12.1—12.3 函数 一次函数 一次函数与二元一次方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（沪科版2024新教材）

12.1—12.3 函数 一次函数 一次函数与二元一次方程 一、常量与变量 1.定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。 2.判断方法：看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量。 二、函数 1.定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量。 2.判断方法：一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应。 三、一次函数 1.一般形式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=kx（k≠0），此时y是x的正比例函数。 2.k和b的意义：|k|决定直线的“平陡”，|k|越大，直线越陡（或越靠近y轴）；|k|越小，直线越平（或越远离y轴）。b表示在y轴上的截距。 3.一次函数图象的平移：设m>0，n>0，直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k（x-m）+b或y=k（x+m）+b；直线y=kx+b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n。 4.一次函数与一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0，a，b为常数）的形式，所以解一元一次方程可以转化为求一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）的函数值为0时，自变量x的取值。反映在图象上，就是直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标。 5.一次函数与一元一次不等式的联系：任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0，a，b为常数）的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围。反映在图象上，就是直线y=ax+b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围。 四、一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上。 五、一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。二元一次方程组的图像解法是用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法。用图像法求二元一次方程组的解的一般步骤包括： 1.把方程组化为一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2； 2.建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图像； 3.由图像确定两直线交点的坐标； 4.依据点的坐标写出方程组的解。 此外，两条直线的交点个数与二元一次方程组解的个数有关：两条直线有交点（相交）则方程组只有一组解；两条直线无交点（平行）则方程组无解；两条直线是同一直线（重合）则方程组有无数组解。 巩固课内例1:写出自变量x的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 根据分式分母不等于零可得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故选：C． 2．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分母不能为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 即自变量的取值范围是， 故答案为：． 3．求出下列函数中自变量x的取值范围． ①y= ②y= ． 【答案】(1)x≠2  （2）x≥﹣2 【详解】分析：（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 详解： （1）由y=有意义，得x﹣2≠0， 解得x≠2； （2）由y=有意义，得 x+2≥0， 解得x≥﹣2．   点睛：考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 巩固课内例2:已知x求函数值 1．当时，的函数值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了根据自变量的值求二次函数的值，解题关键是掌握根据自变量的值求二次函数的值的方法． 将代入函数表达式中，求出函数值． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 2．自变量与因变量的关系如图，当x增加1时，增加 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查函数的概念，自变量与函数值的计算方法，掌握函数的概念，自变量与函数值的计算方法是解题的关键． 把x变为，再代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵自变量与因变量的关系式为， 当x增加1时，， ∴增加3． 故答案为：3 3．求下列函数当时的函数值： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把代入函数解析式进行计算即可得解； （2）把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 巩固课内例3:写出函数表达式 1．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提． 根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可． 【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得， ， 故选：B． 2．已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间写出y与t之间的关系式是解题的关键． 根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间计算即可． 【详解】解：由题意可知，y与t之间的关系式为 故答案为： 3．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查函数关系式，掌握正方形周长计算公式是解题的关键． （1）根据正方形周长公式计算即可； （2）当时，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的关系式为． （2）当时，， 答：得到的新正方形的周长为． 巩固课内例4:画出函数的图象 1．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 2．初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 【答案】 甲 数学 丙这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学. 【分析】(1)根据图1分析甲乙两人所在的位置的横坐标即可确定总成绩名次 (2)根据图2分析丙所在位置的横坐标,确定丙的总成绩年级名次是倒数第5,在图1中找出从右数第5个点即为丙的位置,观察图1和图2中丙的纵坐标即可得出答案 【详解】(1)由图1可知甲的位置在乙的左侧,所以在甲、乙两人中,总成绩名次靠前的学生是甲； (2)由初三年级261位学生参加期末考试,某班35位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从图2看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在图1中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 【点睛】此题考查函数图象，解题关键在于从图中获取数据. 3．