第12章 函数与一次函数（优质类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第12章 函数与一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、图象中的动点问题 【解惑】如图，在矩形中，，，点 P 从点 A 出发，沿折线运动，当点P与点B重合时停止运动．设点P运动的路程为 x，的面积为y，当点P在上运动时，则y 与x 之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是 ． 3．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为 ； （2）当时，函数与函数解析式为 ． 类型二、一次函数与二元一次方程组 【解惑】已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 2．如果函数与的图象的交点坐标是，那么关于的二元一次方程组的解是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 类型三、一次函数与一元一次不等式 【解惑】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为 ． 类型四、一次函数的规律 【解惑】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则 ． 3．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【融会贯通】 1．为了保护古运河沿线水环境，梁溪区综合治理指挥部决定购买、两种型号的污水处理设备共台，已知用万元购买型设备的数量恰好与万元购买型设备的数量相同，每台设备价格及月污水处理量情况如下表： 污水处理设备 型 型 价格（万元台） 月处理污水量（吨台） (1)求的值． (2)已知每月需要处理污水总量不少于吨，问指挥部如何购买这两种设备花费最少？并求出最少花费金额． 2．2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 3．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【融会贯通】 1．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 2．某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价43元，乙种鲜花每束定价40元．请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 3．某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． (1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 类型七、一次函数的绝对值 【解惑】对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【融会贯通】 1．小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 3．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 类型八、一次函数的旋转 【解惑】一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 2．如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 3．已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 类型九、一次函数的应用——行程问题 【解惑】某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【融会贯通】 1．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从两点同时同向出发，历时7分钟同时到达点，乙机器人始终以60米／分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离（米）与他们的行走时间（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是___________米，甲机器人前2分钟的速度为___________米／分； (2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段所在直线的函数解析式； (3)若线段轴，则此段时间，甲机器人的速度为___________米／分； (4)求、两点之间的距离； (5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 2．甲、乙两地的路程为，一辆汽车早上从甲地出发、匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后按原速继续前进，当离甲地路程为时接到通知，要求中午准时到达乙地．设汽车出发后离甲地的路程为，图中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______； (2)求线段所对应的y与x之间的函数表达式； (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 3．周末，小明从宿舍出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回宿舍，如图的图象反映了这个过程中小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） (2)填空： ①小明从小吃店到图书馆的速度为_______千米/分钟； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是______分钟． ③当时，请直接写出小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系； (3)小明从小吃店出来30分钟后，同宿舍的小强从宿舍出发去图书馆，小强的速度为千米/分钟，当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有多远？（直接写出结果） 类型十、一次函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形的“关联点”． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， (2)已知点，，，，，，且线段上的任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 【融会贯通】 1．平面上的“变换”，是指按照某种法则，把某一个点对应到另一个点，平移、旋转、对称就是不同形式的变换．在平面直角坐标系中，设点，变换把点对应到点，记为，定义如下： 当时，点坐标为；当时，点坐标为．回答下列问题： (1)已知，，则的坐标为_____，的坐标为_____． (2)已知的坐标为，则点的坐标为_____． (3)当点取遍直线上所有点时，对应点形成一条直线，这条直线的解析式为_____． (4)如图，设，，，，正方形边界及内部构成区域，当取遍中所有点时，对应点形成区域． ①请在下图右侧坐标系中画出区域，用阴影表示； ②设，，，其中是常数．已知区域内存在点，使得直线等分的面积，则的取值范围是_____． ③设，，，其中是常数．已知存在常数，使得对任意的，区域内都存在点，使得直线等分的面积，则的取值范围是_____． 2．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“－制导点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点时，点的“－制导点”的坐标为________； ②若点为点的“－制导点”，则点的坐标为________； (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“－制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“－制导点”，直接写出的取值范围________． 3．