第12章 函数与一次函数（复习讲义）数学沪科版2024八年级上册

第12章 函数与一次函数（复习讲义） 1. 理解函数概念，掌握变量与函数的关系. 2. 掌握一次函数（含正比例函数）的解析式、图象和性质. 3. 能根据实际问题建立一次函数模型，并解决优化类问题. 4. 理解一次函数与二元一次方程的关系，会员图象法解二元一次方程. ●一、函数的相关概念 1、变量与常量 ◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. ◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. ●二、正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. ●三、一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ●四、一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. ●五、一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 题型一 变量与常量的识别 【例1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量． 根据常量与变量的定义作答即可． 【详解】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额， 故选：A 【变式1-2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是问题中固定不变的量，变量是可以取不同值的量．逐一分析各选项，判断其表述是否正确即可． 【详解】解：选项A：矩形面积公式为，其中3是固定值，为常量；和随矩形形状变化，是变量．表述正确． 选项B：周长公式中，2和π是固定数值，为常量；和随圆的大小变化，是变量．表述正确． 选项C：匀速运动公式中，速度是固定不变的，为常量；路程和时间是变量．选项中将视为变量，表述错误． 选项D：关系式中，2和1是固定数值，为常量；和可变化，是变量．表述正确． 综上，选项C的表述不正确． 故选：C 题型二 函数的识别 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各图象中，不能表示是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据其定义：在变化过程中，若两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即存在一一对应关系，则称是的函数，为自变量，为因变量，结合图形即可求解． 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； D、对于的每一个确定的值，的值不唯一，不符合函数的定义，即不是的函数，符合题意； 故选：D ． 【变式2-2】（24-25八年级下·北京·期末）下列关系式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义，对于每个x的取值，y必须有唯一确定的值与之对应．逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． B． ：当x≠0时，每个x对应唯一的y值，是函数． C． ：当x>0时，y可解得或，即一个x对应两个y值，不满足函数定义． D． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． 故选：C． 题型三 求函数的自变量取值范围 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量取值范围，涉及分式意义的条件，明确分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键； 求分式函数自变量的取值范围时，分母不能为零，据此求解即可． 【详解】函数中，需满足， 解得， 故选C． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【变式3-2】（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零，被开方数非负列出不等式组，即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：且 故答案为：且． 题型四 求函数的值 【例4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数值；将已知的x值代入表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：当时， 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 【变式4-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可． 【解答】解：， ， 输出的的值为：， 故答案为：． 题型五 列函数解析式 【例5】（24-25七年级下·四川成都·期末）“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，根据题意，总运费由运往A村和B村的费用组成。设运往A村的机器为x台，则运往B村的机器为台；分别计算两部分的运费并求和，化简后即可得到总运费y关于x的关系式. 【详解】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元， 运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元， ∴总运费y为两部分之和，即：； 故选：D. 【变式5-1】（24-25六年级下·山东威海·期末）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列函数关系是，根据题意，初始体重为，每天减少，建立与的函数关系式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：小丽的初始体重为，每天减少，则天后减少的总重量为， 因此，天后的体重可表示为初始体重减去减少的总重量，即， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）某市出租车的价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则李老师所付的车费元与出租车行驶的路程千米之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数关系式，根据李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，进行列式化简，即可得出． 【详解】解：∵李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，且不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费． ∴ 故答案为： 题型六 实际问题中函数图象 【例6】（24-25六年级下·山东泰安·期末）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意，对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降． 所以D比较符合故事情节． 故选：D． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 【变式6-2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表． 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，根据表格的数据，结合实际问题，利用数形结合的方法是解答本题的关键．根据表格信息，再对比图象中的折点即可选出答案． 【详解】解：由题意可知，所挂砝码质量小于或等于时，每增加弹簧总长增加；当所挂砝码质量等于或大于时，弹簧总长为， 适合表示y与x的对应关系的是选项C． 故选：C． 题型七 由图象中获取信息解决问题 【例7】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（   ） A．下午13时小亮离家最远 B．8时至10时，与之间的函数表达式为 C．返程时小亮的骑行速度为 D．小亮骑行过程中一共休息了3小时 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，求函数值等知识，从图象中得到相关信息是解题的关键；根据图象对每个选项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，下午14时小亮离家最远，故选项A错误； B、对于，当时，，这与小亮上午8时从家出发不符合，故函数表达式错误，即选项B错误； C、返程时小亮的骑行速度为，故选项C正确； D、由图象知，小亮分别在上午10时到11时，下午12时到13时休息了，小亮骑行过程中一共休息了2小时，故选项D错误； 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． 根据图象得出关键信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，时和时水深最高，故本选项不符合题意； B、由图象可知，时到时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意； C、由图象可知，时的水深，故本选项不符合题意； D、两次最高水深的时间间隔为小时，故本选项符合题意． 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系．则下列说法错误的是（　　） A．体育馆到书店的距离为千米 B．小聪从家跑步到体育馆的速度为每小时千米 C．小聪的家到书店的距离为千米 D．小聪步行回家的速度为每小时千米 【答案】C 【分析】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．根据图象中特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：由图象可知： A．体育馆到书店的距离为千米，故本选项不符合题意； B．小聪从家跑步到体育馆的速度为：（千米时），故本选项不符合题意； C．小聪的家到书店的距离为：（千米），故本选项符合题意； D．小聪步行回家的速度为：（千米时），故本选项不符合题意． 故选：C． 题型八 函数的三种表示方法 【例8】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 【变式8-1】（2024秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　） A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D． 【答案】A． 【分析】根据表格可知x每增加10℃，y增加18°F，当x＝0时，y＝32，即可确定y与x的函数关系式． 【详解】解：根据表中的对应关系，可知yx+32， ∴y， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•汉中期末）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 【答案】（1）10．