某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于直线成轴对称；②当时，随增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系． （1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解； （2）根据函数图象的增减性和最值求解； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：1； ②③图象如下： （2）解：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 故答案为：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． （3）解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线越近函数值越大， 又∵点与都在函数的图象上，总有， ∴， ∴或． 故答案为：或． 巩固课内例5:画出正比例函数的图象 1．函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据时，正比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴正比例函数图象经过第一、三象限， 故选：C ． 2．如图是正比例函数的图象，写出一个符合题意的的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与其系数之间的关系，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其图象经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知正比例函数图象经过点，求： (1)这个函数解析式； (2)在图中用描点法画出这个函数图象； (3)判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)在，不在 【分析】（1）将点代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可． 【详解】（1）∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴； （2）正比例函数经过原点和点，且是一条直线， 如图所示， （3）将代入， ∴点在这个函数图象上； 将代入， ∴点不在这个函数图象上． 故答案为：在，不在． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 巩固课内例6:画出一次函数的图象 1．嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（   ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键．在坐标系描点，即可得到在同一直线上的点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 可知点不在一次函数的图象上， 故选：A 2．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 3．已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）令，求出点的坐标，代入，求出的值． （2）根据两点确定一条直线画出图象． 【详解】（1）解：令，则，则点的坐标为， 该一次函数图象过点， ， 解得：； （2）解：一次函数的图象如图所示． 巩固课内例7:写出一次函数的截距 1．一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，熟知一次函数图象在y轴上的截距是一次函数图象与y轴交点的纵坐标是解答的关键．据此求得该一次函数图象与y轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：当时，， ∴该一次函数图象与y轴的交点坐标为， 故该一次函数图象在y轴上的截距是8， 故选：D． 2．直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数在轴上的截距，一次函数在轴上的截距即为该一次函数与轴交点的纵坐标，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线在轴上的截距是， 故答案为：． 3．已知一次函数的图像经过点，在y轴上的截距是5，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 一次函数的图像经过点， ，解得：， ． 答：这个一次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，理解截距的是解题的关键． 巩固课内例8:待定系数法求函数表达式 1．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，将两点坐标代入函数表达式中，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则一次函数的表达式为， 故选：B． 2．已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式为． 3．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两直线相交，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式． （1）把点坐标代入正比例函数解析式可求得； （2）把、坐标代入一次函数解析式可求得、，可求得答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， ； （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得，解得， 一次函数的解析式为． 巩固课内例9:一次函数的应用——用水问题 1．为鼓励居民节约用水，某地区将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过立方米，则按每立方米元计算；若每月每户居民用水超过立方米，则超过部分按每立方米元计算（不超过部分仍按每立方米元计算）．现假设该地区某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图象表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出与之间的函数关系式，根据函数的特点解答即可，根据数量关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】根据题意可知当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为， 故与的函数关系式为：， 观察各选项图象，只有选项符合， 故选：． 2．某市为提倡节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中，分别表示去年、今年水费（元与用水量之间的关系，小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．    【答案】150 【分析】设当时，对应的函数解析式为，利用待定系数法可得对应的函数解析式为，则当时，，再求解小雨家去年用水量为，需要缴费：（元，从而可得答案． 【详解】解：设当时，对应的函数解析式为， ， 得， 即当时，对应的函数解析式为， 当时，， 由图象可知，去年的水价是（元，故小雨家去年用水量为，需要缴费：（元， （元， 即小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多150元， 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意，求解函数解析式是解本题的关键． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，哈尔滨市城镇居民用水实行阶梯收费．年6月具体情况如下表： 每月用水量 单价 不超过立方米 每立方米元 超过立方米不超过立方米部分 每立方米元 超出立方米部分 每立方米元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请分别写出当用水量不超过立方米和用水量超过立方米不超过立方米时，与的函数关系式； (2)若小丽家5月份用水立方米，6月份用水立方米，求这两个月小丽家共需水费多少元？ 【答案】(1)用水量不超过立方米时，；用水量超过立方米不超过立方米时 (2)这两个月小丽家共需水费元 【分析】本题考查列函数关系式和求函数值，解题的关键是读懂题意，理清收费标准． （1）根据题干中给定的收费标准列出函数关系式即可． （2）把代入可求5月份的水费；把代入可求6月份水费，即可得到答案． 【详解】（1）解：用水量不超过立方米时，； 用水量超过立方米不超过立方米时， ； （2）解∶ 当用水为立方米时，水费为． 当用水为立方米时，水费为． ， 答：这两个月小丽家共需水费元． 巩固课内例10:一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 2．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，运用数形结合的思想是解决此类问题的关键．利用函数图象，找出直线在直线下方，且在x轴下方的所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线经过原点， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 3．一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、求一次函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集即可； （2）①由题意可以求得k、b的值，根据的解集是，可知点C的横坐标是，进而确定点C的坐标； ②根据点B、C的横坐标，并结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：不等式表示函数函数值大于4，所对应x的取值范围， 所以不等式的解集是． 故答案为． （2）解：①∵点，在一次函数的图象上， 则，解得， ∴一次函数． ∵的解集是， ∴点C的横坐标是， 当时，， ∴点C的坐标为． ②∵，， ∴根据函数图象可得：时，． 巩固课内例11:两条直线的交点与方程组 1．如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组等知识点，关键是能根据函数图象的交点解方程组． 观察函数的图象的交点即可求解． 【详解】解：通过直线交点， 方程组的解为， 故选：C． 2．写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组解集与一次函数交点的问题，由图知：直线、相交于，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标，分别根据待定系数法求解出两个函数表达式，并联立得到方程组． 【详解】解：设直线的解析式是，已知直线经过， 根据题意可得，由图可知，， 满足这个条件的二元一次方程解为（答案不唯一）， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）， 设直线的函数解析式是，已知直线经过，， 代入解析式得， 解得， 直线的函数解析式是， 所求的方程组是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据题意，得，解方程组即可求点的坐标； （2）根据一次函数与的图象与轴分别相交于点、，得到 ，，得，根据题意，得到． （3）利用数形结合思想解答即可． 本题考查了利用解方程组求两直线的交点坐标，函数与坐标轴的交点，根据交点确定不等式的解集，熟练掌握解方程组，求交点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据一次函数与的图象与轴分别相交于点、， 当时，,, ∴，， 故， 根据题意，得到． （3）解：根据题意，得当时，． 巩固课内例12:利用图象法解方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 2．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集是否正确． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确； ∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m， ∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m， 即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确； ∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确； ∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 3．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【分析】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【详解】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 巩固课内例13一次函数的应用——方案问题 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 【答案】 一 500 二 200 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可． 【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000； 故答案为：， （3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾． 若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张， 则有， 解得，与已知矛盾； 若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾． 故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二． 此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有， 解得，但此时，矛盾； 若采用方案二的购票超过100张，则有， 解得，此时，符合题意， 再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙． 故答案为：一、500，二、200． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 类型一、函数的概念 1．下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：若y是x的函数，那么当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，选项A、B、D都符合； C选项图象中，在x轴上取一点（图象与x轴交点除外），即确定一个x的值，这个x对应图象上两个点，即一个x的值有两个y值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象． 故选：C． 2．半圆的面积公式中，常量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了常量的定义，常量是在事物的变化中保持不变的量，据此可得答案． 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是， 故答案为：． 3．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【答案】(1) (2)温度，时间，时间，温度 (3)0至8分钟，8至分钟 【分析】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 【详解】（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 类型二、一次函数与正比例函数的定义 1．下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 根据一次函数的定义：形如的函数叫做一次函数，进行逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； ⑤是一次函数； 故答案为：①③⑤． 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 类型三、一次函数的平移 1．