在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． (1)如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； (2)已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 6 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（2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论． 【详解】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示， ∵与矩形两边分别交于M、N两点， ∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S， ∴S与b函数关系式是：； ∴当时，直线经过点， ∴； 当点时，如图所示， 此时点N到的距离不变为4， ∴； 故答案为：；． 类型二、一次函数与二元一次方程组 【解惑】已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．把代入求出m得到C点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】∵点在直线 上， ∴， 解得， ∴点C的坐标为， ∴方程组  的解是 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用待定系数法求得两个一次函数的解析式，即可求得答案． 【详解】解：不妨设、为，， 不妨设过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 由题意可知，过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 直线、的交点坐标可以看做方程组的解， 故选：A． 2．如果函数与的图象的交点坐标是，那么关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先把代入，从而求得，得出交点坐标为，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式，组成的方程组的解求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得： ∴函数与的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点， 关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为： ． 类型三、一次函数与一元一次不等式 【解惑】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键． 以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图像写出解集即可． 【详解】解：∵一次函数与的图像交点为，且， ∴． 故选A． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键．直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：B． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．先求出点P的坐标，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：将点P坐标代入得，， 解得：， 所以点P的坐标为， 由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以关于x的不等式的解集为：． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：求得A点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：如图， 由，解得， ， 根据图象，不等式的解集为 故答案为： 类型四、一次函数的规律 【解惑】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：C． 2．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到． 根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：根据题意， ∵ ∴， ， ， …… ∴； ∴． 故答案为： 3．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 【融会贯通】 1．为了保护古运河沿线水环境，梁溪区综合治理指挥部决定购买、两种型号的污水处理设备共台，已知用万元购买型设备的数量恰好与万元购买型设备的数量相同，每台设备价格及月污水处理量情况如下表： 污水处理设备 型 型 价格（万元台） 月处理污水量（吨台） (1)求的值． (2)已知每月需要处理污水总量不少于吨，问指挥部如何购买这两种设备花费最少？并求出最少花费金额． 【答案】(1)的值是； (2)购买型设备台，购买型设备为台时，这两种设备花费最少，最少花费是万元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． （）根据题意和表格中的数据可以列出相应的分式方程，从而可以求得的值； （）购买型设备台，则购买型设备为台，花费为万元，则有，又，解得，所以当时，取得最小值，即购买型设备台，购买型设备为台时，这两种设备花费最少，最少花费是万元． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 即的值是； （2）解：设购买型设备台，则购买型设备为台，花费为万元， ∴， ∵， 解得，， ∴当时，取得最小值， 此时，， 答：购买型设备台，购买型设备为台时，这两种设备花费最少，最少花费是万元． 2．2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2)；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 3．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束 (2)当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束，根据“进货10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；进货10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种鲜花m 束，则购进乙种鲜花束，根据购进甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束； （2）解：设购进甲种鲜花m束，则购进乙种鲜花束， 根据题意得：， 解得：． 设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，则， ∴． 当，即时，w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束； 当，即时，， ∴当时，销售利润为定值； 当，及时，w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束． 答：当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束． 【融会贯通】 1．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 【答案】(1)甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； (2)总利润的最大值是1780元 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握销售利润问题解分式方程，解不等式，一次函数的增减性，是解题的关键． （1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果数量多8盒”列方程求解； （2）设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求得，设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，得，根据w随m的增大而增大，，且m，均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，但不合题意， ∴， ∴． 