第12章 函数与一次函数 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第12章 函数与一次函数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列图象中，y是关于x的函数的是（   ）． A．B．C．D． 2．下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 4．已知一次函数，其中随的增大而减小，且，则在平面直角坐标系内这个一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 5．如果将直线：平移后得到直线：，那么下列平移过程正确的是（  ） A．将向左平移2个单位 B．将向右平移2个单位 C．将向上平移2个单位 D．将向下平移2个单位 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 7．若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当满足时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知一次函数的图象经过点，则 ． 12．已知直线与直线平行，则＝ ． 13．小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知一次函数的图象经过和两点，求这个一次函数的解析式． 16．已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； (2)若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 17．如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 18．哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：种使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个市内通话时间为分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元． (1)写出与的关系式； (2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？ 19．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 20．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)自变量x的取值范围是　　　． (2)列表如下：直接写出　　　． … … … … (3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． (4)结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是　　　． ②当时，的取值范围是　　　． ③结合随的变化趋势，写出你的发现：　　　．（一条即可） 21．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 22．若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 23．如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 函数与一次函数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列图象中，y是关于x的函数的是（   ）． A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、C、D中的图象，不是关于的函数； B、是关于的函数． 故选：B． 2．下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； B、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； C、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； D、不满足一次函数的定义，故该选项符合题意； 故选：D 3．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，对于一次函数，当时，图象从左下向右上延伸，必过第一、三象限；当时，图象与y轴交于正半轴，必过第一、二象限，结合和的符号即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 4．已知一次函数，其中随的增大而减小，且，则在平面直角坐标系内这个一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据一次函数解析式确定图象经过的象限，先根据函数图象得出其经过的象限，由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 5．如果将直线：平移后得到直线：，那么下列平移过程正确的是（  ） A．将向左平移2个单位 B．将向右平移2个单位 C．将向上平移2个单位 D．将向下平移2个单位 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是． 故选：D． 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数增减性，再结合点的横坐标大小比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵直线中， ∴函数值随增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 7．若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 先求出点的纵坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是， 故选：D． 8．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当满足时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质．把点的坐标代入一次函数解析式得到是解题的关键．把点和的坐标代入得到，然后将其代入不等式组，通过不等式的性质来求的取值范围． 【详解】解：把点代入， 得， 把代入， 则． ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 10．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确函数图象上点的坐标满足函数解析式，通过代入坐标值求解未知数． 因为点在一次函数的图象上，所以该点的坐标满足函数解析式，将，代入解析式中，得到关于a的一元一次方程，求解方程即可得到a的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将，代入，得． 移项，得，即． 故答案为：2． 12．已知直线与直线平行，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查两条直线平行，解题的关键是熟练掌握直线平行对应的系数之间的关系． 由两条直线平行，根据已知条件，即可得的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 故答案为：． 13．小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 【答案】42 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【详解】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知一次函数的图象经过和两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ，解得， 这个函数的解析式为． 16．已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； (2)若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）把原点坐标代入中求出m的值，从而得到一次函数解析式； （2）根据一次函数的性质得到且，则可不等式组得到m的取值范围，然后确定整数m的值． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：根据题意得且， 解得， ∴整数m的值为2． 17．如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴函数图象与轴交于点，与轴交于点； 函数图象如图所示： （2）解：直线与两坐标轴围成的面积． 18．哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：种使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个市内通话时间为分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元． (1)写出与的关系式； (2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？ 【答案】(1) (2)250分钟 【分析】本题考查了一次函数的解析式、一元一次方程的解法，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据“月缴纳的费用每分钟通话费用通话时间月租”就可以求出结论； （2）当时，建立方程求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； （2）解：由题意，得：当时， ， 解得：． 答：一个月通话为分钟时，两种通讯方式的费用相同． 19．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元 (2) (3) 【分析】此题考查的是有理数混合运算的实际应用，用关系式表示变量之间的关系，正确理解收费标准是解决此题的关键． （1）根据超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，列式计算即可； （2）根据收费标准，列出式子即可； （3）根据收费标准，列出式子即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）当时， 由题意得：； （3）当时， 由题意得：． 20．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)自变量x的取值范围是　　　． (2)列表如下：直接写出　　　． … … … … (3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． (4)结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是　　　． ②当时，的取值范围是　　　． ③结合随的变化趋势，写出你的发现：　　　．（一条即可） 【答案】(1)任意实数 (2) (3)见解析 (4)①；②；③当时，随的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象，掌握描点法画出函数图象是解题关键． （1）根据函数解析式即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）根据描点法画出函数图象，即可求解； （4）①根据函数图象，即可求解； ②观察函数图象，即可求解； ③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解． 【详解】（1）解：在函数中，自变量x可以是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）当时，， 故答案为：； （3）如图所示， （4）根据函数图象可得，函数的最大值为2， 故答案为：； 根据函数，可得时，或， 根据函数图象，当时，x的取值范围是， 故答案为： ； 函数的图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 21．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 22．若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 23．如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由求出，，根据，得到，再用待定系数法可得直线的函数表达式； （）设的中点为，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式； （）过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，设点、点，可得直线：过定点，证明，得到，，解方程组得到点，代入即可求解． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：设的中点为，如图： ∵将沿线段方向平移得到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点， ，， ， ，， ∴直线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴， 设直线的表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，如图： 设点、点， 在中，令得， ∴直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ∴点， 将点的坐标代入，得， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，图象的平移，一次函数几何应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$