（2）随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）16 【分析】（1）根据表格可直接写出结果； （2）根据表格数值可发现，随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价． 【解答】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元， 故答案为：10． （2）随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价， ∴8×2＝16（元）， ∴当售出豆子8千克时，总售价是16元． 【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是解题的关键． 题型九 动点运动问题与函数图象 【例9】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（ ） A．2或12 B．2或14 C．4或14 D．4或12 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据图象求出长方形的长和宽是本题解题的关键．先根据函数图象求出长方形的长和宽，然后根据P点位置不同分类讨论，写出y关于x的表达式，代入y值求解x即可． 【详解】解：由函数图象可知，，且此时的面积为12， ， 当P在上时，， ， ， 当P在上时，， ， ， 综上所述，或 故选： 【变式9-1】 （24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势． 根据动点从点出发，首先向点运动，此时，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可． 【详解】解：当点由点向点运动，即时，的值为； 当点在上运动，即时，随着的增大而增大； 当点在上运动，即时，不变； 当点在上运动，即时，随的增大而减小． 故选：B． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 题型十 正比例函数的识别 【例10】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，故A符合题意； B．，含常数项，属于一次函数而非正比例函数，故B不符合题意； C．，位于分母，次数为，不符合一次项的要求，故C不符合题意； D．，的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，故D不符合题意． 故选：A． 【变式10-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件． 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 【变式10-2】 （24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足变量为一次且无常数项． 【详解】解：选项A：，可化简为，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意； 选项B：，变量的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，不符合题意； 选项C：，虽然的次数为1，但存在常数项，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意； 选项D：，展开后为，同样含有常数项，不符合正比例函数的形式，不符合题意； 故选：A． 题型十一 由正比例函数的定义求参数 【例11】（24-25八年级下·福建莆田·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数作答即可． 【详解】∵y关于x的函数是正比例函数， ∴ 故选：B 【变式11-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）若函数是正比例函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解答此题的关键．一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，且， ∴． 故选：B． 【变式11-2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型十二 正比例函数的图象 【例12】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是函数的图象，则k的值可能是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据增减性确定k值的正负，即可求解． 【详解】解：由图可知，y随x的增大而增大， 因此， 观察四个选项，只有选项A符合要求， 故选A． 【变式12-1】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A．B． C．D． 【答案】C． 【分析】利用正比例函数的性质可判断k＜0，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴直线y＝kx经过原点和第二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数图象：正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点的直线，当k＞0，直线经过第一、三象限；当k＜0，直线经过第二、四象限． 【变式12-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 题型十三 利用正比例函数性质比较函数值大小 【例13】（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知点，都在正比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的解析式代入点的坐标，计算对应的y值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，都在正比例函数的图象上， ∴，， ∵， 即， 故选：B 【变式13-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，掌握正比例函数的增减性是解题关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：， ，随的增大而增大， 点都在正比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 【变式13-2】 （24-25八年级下·吉林·期中）若正比例函数的图像经过点和点，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，根据正比例函数的大小变化规律判断的符号是解题关键． 根据正比例函数的大小变化规律，结合题意，可得随的增大而减小，即，即可求解． 【详解】解：在正比例函数的图象中，时，， 随的增大而减小， ，解得：． 故选：B． 题型十四 利用正比例函数的性质求参 【例14】（24-25八年级下·吉林·期末）若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的增减性与系数k的符号关系是解答的关键． 根据正比例函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵正比例函数（为常数，且）的函数值随着的增大而增大， ∴， 只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式14-1】（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 【变式14-2】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质． 根据正比例函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：正比例函数过二、四象限 则， 解得（舍去）或 故答案为： 题型十五 一次函数的识别 【例15】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； B、中，不是整式函数，不符合一次函数定义，故不符合题意； C、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意； 故选：D． 【变式15-1】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的．根据一次函数的定义，形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：，分母含x，不符合一次函数的定义． 选项B：，整理为，符合的形式，其中，满足一次函数的条件． 选项C：，变量a的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数的定义． 选项D：，虽然形式类似一次函数，但未明确．若，不符合一次函数的定义．因此无法确定其必然为一次函数． 故选：B． 【变式15-2】（2024春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可． 【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； B．不是一次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意； D．不是一次函数，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 题型十六 由一次函数的定义求参 【例16】（2024春·江西九江·八年级统考期中）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（   ） A．3 B．-12 C．-4 D．0 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0． 【详解】解：∵的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【变式16-1】（2024春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用一次函数的性质得，再利用一次函数与轴交点得到，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】∵一次函数， 随的增大而增大， ∴， ∵函数图象与轴的交点在轴下方， ∴， 则：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用． 【变式16-2】（2024春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先根据已知条件判断出与异号，进一步可知函数的增减性，即可求出的取值范围． 【详解】解： ， 与异号， 在一次函数中，随的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 题型十七 一次函数的图象 【例17】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 【变式17-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，从表中可以看出，自变量和函数值的关系，即可判定． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小， ∴这个函数的图象可能是C， 故选：C． 【变式17-2】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）下面表示正比例函数与一次函数（是常数，且）图象的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由正比例函数的图象可得b的符号，由一次函数图象分析可得、的符号，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者不矛盾，故此选项符合题意； B、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； C、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； D、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型十八 利用一次函数性质比较函数值大小 【例18】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）点在直线上，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的增减性（当时，随的增大而减小）． 先判断一次函数的增减性，再比较自变量的大小，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解：对于直线，其中，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． ，则三个自变量的大小关系为． 因为随的增大而减小，所以对应的函数值的大小关系为（自变量越大，函数值越小）． 故选：A． 【变式18-1】 （2024春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线上有三个点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【变式18-2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 题型十九 利用一次例函数的性质求参 【例19】（2024春•兴隆县期末）已知一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．0＜k D．k 【答案】C． 【分析】由一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，则1﹣2k＞0，而图象经过第一、二、三象限，即图象与y轴的交点在x轴的上方，则k＞0，解两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大， ∴1﹣2k＞0，即k； 由∵图象经过第一、二、三象限， ∴k＞0； 所以k的取值范围是0＜k． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【变式19-1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，则k满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．一次函数的图象经过第一、二、四象限时，需满足斜率（使函数从左到右下降）且截距（使图象与轴正半轴相交），分别分析给定函数的斜率和截距的条件即可． 【详解】一次函数的图象图象经过第一、二、四象限， 且， 解得． 故答案为：． 【变式19-2】（2024春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用一次函数的性质得，再利用一次函数与轴交点得到，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】∵一次函数， 随的增大而增大， ∴， ∵函数图象与轴的交点在轴下方， ∴， 则：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用． 题型二十 一次函数的性质 【例20】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质，平移规律，函数值比较进行分析即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由，， ∴图象经过第一、二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、当时，，故图象经过点，原选项正确，不符合题意； 、函数由向上平移个单位得到，而非向下平移，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式20-1】（24-25八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的定义及系数的符号逐一分析判断即可. 【详解】解： 选项A：正比例函数的图象是一条过原点的直线，而非双曲线（双曲线是反比例函数的图象），因此A错误； 选项B：将代入函数，得，即图象经过点，而非，故B错误； 选项C：系数，正比例函数中当时，图象经过第一、三象限，因此C正确； 选项D：由于，函数中随的增大而增大，而非减小，因此D错误； 故选：C 【变式20-2】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系． 根据据一次函数的特征，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A．将代入函数，得，无论取何值，函数图象必过点，故该选项说法正确，符合题意； B．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意； C．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，故该选项说法错误，不符合题意； D．当，，此时图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型二十一 一次函数的平移 【例21】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的平移，根据函数图象平移的规律，沿y轴平移时，遵循“上加下减”的原则，直接在函数表达式的常数项上进行加减． 【详解】解：原直线为，沿y轴向下平移2个单位长度，平移后的函数解析式为， 故选：A． 【变式21-1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质及图像、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 【变式21-2】（2024秋•庐阳区校级期中）已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）yx+2；（2）5． 【分析】（1）由y+3与x+2成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）该函数的图象向上平移3个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可． 【解答】解：（1）设y+3＝k（x+2）， 把x＝2，y＝7代入得：7+3＝4k，即k， 则y与x函数关系式为y+3（x+2），即yx+2； （2）将直线yx+2向上平移3个单位后得到的直线是：yx+5； ∵当y＝0时，x＝﹣2． 当x＝0时，y＝5， ∴平移后的图象与x轴交点的坐标是（﹣2，0），与y轴的交点坐标是（0，5）， 则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：5． 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 题型二十二 待定系数法求一次函数解析式 【例22】已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 【答案】﹣1． 【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值． 【详解】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【变式22-1】（2024春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把点代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：设y与x之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：． 则y与x函数关系式为， 即y与x之间的函数解析式为； （2）解：把点代入， 得：， 解得． 【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图象与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键． 【变式22-2】（2024春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【答案】(1) (2)，，三点在同一条直线上，详见解析 【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． 【详解】（1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、判定点是否在直线上，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解答的关键． 题型二十三一次函数的实际应用---工程问题 【例23】（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为 分钟． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：剩余张数和工作时间的函数关系是一次函数关系， 设该函数解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，， 解得：， 即张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为20分钟． 故答案为：20 【变式23-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 【答案】3或16 【分析】本题考查一次函数的应用．根据图象分别求出进水速度和出水速度，从而分别写出当、时y与x之间的函数关系式，当时，求出对应x的值即可． 【详解】解：进水速度为， 出水速度为， 当时，y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， ， 当时， y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是． 故答案为：3或16． 【变式23-2】有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用，首先由函数图象可知甲、乙两个函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法分别求出两个函数的解析式，把两个解析式联立得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出注水的时间． 【详解】解：设甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，甲的函数图象经过点和， 可得：， 解方程组得：， 甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为； 设乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，乙的函数图象经过点，， 可得：， 解得：， 乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 解方程组， 可得：， 当注水小时，两个蓄水池的蓄水量相同． 题型二十四一次函数的实际应用---行程问题 【例24】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度已经轿车返回时的速度，然后即可计算出相遇处到甲地的距离． 【详解】解：由图象可得：甲乙两地相距90千米，故A选项正确，不符合题意； 货车的速度为：（千米/小时）， 轿车返回时的速度为：（千米/小时），故B选项正确，不符合题意； 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时， ， 解得：，故C选项正确，不符合题意； 当货车到达乙地时，， 此时轿车离乙地的距离为（千米），故D错误，符合题意； 故选：D． 【变式24-1】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）某天小明从家骑自行车前往图书馆，中途休息一段时间后，继续骑自行车到达图书馆．小明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系如图所示．则下列描述正确的是（   ） A．休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为 B．小明家到图书馆的距离为 C．小明休息前的骑行速度大于休息后的骑行速度 D．小明从家到图书馆共骑行 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，从函数图象中获得信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数解析式．根据待定系数法求出一次函数解析式即可判断A选项；根据函数图象可以直接判定B选项；先分别求出小明休息前的骑行速度和休息后的骑行速度，然后进行比较，即可判定C选项；根据图象求出骑行时间即可判断D选项． 【详解】解：A．设休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为，故A正确； B．根据函数图象可知：小明家到图书馆的距离为，故B错误； C．小明休息前的骑行速度为：， 休息后的骑行速度为：， ∴小明休息前的骑行速度等于休息后的骑行速度，故C错误； D．小明从家到图书馆共骑行，故D错误． 故选：A． 【变式24-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）2023年世界泳联跳水世界杯在西安奥体中心举行，小亮和姐姐周末去观赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到奥体中心看比赛，到达赛场后看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时小亮刚看完上一场比赛从奥体中心步行返回家中，结果比姐姐早到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离与所用时间之间的关系图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题：    (1)_______________，______________； (2)求出姐姐从家前往奥体中心的过程中，姐姐离家的距离与时间之间的关系式； (3)在姐姐去奥体中心的过程中，为何值时，两人相距． 【答案】(1)40；70 (2) (3)在姐姐去奥体中心的过程中，或时，两人相距 【分析】（1）根据姐姐从家到奥体中心用时，到达赛场后看比赛用了，求出b的值；求出姐姐从奥体中心返回家中用的时间，最后根据比姐姐早到家求出a的值即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出小亮返回时的函数解析式，根据函数解析式，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：根据图像可知，姐姐从家到奥体中心用时，到达赛场后看比赛用了，因此； ∵姐姐看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中， ∴姐姐去奥体中心和返回用的时间都是， ∴． 故答案为：40；70． （2）解：姐姐从家前往奥体中心的过程中，姐姐离家的距离与时间之间的关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴姐姐离家的距离与时间之间的关系式为． （3）解：设小亮返回时的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴小亮返回时的函数解析式为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 答：在姐姐去奥体中心的过程中，或时，两人相距． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法求出函数解析式． 题型二十五 一次函数的实际应用---销售问题 【例25】（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B． 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【详解】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 【变式25-1】（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　 　元． 【答案】260． 【分析】根据题意求出x＞10时与y与x之间的函数关系式，再把x＝30代入计算可得答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0）， 则， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20， 当x＝30时，y＝30×8+20＝260， ∴小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款260元， 故答案为：260． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 【变式25-2】（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 【答案】（1）． （2）40.（3）30. 【分析】（1）分没有超过10斤和超过10斤两种情况，分别根据“付款金额＝单价×数量”列出函数关系式即可； （2）将x＝8代入相应的解析式求解即可； （3）将y＝130代入函数解析式中计算对应的x的值即可． 【详解】解：（1）由题意得： 当0＜x≤10时，y＝5x， 当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）∵8＜10， ∴小李在该果园购买8斤苹果的花费为：8×5＝40元． 答：小李花了40元． （3）令y＝130，则4x+10＝130，解得：x＝30． 答：小李一共能购买30斤苹果． 【点睛】本题主要考查了函数的关系式，利用分类讨论的方法依据题意列出函数关系式是解题的关键． 题型二十六 一次函数的实际应用---方案选择问题 【例26】（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 【答案】(1)A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元 (2)当时，，当时， (3)最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元，再根据题意列出方程组，再解出，即可作答． （2）结合在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折，得出当时，；当时，，即可作答． （3）由题意可得：，得出a的最小值为55，设所需费用为w元，，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元， 根据题意得：， 解得， 答：A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元． （2）解：依题意，当时，； 当时，． （3）解：设购买B型劳动工具a个，则购买A型劳动工具个， 由题意可得：， 解得：， a为整数， ∴a的最小值为55， 设所需费用为w元，， ∵ ∴随着的增大而增大 当时，w最小，最小值为（元） ∴最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元． 【变式26-1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买副某种羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供师生免费借用，两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价均为元，目前两家超市同时在做促销活动： 超市：所有商品均打八折销售； 超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球． 设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）请解答下列问题： (1)分别写出，与之间的关系式； (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配个羽毛球，请你直接写出购买羽毛球拍和羽毛球费用最低的方案及最低费用． 【答案】(1)， (2)当时，在超市购买更划算；当时，两家超市的费用相同；当时，在超市购买更划算； (3)在超市购买副羽毛球拍并获赠个羽毛球，再在超市购买个羽毛球，元． 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两个超市的优惠情况计算即可； （2）比较，的大小即可； （3）在超市购买副羽毛球拍并获赠一定数量的羽毛球，再在超市购买剩余的羽毛球所需的费用最低，并计算最低费用即可． 【详解】（1）解：，， 与之间的关系式为，与之间的关系式为； （2）解：当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，在超市购买更划算；当时，两家超市的费用相同；当时，在超市购买更划算； （3）解：在超市购买副羽毛球拍，花费元，送个羽毛球， 剩余的羽毛球在超市购买，花费元， 元， 最低费用为元． 【变式26-2】（24-25八年级下·广东江门·期末）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，甲品牌书包进价是每件60元，售价是每件80元，乙品牌书包进价是每件56元，售价是每件72元，设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元． (1)请求y关于x的函数解析式； (2)该文具店是否会获得利润1382元？请说明理由； (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)不会，见解析； (3)购进甲品牌书包32个、乙品牌书包48个才能获得最大利润，最大利润是1408元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：， 与的函数关系式为． （2）解：该文具店不会获得利润1382元．理由如下： 当时，得， 解得， ∵25.5不是整数， ∴该文具店不会获得利润1382元； （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大，， （个）． 答：购进甲品牌书包32个、乙品牌书包48个才能获得最大利润，最大利润是1408元． 题型二十七 一次函数与一元一次方程 【例27】（2024秋•温县期中）已知一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则方程mx﹣n＝0的解可能 是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x D．x＝﹣2 【答案】C． 【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数y＝mx﹣n的图象与x轴的交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴方程mx﹣n＝0的解可能是在﹣2和﹣1之间． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键． 【变式27-1】（2024秋•胶州市期中）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0）中，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 则关于x的方程ax+b＝2的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【答案】B． 【分析】根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当x＝0时，y＝2， 因而方程ax+b＝2的解是x＝0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【变式27-2】（2024春•青云谱区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．4 【答案】B． 【分析】利用方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点横坐标解决问题． 【详解】解：∵直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A（﹣4，2）， ∴关于x的方程mx+n＝px+q的解为x＝﹣4． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，方明确方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点横坐标是解题的关键． 题型二十八一次函数与一元一次不等式 【例28】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 【变式28-1】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知与x轴，y轴分别交于和，则当时，x的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数与不等式，利用数形结合是解题的关键．充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围． 【详解】解：当时，函数图象位于x轴左方， 根据函数图象可得：时， 故选：D． 【变式28-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数及图像与一元一次不等式．解题的关键是从函数图像的角度看，通过比较两函数图像的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．结合函数图像，写出一次函数图像不在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（a，b为常数，）的图像与x轴交于点， 即时，， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 题型二十九 一次函数与二元一次方程（组） 【例29】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若一次函数（、为常数且）与一次函数（、为常数且）的图象交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组的解为， 故选：A． 【变式29-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据两直线的交点与二元一次方程组的解知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：关于x，y的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 【变式29-2】（2024春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． （1）求b的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由． （4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集． 【答案】（1）2．（2） （3）见详解.（4）x≥1． 【分析】（1）把P（1，b）代入直线l1：y=x+1即可求出b的值； （2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点坐标； （3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断； （4）根据点P（1，b）即可得到结论． 【解答】解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2． （2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标， 即解为： （3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点． （4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． 题型三十 一次函数的综合运用 【例30】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，与直线交于点，直线的表达式为（，是常数且），与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)，，； (2)的面积为； (3)的最大值为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，能正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （）将代入直线的表达式为求出的值，然后把，代入为即可求出，的值； （）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （）将转化为的一次函数，然后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：的图象过， ∴，解得：； ∵直线：的图象过，， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：由（）得，，，， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为． 【变式30-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点C坐标，根据计算求解即可； （3）求出的面积，进而可得点M的横坐标，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点M的坐标为或． 【变式30-2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标； (3)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点，若的长为3．求点的坐标； 【答案】(1) (2)D点的坐标为或 (3)E点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线的解析式即可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据的面积是面积的求出的长即可求解； （3）设点的坐标为，根据点、点、点在同一直线上，写出点、点的坐标，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ， 解得， ； 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）由题意，得 ， ∴， ∴D点的坐标为或； （3）根据题意设点坐标为， 点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上， ，， 又， ， 解得或， 点的坐标为或 基础巩固通关测 1．（2025·四川内江·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若函数的函数值为0，则自变量的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，求函数自变量的值掌握分式方程的解法是解题的关键．根据函数的函数值为0，得出，解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∴ 解得：， 检验：当时，， ∴自变量的值为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·广西钦州·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题．将一次函数向下平移3个单位后得到正比例函数，可得到平移后的函数解析式常数项为0．根据平移规律，原函数表达式调整后求解即可． 【详解】解：原一次函数为，向下平移3个单位后，解析式变为． 因为平移后是正比例函数， 所以， 即． 故选：A 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一客车从甲地开往距甲地的乙地，行驶到达丙地停留，又行驶到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，根据行驶分钟时，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，距离不变；继续行驶，距离逐渐变短最后为，据此即可求解，读懂题目信息，明确整个过程分为三阶段进行是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图象分三段： 第一段：行驶，由到，距离变短，由随的增大而减少； 第二段：停留，由到，距离不变，随的增大而不变； 第三段：行驶，距离变短，随的增大而减少，最后为； 综上可知，符合题意的只有选项， 故选：． 5．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而增大， 所以当时，函数值大于0， 即关于x的不等式的解集是． 故选：A． 6．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是从函数图象中获取信息并进行分析计算． 通过观察函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质，对四个结论逐一分析判断． 【详解】当时，，此时过滤时间为0，即初始状态，所以初始污水总量为5升，结论①正确； 从图象中可以看到，当时，对应的，这表示当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升，结论②正确； 根据图象，2分钟内过滤的污水量是初始污水量5升减去2分钟时剩余的4升，即升．根据“速度过滤的污水量时间“，可得污水过滤速度为升/分钟，结论③正确； 已知初始污水总量为5升，污水过滤速度为0.5升／分钟．根据“时间总量速度“，可得过滤全部污水需要的时间为分钟，结论④正确． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数中，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式：是关键． 根据正比例函数的定义得，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：3． 8．（24-25八年级下·北京·期末）一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值： ． 【答案】2（或3） 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意可知，可求出k的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数过第四象限，且随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴符合条件的整数的值有2或3． 故答案为：2（或3） 9．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符号特征进行取舍．先表示出一次函数与轴、轴交点坐标，再根据图象信息确定取值范围，最后根据“一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 一次函数与轴的交点为，与轴的交点为 一次函数经过第一象限，且 一次函数图象与轴、轴交点均在正半轴，即 一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2 即 或（舍） 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·湖南永州·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快 里/日． 【答案】90 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 11．（2024春·上海长宁·八年级校考期中）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 【答案】 【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【详解】解：设平移后直线的解析式为． 把代入直线解析式得， 解得 ． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 12．（2024春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数中即可得出结果． 【详解】点在一次函数的图象上， ， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键． 能力提升进阶练 13．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【答案】(1) (2)油箱中还有油 (3)汽车最多能行驶千米 【分析】本题考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值； （1）根据油箱容量为升的汽车，加满汽油后行驶了千米时，油箱中的汽油大约消耗了升，可以求出每千米的耗油量，从而可以得到与之间的函数关系式． （2）将代入关系式，即可求解； （3）令，代入关系式，即可求解． 【详解】（1）解： 每千米耗油量为：（升）， 由题意得：， 即与之间的函数关系式是：． 故答案为：． （2）当时，， （3）当时， 解得： 汽车最多能行驶千米 14．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【答案】(1)， (2) (3)总长度为的链条由40节组成 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，解题的关键是正确的列出函数关系式： （1）根据题意可知每增加一节，增加，进行求解即可； （2）根据（1）中结论，列出函数关系式即可； （3）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每增加一节，链条增加， 2节链条的总长度， 3节链条的总长度， 故答案为：，； （2） ； （3）当时， 解得， 总长度为的链条由40节组成． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)求这条直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将，分别代入，解得， 该函数表达式为； （2）解：在中，令，由得， ， ， ， ， ． 16．（2024春•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+5的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，求△AOC的面积． 【答案】（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为（0，5）． （2）． 【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可； （2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）由 y＝﹣2x+5 令y＝0，，令x＝0，y＝5， ∴点A的坐标为 ，点B的坐标为（0，5）． （2）∵点C（1，b）在y＝﹣2x+5 的图象上， ∴b＝﹣2×1+5． ∴b＝3， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 17．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)当时，求相应的的取值范围； (3)已知函数的值满足，求相应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式（组），掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，画出图象即可； （2）根据一次函数的图像，即可解答； （3）根据一次函数的图像，即可解答． 【详解】（1）解∶ 当时，，当时，，解得， ∴直线与y轴交于，与x轴交于， 画图如下： ； （2）解：由图像可知，当时，， （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可知，当时，． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【答案】(1)①面积为；②； (2)或6 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． （1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可； ②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围； （2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）①当时，， ∴． 将代入，得． 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②当时，直线在直线的下面，即， ∴的解集为； （2）， 解得 ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴整数k的值为5、6． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距 ， ； (2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； (3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【答案】(1)540，6 (2)；甲、乙出发3h后在距离B地处相遇 (3)或 【分析】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． （1）根据图象和题意直接得出结论； （2）先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义； （3）根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式； 【详解】（1）解：由图象可知：两地相距， 乙在时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到地， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意知：（）， ∴（， ∴ ， ∴， ∴， 点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地处相遇； （3）解：当时，图象过原点和E点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，设， 把和代入得， ， 解得：， ∴， 综上：； 20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点 (1)若点P在y轴上，且，求点P的坐标； (2)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了求两直线交点，求直线围成的三角形的面积，线段长度问题，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意，求得，设，根据列出方程，解方程即可求解； （2）点M在直线上，点M横坐标为m，则，，根据，则M在N点的上方，根据，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：直线与坐标轴分别交于A，B两点， 令，解得， ， ，， ， 由点P在y轴上，可设， ， ， ， 解得， ， 即或； （2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m， ，， ， 在N点的上方， ， 即， 解得， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 函数与一次函数（复习讲义） 1. 理解函数概念，掌握变量与函数的关系. 2. 掌握一次函数（含正比例函数）的解析式、图象和性质. 3. 能根据实际问题建立一次函数模型，并解决优化类问题. 4. 理解一次函数与二元一次方程的关系，会员图象法解二元一次方程. ●一、函数的相关概念 1、变量与常量 ◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. ◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. ●二、正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. ●三、一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ●四、一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. ●五、一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 题型一 变量与常量的识别 【例1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【变式1-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【变式1-2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 题型二 函数的识别 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级下·浙江台州·期末）下列各图象中，不能表示是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·北京·期末）下列关系式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型三 求函数的自变量取值范围 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 题型四 求函数的值 【例4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 题型五 列函数解析式 【例5】（24-25七年级下·四川成都·期末）“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25六年级下·山东威海·期末）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）某市出租车的价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则李老师所付的车费元与出租车行驶的路程千米之间的关系式为 ． 题型六 实际问题中函数图象 【例6】（24-25六年级下·山东泰安·期末）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（     ） A．B．C．D． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【变式6-2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表． 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   题型七 由图象中获取信息解决问题 【例7】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（   ） A．下午13时小亮离家最远 B．8时至10时，与之间的函数表达式为 C．返程时小亮的骑行速度为 D．小亮骑行过程中一共休息了3小时 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系．则下列说法错误的是（　　） A．体育馆到书店的距离为千米 B．小聪从家跑步到体育馆的速度为每小时千米 C．小聪的家到书店的距离为千米 D．小聪步行回家的速度为每小时千米 题型八 函数的三种表示方法 【例8】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【变式8-1】（2024秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　） A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D． 【变式8-2】（2024春•汉中期末）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 题型九 动点运动问题与函数图象 【例9】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（ ） A．2或12 B．2或14 C．4或14 D．4或12 【变式9-1】 （24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A．B．C．D． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 题型十 正比例函数的识别 【例10】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-2】 （24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 由正比例函数的定义求参数 【例11】（24-25八年级下·福建莆田·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）若函数是正比例函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值是 ． 题型十二 正比例函数的图象 【例12】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是函数的图象，则k的值可能是（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式12-1】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A．B． C．D． 【变式12-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 题型十三 利用正比例函数性质比较函数值大小 【例13】（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知点，都在正比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】 （24-25八年级下·吉林·期中）若正比例函数的图像经过点和点，当时，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 利用正比例函数的性质求参 【例14】（24-25八年级下·吉林·期末）若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　） A．2 B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ． 题型十五 一次函数的识别 【例15】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式15-2】（2024春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 题型十六 由一次函数的定义求参 【例16】（2024春·江西九江·八年级统考期中）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（   ） A．3 B．-12 C．-4 D．0 【变式16-1】（2024春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【变式16-2】（2024春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则实数a的取值范围为 ． 题型十七 一次函数的图象 【例17】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A．B．C．D． 【变式17-2】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）下面表示正比例函数与一次函数（是常数，且）图象的是（　　） A．B．C．D． 题型十八 利用一次函数性质比较函数值大小 【例18】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）点在直线上，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】 （2024春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线上有三个点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十九 利用一次例函数的性质求参 【例19】（2024春•兴隆县期末）已知一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．0＜k D．k 【变式19-1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，则k满足的条件是 ． 【变式19-2】（2024春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 题型二十 一次函数的性质 【例20】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 【变式20-1】（24-25八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【变式20-2】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 题型二十一 一次函数的平移 【例21】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式21-1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式21-2】（2024秋•庐阳区校级期中）已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 题型二十二 待定系数法求一次函数解析式 【例22】已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 【变式22-1】（2024春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求m的值． 【变式22-2】（2024春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 题型二十三一次函数的实际应用---工程问题 【例23】（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为 分钟． 【变式23-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 【变式23-2】有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为 ． 题型二十四一次函数的实际应用---行程问题 【例24】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【变式24-1】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）某天小明从家骑自行车前往图书馆，中途休息一段时间后，继续骑自行车到达图书馆．小明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系如图所示．则下列描述正确的是（   ） A．休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为 B．小明家到图书馆的距离为 C．小明休息前的骑行速度大于休息后的骑行速度 D．小明从家到图书馆共骑行 【变式24-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）2023年世界泳联跳水世界杯在西安奥体中心举行，小亮和姐姐周末去观赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到奥体中心看比赛，到达赛场后看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时小亮刚看完上一场比赛从奥体中心步行返回家中，结果比姐姐早到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离与所用时间之间的关系图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题：    (1)_______________，______________； (2)求出姐姐从家前往奥体中心的过程中，姐姐离家的距离与时间之间的关系式； (3)在姐姐去奥体中心的过程中，为何值时，两人相距． 题型二十五 一次函数的实际应用---销售问题 【例25】（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【变式25-1】（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　 　元． 【变式25-2】（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 题型二十六 一次函数的实际应用---方案选择问题 【例26】（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 【变式26-1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买副某种羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供师生免费借用，两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价均为元，目前两家超市同时在做促销活动： 超市：所有商品均打八折销售； 超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球． 设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）请解答下列问题： (1)分别写出，与之间的关系式； (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配个羽毛球，请你直接写出购买羽毛球拍和羽毛球费用最低的方案及最低费用． 【变式26-2】（24-25八年级下·广东江门·期末）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，甲品牌书包进价是每件60元，售价是每件80元，乙品牌书包进价是每件56元，售价是每件72元，设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元． (1)请求y关于x的函数解析式； (2)该文具店是否会获得利润1382元？请说明理由； (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 题型二十七 一次函数与一元一次方程 【例27】（2024秋•温县期中）已知一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则方程mx﹣n＝0的解可能 是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x D．x＝﹣2 【变式27-1】（2024秋•胶州市期中）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0）中，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 则关于x的方程ax+b＝2的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【变式27-2】（2024春•青云谱区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．4 题型二十八一次函数与一元一次不等式 【例28】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式28-1】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知与x轴，y轴分别交于和，则当时，x的取值为（     ） A． B． C． D． 【变式28-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为 ． 题型二十九 一次函数与二元一次方程（组） 【例29】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若一次函数（、为常数且）与一次函数（、为常数且）的图象交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式29-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式29-2】（2024春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． （1）求b的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由． （4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集． 题型三十 一次函数的综合运用 【例30】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，与直线交于点，直线的表达式为（，是常数且），与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【变式30-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式30-2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标； (3)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点，若的长为3．求点的坐标； 基础巩固通关测 1．（2025·四川内江·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若函数的函数值为0，则自变量的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西钦州·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一客车从甲地开往距甲地的乙地，行驶到达丙地停留，又行驶到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数中，当 时，是的正比例函数． 8．（24-25八年级下·北京·期末）一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值： ． 9．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·湖南永州·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快 里/日． 11．（2024春·上海长宁·八年级校考期中）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 12．（24-25八年级下·河北沧州·期末）关于一次函数，给出下列结论：①图象经过第一，二，四象限；②图象与轴交于点；③图象向下平移个单位经过原点；④点在函数图象上其中正确的说法是 ．（只填序号） 能力提升进阶练 13．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 14．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)求这条直线与坐标轴围成的的面积． 16．（2024春•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+5的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，求△AOC的面积． 17．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)当时，求相应的的取值范围； (3)已知函数的值满足，求相应的的取值范围． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距 ， ； (2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； (3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点 (1)若点P在y轴上，且，求点P的坐标； (2)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$