答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； （2）解：设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果， 根据题意得：， 解得：． 设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵，且m，均为正整数， ∴当时，w取得最大值， 最大值为（元）． 答：总利润的最大值是1780元． 2．某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价43元，乙种鲜花每束定价40元．请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种鲜花每束的进价为25元，乙种鲜花每束的进价为20元 (2)花店获利最大的进货方案为甲鲜花购进60束、乙鲜花购进30束，最大利润为1680元 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以一次函数的应用，根据已知关系得出方程以及函数解析式是解题关键． （1）设甲种鲜花的进价为x元，乙种鲜花的进价为y元，根据购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种鲜花束，乙种鲜花束，获得利润元，根据题意列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：设甲种鲜花每个的进价为x元，乙种鲜花每个的进价为y元， 则，解得：． 答：甲种鲜花每个的进价为25元，乙种鲜花每个的进价为20元． （2）解：设该花店购进甲种鲜花束，则购进乙种鲜花束， 则． 解得：． ∴的最小整数值是60． 设销售完甲、乙两种鲜花，该花店的利润为元， 则， ∵， ∴随增大而减小． ∴当时，取最大值，最大利润为1680元． 此时（个）． 答：该花店获利最大的进货方案为甲鲜花购进60束、乙鲜花购进30束，最大利润为1680元． 3．某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． (1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 【答案】(1)每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元 (2)当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，找到等量关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元”列方程组求解； （2）先根据“、的利润和等于总利润”列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】（1）解：设每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元， 由题意得： 解得：， 答：每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元； （2）设利润为元，种盆景盆， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，最大值为：元， 答：当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元． 类型七、一次函数的绝对值 【解惑】对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 【融会贯通】 1．小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 【答案】（2）（3）①见详解②见详解（4）或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数，两直线的交点确定不等式的取值范围，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）理解题意，把和分别代入进行计算，即可作答． （3）先先描点，再连线，得出函数的图象，分别根据函数图象的最值以及性质进行作答①和②； （4）理解题意，进行分类讨论，分别算出当和时的值，结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（2）依题意，把代入，得， 即， 把代入，得， 即， 故答案为： （3）依题意， 如图所示： ①在时，有最大值，且为3； ②函数关于轴对称； （4）依题意， 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 即如图所示： 结合函数图象，得当时，自变量x的取值范围是或． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示， （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 3．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 类型八、一次函数的旋转 【解惑】一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先求得、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标； （2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标； （3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）当时，， ． 当时，． ． ，． ， ，． 为等边三角形， ． ． ． （2）如图1，过点作． ， ． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：，解得． 直线的解析式为． 将代入的解析式得：，解得：， ． （3）如图，由（1）知，，， ， 为等边三角形， ， 由折叠知，， 由旋转知，，， 取上取一点使，，连接， ， 设， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 2．如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点 (2)见解析 (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点睛】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 3．已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 【答案】（1）y=-x+3；（2）y=；（3）①y=6x-3；② 【分析】（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中求解即可； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为，则可求出直线CE的解析式为：，联立，得到，再由，得到，由此求解即可； （3）①设P点坐标为（x，y），则，可以推出，由此即可得到答案； ②P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3），即当时，点P在直线AB的下方，在x轴的上方，由此求解即可． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为：； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线CE的解析式为：， 联立， ， ∴E点坐标为（，）， ∵C（-3，0），B（0，3）， ∴，，， ∴， ∴， 解得， 经检验，m=1是方程的解， ∴直线CE的解析式为：； （3）①设P点坐标为（x，y）， ∴， ∴，即； ②∵P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线的交点坐标，一次函数与不等式等等，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． 类型九、一次函数的应用——行程问题 【解惑】某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】(1)150；10 (2) (3)张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 （2）解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； （3）解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 【融会贯通】 1．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从两点同时同向出发，历时7分钟同时到达点，乙机器人始终以60米／分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离（米）与他们的行走时间（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是___________米，甲机器人前2分钟的速度为___________米／分； (2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段所在直线的函数解析式； (3)若线段轴，则此段时间，甲机器人的速度为___________米／分； (4)求、两点之间的距离； (5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 【答案】(1)70，95 (2) (3)60 (4)490米 (5)两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米 【分析】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、待定系数法的应用． （1）根据函数图像即可求解； （2）依题意求出点坐标，根据待定系数法即可求解； （3）根据一次函数的应用及线段轴即可得到此时甲乙速度相同； （4）利用求出的长度和乙机器人的路程即可求解； （5）根据题意分三段讨论，分别根据速度与路程的关系及函数的特点即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，、两点之间的距离是70米， 甲机器人前2分钟的速度为（米／分）， 故答案为：70，95； （2）解：根据题意得， （米）， ∴， 假设线段所在直线的函数解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴解析式为； （3）解：根据题意得，若线段轴时，两个机器人的速度相等， ∴甲机器人的速度为60米／分， 故答案为：60； （4）解：、两点之间的距离为：（米）； （5）解：①在前2分钟内，假设时间为分钟时，根据题意得， ， 解得， 当两机器人出发分钟时相距28米； ②在分钟内，由得， ， 解得， 当两机器人出发分钟时相距28米； ③由可得， 假设最后一段的函数解析式为， 将和代入解析式得， 解得 ∴函数解析式为， ∴， 解得， 当两机器人出发分钟时相距28米； 所以，当两机器人出发分或分或分钟时相距28米． 2．甲、乙两地的路程为，一辆汽车早上从甲地出发、匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后按原速继续前进，当离甲地路程为时接到通知，要求中午准时到达乙地．设汽车出发后离甲地的路程为，图中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______； (2)求线段所对应的y与x之间的函数表达式； (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，不能准时到达，理由见解析 【分析】本题考查了从图象获取信息，求一次函数解析式，正确理解图象是解题的关键； （1）根据图象，可得休息前汽车匀速行驶的路程为，进而可求速度； （2）先求出D，E两点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式，整理即可得答案； （3）计算汽车按原速行驶从甲地到达乙地所需的总时间，再将其与比较大小，可得结果． 【详解】（1）根据图象可知，休息前汽车匀速行驶的路程为，速度为． 故答案为：80． （2）休息后按原速继续行驶的时间为， 点的坐标为． 设线段所对应的与之间的函数表达式为， 把点，代入， 得， 解得， 所以线段所对应的与之间的函数表达式为． （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，不能准时到达． 理由：接到通知后，汽车仍按原速行驶， 则到达乙地所需时间为， ． ， 接到通知后，汽车仍按原速行驶，不能准时到达． 3．周末，小明从宿舍出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回宿舍，如图的图象反映了这个过程中小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系． 请根据图中相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） (2)填空： ①小明从小吃店到图书馆的速度为_______千米/分钟； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是______分钟． ③当时，请直接写出小明离宿舍的路程y（千米）与离开宿舍的时间x（分钟）之间的对应关系； (3)小明从小吃店出来30分钟后，同宿舍的小强从宿舍出发去图书馆，小强的速度为千米/分钟，当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有多远？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)①；②6；③ (3)千米 【分析】（1）根据函数图象填表即可； （2）①根据速度公式进行计算即可； ②用路程除以速度求出时间即可； ③分两种情况：当时，当时，求出函数解析式即可； （3）设小强出发后t秒后，小明和小强相遇，根据小强与小明走的总路程为1千米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小明从宿舍出发，到小吃店的速度为：（千米/分钟）， 从图书馆返回宿舍的速度为：千米/分钟， 离开宿舍1分钟时，距离宿舍千米， 离开宿舍23分钟时，距离宿舍千米， 离开宿舍40分钟时，距离宿舍1千米， 离开宿舍63分钟时，距离宿舍（千米）， 填表如下： 离开宿舍的时间（分钟） 1 10 23 40 63 离宿舍的路程（千米） 1 （2）解：①小明从小吃店到图书馆的速度为（千米/分钟）； ②当小明离开宿舍的距离为千米时，小明离开宿舍的时间是：（分钟）． ③当时，； 当时，设，把，代入得： ， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：； （3）解：设小强出发后t分钟后，小明和小强相遇，根据题意得： ， 解得：， （千米）， 即当小明与小强相遇时，他们离宿舍还有千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够读懂函数图象． 类型十、一次函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形的“关联点”． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， (2)已知点，，，，，，且线段上的任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②先求出直线的解析式为，设线段上任意一点的坐标为，根据点是线段的“关联点”，得出，求出或，根据，求出的取值范围即可； （2）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”，当时，线段上任意一点都是四边形的关联点；将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”，得出当时，线段上任意一点都是四边形的关联点，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵线段上没有点符合要求， ∴不是线段的“关联点”； 综上分析可知：线段的“关联点”是、； ②设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上任意一点的坐标为， ∵点是线段的“关联点”， ∴， ∴ ， ∴或， ∴或， ∵， ∴． （2）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 把代入得：， 解得：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线上任意一点坐标为，则： ， ∴， ∴此时线段上任意一点都是的“关联点”， 将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 综上分析可知：当或时，线段上任意一点都是四边形的关联点． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，求不等式的解集，求一次函数解析式，解题的关键是理解新定义，熟练掌握“关联点”的定义． 【融会贯通】 1．平面上的“变换”，是指按照某种法则，把某一个点对应到另一个点，平移、旋转、对称就是不同形式的变换．在平面直角坐标系中，设点，变换把点对应到点，记为，定义如下： 当时，点坐标为；当时，点坐标为．回答下列问题： (1)已知，，则的坐标为_____，的坐标为_____． (2)已知的坐标为，则点的坐标为_____． (3)当点取遍直线上所有点时，对应点形成一条直线，这条直线的解析式为_____． (4)如图，设，，，，正方形边界及内部构成区域，当取遍中所有点时，对应点形成区域． ①请在下图右侧坐标系中画出区域，用阴影表示； ②设，，，其中是常数．已知区域内存在点，使得直线等分的面积，则的取值范围是_____． ③设，，，其中是常数．已知存在常数，使得对任意的，区域内都存在点，使得直线等分的面积，则的取值范围是_____． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)①作图见解析；②；③． 【分析】（1）判断点、坐标满足还是，再代入对应变换公式计算、坐标． （2）设点坐标，分和两种情况，根据变换公式列方程组求解． （3）因点在上，满足（时取等号），代入对应变换公式，通过设坐标，推导坐标关系，得出直线解析式． （4）①先确定区域边界点（、、、），分别代入变换公式求出对应坐标，再确定区域形状并画图．②先分析形状及面积平分条件（在中垂线上或相关位置），结合区域范围，确定的取值范围．③分析特征，根据面积平分要求，结合区域和的范围，推导的取值范围． 【详解】（1）解：对于： ，即，代入 对于： ，即，代入 故答案为：； （2）解：设，分两种情况： 当时： 由得，代入： ，则，满足． 当时： 由得，即，代入： ，则，不满足（不成立），舍去． ， 故答案为：； （3）解：设（为任意实数）， ，满足（取等号），代入 则 令， 直线解析式为， 故答案为：； （4）解：①区域边界点：、、、 ： ： ： ： 连接这些点对应变换后的点，确定区域如图所示， ②∵，，， ∴中，平行轴，垂直轴， ∴区域内存在点，使得直线等分的面积，需使直线过的边的中点（中点）． 设直线∶， ∵直线∶过， ∴ 解得， ∴直线：， 当时，， ∴， ∴当在上时，，， 设直线∶ ∵直线∶过 ∴ 解得 ∴直线∶ 当时，， ∴， ∴当在上时，，， ∴， 故答案为∶ ③是直角三角形，面积平分要求直线过的中点， ∵，，， ∴中，平行轴，垂直轴， ∴区域内存在点，使得直线等分的面积，需使直线过的边的中点（中点）． 当时，， 设直线∶ ∵直线∶过 ∴ 解得 ∴直线∶ 当时，， ∴当在上时， 此时，，， 当与重合时，，解得， 当与重合时，，解得， ∴对任意的，区域内都存在点，使得直线等分的面积，则的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中的变换应用，涉及分类讨论、求一次函数解析式、方程求解、图形变换与区域确定，以及三角形面积平分与坐标范围结合．熟练掌握变换规则的分类应用、通过坐标运算推导图形关系是解题关键． 2．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“－制导点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点时，点的“－制导点”的坐标为________； ②若点为点的“－制导点”，则点的坐标为________； (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“－制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“－制导点”，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)①；②． (2) (3)或或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、一次函数的应用、新定义、一元一次不等式的应用等知识点，理解新定义并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）①②直接根据“－制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“－制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边、、上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“－制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在、、、上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【详解】（1）解：①点的“－制导点”的坐标为， ∵点，点坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②点的坐标为， ∵坐标为，点为点的“－制导点”， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，，，， ∴当S在上时，，， ∴， ∴； 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为，，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，的坐标为，，则， ∴，即， ∴， 把代入可得：， ∴ ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，，， ∴， 关于n的方程无解； 综上，的取值范围为或或． 3．在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． (1)如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； (2)已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；②2， (2)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“倍增点”的意义． （1）①根据“倍增点”的定义逐个判断即可； ②表示出的中点为，可知在线段上，故，，即可解得答案； （2）设，可得的中点为，由在直线上，有，解得，故，根据点M的横坐标为n，点M在直线上，点N在直线上，，可得或，当，时，，解得：；当，时，，解得：． 【详解】（1）解：①∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； 故答案为：，； ②∵，， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵，， ∴，， 解得：，； 故答案为：2，； （2）解：由P在直线上，设， ∵， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵点M，N在直线上， ∴在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵点M的横坐标为n，点M在直线上， ∴， ∵点N在直线上，， ∴或， 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； ∴n的取值范围是或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$