点坐标，即可解决问题； （3）设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数的解析式为：， 将点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∴点的坐标， ∴将，两点坐标代入一次函数解析式得：， ∴解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ∵当时，从图象来看为：反比例函数的图象在一次函数图象的上方， 又∵，， ∴当时，的取值范围是：或； 【小问3详解】 ∵点在函数的图象上， ∴令点的坐标为， ∴点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后点的坐标为， ∴得点D的坐标为， ∵D落在函数的图象上， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 22. 某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，为100米，小树林A在北门的南偏西方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且： （1）分别求线段、、的长（结果中保留根号，下同）； （2）若有一棵银杏树E恰好位于的平分线与的交点，求的距离． 【答案】（1）米；米； 米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据的三角函数得出、的长度，根据的三角函数得出、的长度； （2）过点E作，从而得到和的长度，然后根据得出长度． 【小问1详解】 解：∵在中，，，米， ∴，米，米， ∵在中，，，米， ∴米，米， ∴米； 【小问2详解】 解：作于F， ∵平分，于D，于F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴米， ∴米， ∵在中，，， ∴米． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值 （2）当时， 的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围． （3）若有函数， 无论x为何值恒成立， 二次函数的图象有两个点和， 若，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及不等式的应用， （1）用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数性质得出当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，再分类讨论：当时或当时，分别求出范围即可； （3）先根据无论x为何值恒成立得出，得到判别式，再根据二次函数的图象有两个点和和，代入计算求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， 把代入， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， 二次函数的顶点坐标为，二次函数图象开口向上， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，时，取得最大值，则， 时，取得最小值，则， 当时， 的最大值与最小值的差为9， ， 解得：； 当时，时，取得最小值，则， 当时， 的最大值与最小值的差为9， 的最大值为， 当时，， 解得：， 满足的条件为， 综上所述，m的取值范围是； 【小问3详解】 解：无论x为何值时恒成立， ，即恒成立， ， 解得：， 二次函数的图象有两个点和， 把和代入， ， ， ， 解得：， 的取值范围是． 24. 如图1， 经过等边的顶点，(圆心在内)，分别与，的延长线交于点，，连接， 交于点． （1）求证： （2）当，时，求的长． （3）设，．求关于的函数表达式； 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形，对着圆周角和，对着圆周角和， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质求出，的长，在中利用勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为； 【小问3详解】 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴，， 由（2）知：∴， 又∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴关于的函数表达式为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了同弧所对的圆周角相等，锐角三角函数，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 一、认真选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列实数中,是无理数的是 A. B. C. D. 2. PM2.5是指大气中直径小于或等于毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把用小数形式表示正确的是（　　） A. 0.000025 B. 0.00025 C. 0.0025 D. 0.025 3. 下列水平放置的四个几何体中，主视图形状与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次演讲比赛中，某班派出的5名同学参加年级竞赛，赛的成绩如下表(单位：分)，其中隐去了3号同学的成绩但得知5名同学的平均成绩是21分，那么5名同学成绩的中位数是（ ） 编号 1号 2号 3号 4号 5号 得分 20 19 25 18 A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 7. 已知方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（为常数，且，），函数的图象和函数的图象关于直线对称． ①函数的图象上的点的纵坐标都小于2． ②若当（为大于0的实数）时，的最大值为，则在此取值范围内，的最小值必为． 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 9. 如图，在中，，CD是的角平分线，过点D作交BC于点E．和的面积分别为和，若，则的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点,,分别是 ,,上的点，，，, ,则的长为( ) A. B. C. D. 二、认真填一填(本题有6个小题，每小题3分，共18分) 11. 小林和小方参加射击预选赛，他们每人10次射击环数的平均数都是92，方差分别为 如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参加比赛，那么会选____________(填“小林”或“小方”)． 12. 因式分解：______． 13. 已知a是实数，且满足，则代数式的值是___________． 14. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是______． 15. 如图， 直线经过、两点， 则不等式的解集为____________ 16. 如图，在菱形中， ，M，N分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点D，当时，的值为 _____． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. （1）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，求a的值． （2）计算：先化简，再求值：，其中，． 19. 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数． 20. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． （1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 21. 在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． （1）求m的值和一次函数表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 22. 某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，为100米，小树林A在北门的南偏西方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且： （1）分别求线段、、的长（结果中保留根号，下同）； （2）若有一棵银杏树E恰好位于的平分线与的交点，求的距离． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值 （2）当时， 的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围． （3）若有函数， 无论x为何值恒成立， 二次函数的图象有两个点和， 若，求n的取值范围． 24. 如图1， 经过等边的顶点，(圆心在内)，分别与，的延长线交于点，，连接， 交于点． （1）求证： （2）当，时，求的长． （3）设，．求关于的函数表达式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $