第12章 函数与一次函数（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（沪科版2024新教材）

第12章 函数与一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数的认识 【解惑】下列图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义判断是否为的函数，函数的定义为对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：A、当取一个正数时，有两个值与之对应，不满足对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应的函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； B、当取一个正数时，可能有六个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； C、当取一个值时，可能有两个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数的定义，所以是的函数，故选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意； B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意； C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意； D、正方形的面积等于，是函数关系，故选项不合题意； 故选：A． 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟记函数的定义是解题关键．根据函数的定义求解即可得． 【详解】解：是的函数的有①，②，④， ③中，当时，，不满足是的函数的定义， ⑤中，当时，，不满足是的函数的定义， 故答案为：①②④． 3．函数中的常量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了常量与变量，根据变量是改变的量，常量是不变的量，即可得出答案． 【详解】解：函数中的常量是， 故答案为：． 类型二、求自变量的取值范围与函数值 【解惑】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量取值范围，涉及分式意义的条件，明确分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键； 求分式函数自变量的取值范围时，分母不能为零，据此求解即可． 【详解】函数中，需满足， 解得， 故选C． 【融会贯通】 1．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数值；将已知的x值代入表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求自变量的取值范围．熟练掌握分式的分母不为0，是解题的关键．根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 3．已知自变量与因变量y的关系如图所示，当从1变化到4时，y的值增加了 ． 【答案】6 【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键．分别把和代入中进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，； 当从1变化到4时，的值增加了6， 故答案为：6． 类型三、正比例函数与一次函数的定义 【解惑】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此逐个选项分析． 【详解】解：A、是一次函数，也是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，但不是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选C． 【融会贯通】 1．下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 3．已知是关于的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型四、正比例函数图象与性质 【解惑】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知正比例函数，当x每增加1时，y的变化情况是（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，将，分别代入正比例函数的解析式，求出，，再计算，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即当x每增加1时，y减少2． 故选D． 2．如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数的函数值，先设出这个正比例函数解析式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 把点A坐标代入中得：， ∴， ∴这个正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 3．物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 类型五、一次函数图象与性质 【解惑】关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，求一次函数的函数值，求一次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可判断函数经过的象限和增减性，据此可判断B、C；求出和时的函数值即可判断A、D． 【详解】解：∵直线l解析式为，， ∴直线l经过第二、三、四象限，且y随x的增大而减小，故B说法正确，C说法错误； 在中，当时，， ∴直线l与y轴交于点，故A说法错误； 在中，当时，， ∴点不在直线l上，故D说法错误； 故选：B． 【融会贯通】 1．已知一次函数（是常数，且），与的部分对应值如表所示，那么的值等于（    ） 0 1 1 A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数的解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据表格信息，利用待定系数法解一次函数的解析式即可． 【详解】解：根据题意，将代入中，得， ①②得， ， 把代入①，得， ， ， 当时，， ． 故选：B． 2．若点和点在一次函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据，可得一次函数的函数值y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为： 3．直线的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握求截距的方法． 令，求出相应的的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线的截距是， 故答案为：． 类型六、用表格、关系式、图象表示变量间的关系 【解惑】已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的数据进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、没有加热时，油的温度是，故A正确，不符合题意； B、继续加热到，预计油的温度是，故B正确，不符合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C正确，不符合题意； D、每加热，油的温度升高，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数关系式，找出所求量之间的等量关系是解题的关键； 根据距省城的距离已经行驶的距离，解答即可； 【详解】解：依题意，， 即． 故选：B． 2．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 3．小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】(1)时间；离家距离 (2)； (3)点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” (4)分钟 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． （2）解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． （3）解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． （4）解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 类型七、一次函数的解析式 【解惑】已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将两点坐标代入函数表达式中，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设一次函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 函数的解析式为． 故选：C． 【融会贯通】 1．变量的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 4 9 14 19 … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格中两个变量对应值的变化规律可知：每增加1，则增加，故可求出与的关系式，故可求解． 【详解】解：根据表格可知每增加，则增加， ∴与的关系， ∴当时，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查函数关系式，解题的关键是根据已知数据求出，的关系式． 2．若与成正比例，与成正比例，且当1时，；当时，，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握利用待定系数法求解析式． 根据题意设，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式． 【详解】解：设，则， ∴． 将和代入，得： ， 解得：， 所以． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求出点，把坐标分别代入计算即可； （2）根据，利用数形结合思想计算即可； （3）设，结合点，求出或，即可得到答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：交于点， ， ， 直线交y轴于点， ， 解得：， 直线CD的解析式为； （2）解：根据函数图象得，当时，； （3）解：令，则， 解得：， ， 设， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 类型八、一次函数的平移 【解惑】已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过点 C．当时， D．直线是由直线向下平移2个单位长度得到的 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握一次函数图象分布、平移是解题的关键．根据一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵，， ∴图象经过第一、二，四象限，故A不符合题意； ∵， 当时，， ∴图象过点，故B符合题意； 当时，， ∴一次函数与x轴交于点 ∵， ∴y随x的增大而减小 ∴当时，，故C不符合题意； 直线是由直线向上平移2个单位长度得到的，故D不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 2．将直线向右平移4个单位，所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据平移的规律“左加右减”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解：直线向右平移4个单位， 所得直线的表达式是， 即， 故答案为：． 3．已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值 ； (3)若该函数图象沿轴向下平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查了成正比例的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法和一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，然后利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中关系式，即可求解； （3）先求出平移后直线表达式，然后令求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得：， 解得：， 则y与x的函数关系式是， 即； （2）当时， 解得： （3）解：由“上加下减”的原则可知， 将函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， ∴平移后的图象与y轴的交点的坐标为． 类型九、一次函数与一元一次方程 【解惑】已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 【融会贯通】 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 2．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 3．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①0，1 ；②函数图象见解析 (2)①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；②函数图象关于直线成轴对称；③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大） (3)①2； ② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， ； （2）解：①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是； ②函数图象关于直线成轴对称； ③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 类型十、从图象中获取信息 【解惑】某空军加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输机加油．在空中加油中，设运输机余油量（吨），加油飞机加油油箱的余油量为（吨），加油时间为（分钟），图中表示与时间之间函数图象正确的是（注意：运输机在加油的过程中也消耗油）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，分析题意得出函数图象是解题的关键，根据在空中加油时，运输机余油量与加油飞机加油油箱的余油量为变化情况即可求解． 【详解】解：在空中加油时，运输机余油量逐渐增加，加油飞机加油油箱的余油量逐渐减少，又运输机在加油的过程中也消耗油，故加油飞机加油油箱的余油量减少的量多于运输机余油量增加的量． A选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量多于运输机余油量增加的量，本选项符合题意． B选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量少于运输机余油量增加的量，本选项不合题意． C选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量等于运输机余油量增加的量，本选项不合题意． D选项：由图象可得加油飞机与运输机加油的时间不等，不合题意． 故选：A 【融会贯通】 1．如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，通过函数图象分析即可求解，明确题意，获取信息是解题的关键． 【详解】解：、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完，原选项符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了（小时），原选项不符合题意； 故选：． 2．《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 【答案】250 【分析】本题主要考查了函数图象、一元一次方程的应用等知识点，从函数图象上获得信息成为解题的关键． 设走路快的人要走时间t才能追上对方，然后根据题意列方程求得，易得走路快的人要追上对方需走，再结合函数图象即可确定点P的纵坐标． 【详解】解：设走路快的人要走时间t才能追上对方， 由题意可得：，解得：， 所以走路快的人要追上对方需走． 所以点P的纵坐标为250． 故答案为250． 3．某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，求函数的函数值和自变量的值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据函数图象可得快递物品质量不超过3千克时收费8元，据此可得a、b的值，再根据质量为15千克时快递费为26元可求出c的值； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出当时y的值，当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；； （2）解：当时，y与x之间的关系式为； （3）解：当时，； 当时，得， 解得：． 答：该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 函数与一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数的认识 【解惑】下列图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有 ．（只填序号） 3．函数中的常量是 ． 类型二、求自变量的取值范围与函数值 【解惑】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 3．已知自变量与因变量y的关系如图所示，当从1变化到4时，y的值增加了 ． 类型三、正比例函数与一次函数的定义 【解惑】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 3．已知是关于的正比例函数，则 ． 类型四、正比例函数图象与性质 【解惑】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知正比例函数，当x每增加1时，y的变化情况是（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 2．如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为 ． 3．物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 类型五、一次函数图象与性质 【解惑】关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 【融会贯通】 1．已知一次函数（是常数，且），与的部分对应值如表所示，那么的值等于（    ） 0 1 1 A． B．0 C． D．2 2．若点和点在一次函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”连接） 3．直线的截距是 ． 类型六、用表格、关系式、图象表示变量间的关系 【解惑】已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【融会贯通】 1．鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 3．小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 类型七、一次函数的解析式 【解惑】已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．变量的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 4 9 14 19 … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 2．若与成正比例，与成正比例，且当1时，；当时，，则与的函数关系式为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 类型八、一次函数的平移 【解惑】已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过点 C．当时， D．直线是由直线向下平移2个单位长度得到的 【融会贯通】 1．把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将直线向右平移4个单位，所得直线的表达式是 ． 3．已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值 ； (3)若该函数图象沿轴向下平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 类型九、一次函数与一元一次方程 【解惑】已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 3．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 类型十、从图象中获取信息 【解惑】某空军加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输机加油．在空中加油中，设运输机余油量（吨），加油飞机加油油箱的余油量为（吨），加油时间为（分钟），图中表示与时间之间函数图象正确的是（注意：运输机在加油的过程中也消耗油）（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 2．《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 3．某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$