将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 2．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．根据图象上加下减，左加右减的规律即可求解． 【详解】解：直线向左平移3个单位长度后：，即． 故答案为：． 3．将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到的新图象经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、求一次函数解析式等知识点，掌握一次函数的平移规律成为解题的关键． 先根据平移规律得到平移后的函数解析式，然后将代入求得k的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到新的函数解析式为， ∵新图象经过点， ∴，解得：． 类型四、一次函数的增减性 1．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 2．点都在函数的图象上，若，则 （填“<”“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数，y随x的增大而增减小即可求解． 【详解】解：∵函数的， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知一次函数． (1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求k的值． 【答案】(1)； (2)k的值为． 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵函数值y随x的增大而增大， ∴， 解得：． （2）解：由题意，∵函数图象经过点， ∴． ∴，即k的值为． 类型一、人的体温问题 1．正常人的体温一般在左右，在一天中的不同时刻体温有所不同，如图反映的是某天24小时内小明的体温变化情况，下列说法中不正确的是（    ） A．清晨6时体温最低 B．下午6时体温最高 C．这一天中小明的体温的变化范围是 D．从6时到24时，小明的体温一直是升高的 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．根据图象中的信息对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、清晨6时体温最低，说法正确，本选项不符合题意； B、下午6时体温最高，说法正确，本选项不符合题意； C、这一天中小明的体温T（℃）的变化范围是，说法正确，本选项不符合题意； D、从6时到18时，小明的体温一直是升高的，从18时到24时，小明的体温一直是降低的，原说法错误，本选项符合题意； 故选：D． 2．小明在体温为时服下退烧药，服药后经过的时间为（单位：），体温为（单位：），记录随变化的情况并画出如图的变化折线．当时，的最大值与最小值之差为．若在一定范围内，随着的增大，不会变化，则相应的的取值范围是 ．      【答案】或 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：若在一定范围内，随着的增大，不会变化，则相应的的取值范围是或， 故答案为：或． 3．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 【答案】(1)最低体温是，最高体温是 (2)0至5时以及17至24时 【分析】（1）根据图象的横轴表示时间，纵轴表示体温可得答案； （2）根据体温随时间的变化情况解答即可． 本题考查了函数的图象，读懂统计图，从图中得到必要的信息是解决本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知：最低体温是，最高体温是 （2）由图象可知：这一天中，这个人在0至5时以及17至24时体温逐渐降低． 类型二、轮船运输问题 1．万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等，）又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用时间为（小时），轮船距万州的距离为（千米），则下列各图中，能反映与之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，由分三个阶段进行考虑：由于逆水速度小于顺水速度，所以轮船逆水航行时随增大而缓慢增大；卸货时停留一段时间，值不变；返回时，顺水航行，随增大而快速减小，由此即可得出答案，仔细读题，将实际与函数图象结合起来，分段分析是解此题的关键． 【详解】解：分三个阶段： 轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，此阶段随增大而缓慢增大； 卸货时停留一段时间，此阶段值不变； 顺水航行返回万州，此阶段随增大而快速减小， 故选：C． 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象如图所示．以下有四个结论： ①修船过程中排水速度这每分钟1（t）； ②a的值为24； ③修船完工后y与x之间的函数关系式为； ④当船内积水量是船内最高积水量的时，的值为． 以上结论正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及函数图象解读、速度计算、函数关系式求解．熟练掌握一次函数性质，从图象中提取关键信息（如水量、时间）建立关系是解题关键．先依据图象分段信息，结合“速度 = 水量变化量÷时间”，求出进水、排水速度，再依次分析各结论．通过计算速度、函数关系式、特定水量对应的时间，判断结论正误． 【详解】解：由图可得分钟只进水，进水量从到， ∵ 进水速度 = 进水量÷时间， ∴ 进水速度为． 分钟边进水边排水，水量从增至，时间差， 设排水速度为， ∵ 净进水量 =（进水速度 - 排水速度）×时间，即， ∴ ，解得，故①正确． 船修好后排水速度 = 修船时进水速度，最高积水量， ∴ 排水时间为， ∵ ， ∴ ，故②正确． 设修船完工后与的函数为，图象过和， 代入得， 两式相减：， 即， 解得， 把代入，得， 解得， ∴ 函数关系式为，故③正确． 最高积水量，其为． 设直线：， 把代入得，解得， ∴直线：， 设直线： 把，代入得 解得， ∴设直线： 分钟：，令，（舍去）． 分钟：函数为，令，解得． 分钟：，令， 解得 ∴当船内积水量是船内最高积水量的时，的值为或．故④错误。 故答案为：①②③． 3．某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为________千米/小时，________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； (3)直接写出在乙车行㳏过程中，甲、乙两车相距50千米时的值． 【答案】(1)； (2) (3)或时，甲、乙两车相距50千米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）结合函数图像求解即可． （2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图像上，利用待定系数法求解即可． （3）先求得甲车各段距仓库的距离y与x之间的函数表达式，以及乙车距仓库的距离y与x之间的函数解析式，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时） 甲车的速度为：（千米／小时）， 则， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解， 故． 故答案为：80；5.5 （2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为， 把点，代入，得： ， 解得：， 则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为． （3）解：当时， 当时， 当时， 设乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，代入，得 解得： ∴乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为 当时，， 解得： ∴ 当两车相遇前相距50千米时，时， 解得： 当时， 解得：（舍去） 当两车相遇后相距50千米时，当时， 解得： 综上所述，或时，甲、乙两车相距50千米 类型三、计费问题 1．A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【详解】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 2．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加（不足按计）需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 5 根据上述信息解决以下问题： (1)求的值． (2)当时，求关于的函数表达式． (3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量． 【答案】(1) (2) (3)小红家6月份的用水量为吨 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解析式即可； （3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在吨；当小红家6月份、7月份的用水量都在吨；当小红家6月份在吨，7月份的用水量在吨；结合函数关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，， 解得，， ∴； 当时，； 当时，关于的函数表达式为； （3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨， ∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， 解得，，不符合题意； 当小红家6月份、7月份的用水量都在吨， ∴， 解得，，矛盾，不符合题意； 当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨， ∴7月份的费用为（元），用水量为（吨）， ∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨， ∴是5的倍数，且， ∴， ∴小红家6月份的用水量为吨． 类型一、函数的平行 1．下列函数的图象与的图象平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行问题：两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．据此解答即可． 【详解】解：原函数为，自变量系数， 只有选项C：的自变量系数， 则与的图象平行的是． 故选：C． 2．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的平行问题，利用好平行直线的解析式中的k值相等是解题的关键．根据两平行直线的解析式中k值相等，再把点代入进行计算求出b值，即可得到解析式． 【详解】解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ， ∴， ∴一次函数的解析式为． 类型二、行程问题 1．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 当时，设，将，代入求得，再把代入，求出，即可得出答案． 【详解】解：依题意，当时，设 将，代入，得： ， 解得， ∴； 依题意，把代入， 得 ∴（米） ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故选：C 2．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据待定系数法求出甲，乙的解析式，联立方程组求得交点坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法． 【详解】解：设乙的解析式为，根据题意，得，解得， 故解析式为； 设甲的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 设甲段的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 故答案为：． 3．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示；慢车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示，根据图象进行以下研究． 解读信息： （1）甲，乙两地之间的距离为________； （2）线段的解析式为________；线段的解析式为________； 问题解决： （3）设快、慢车之间的距离为，求与慢车行驶时间的函数关系式，并画出函数图象． 【答案】（1）450；（2）；；（3）． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）利用A点坐标为，可以得出甲，乙两地之间的距离； （2）设线段的解析式为：，线段的解析式为，将，分别代入，将代入，求解即可． （3）利用（2）中所求得出， ，，进而逐一分析，求出函数解析式，得出图象即可． 【详解】解：（1）根据左图可以得出：甲、乙两地之间的距离为； （2）设线段的解析式为：，线段的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴； 将代入，得 ，解得， ∴线段的解析式为． 故答案为：，． （3）当两车相遇时，，解得， ∴①当时， ； 当；，画出线段， ②当时，； 当画出线段， ③当时，． 当画出线段， ∴， 如图所示 类型三、利润问题 1．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 2．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 3．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价是鸭绒服的单价的倍，客户在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多两件． (1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ (2)某服装店打算使用不超过28400元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、800元，求该服装店应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【答案】(1)鸭绒服的单价为400元，则鹅绒服的单价为600元 (2)购买鸭绒服件，鹅绒服件时利润最大，最大为8960元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系和不等关系． （1）设鸭绒服的单价为元，则鹅绒服的单价为元，根据购买方式列出分式方程求解即可． （2）设购买鸭绒服为件，则鹅绒服为件，获得利润为，根据购买资金列出不等式求解，根据利润关系列出一次函数分析求解即可． 【详解】（1）解：设鸭绒服的单价为元，则鹅绒服的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验，当是原分式方程的解，并符合题意， ∴， 所以，鸭绒服的单价为400元，则鹅绒服的单价为600元； （2）解：设购买鸭绒服为件，则鹅绒服为件，获得利润为，根据题意得， ， 解得，， ∴， ， ∵，随的增大而减小， ∴当时，利润值最大， 此时，， ∴购买鸭绒服件，鹅绒服件时利润最大，最大为8960元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1—12.3 函数 一次函数 一次函数与二元一次方程 一、常量与变量 1.定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。 2.判断方法：看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量。 二、函数 1.定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量。 2.判断方法：一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应。 三、一次函数 1.一般形式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=kx（k≠0），此时y是x的正比例函数。 2.k和b的意义：|k|决定直线的“平陡”，|k|越大，直线越陡（或越靠近y轴）；|k|越小，直线越平（或越远离y轴）。b表示在y轴上的截距。 3.一次函数图象的平移：设m>0，n>0，直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k（x-m）+b或y=k（x+m）+b；直线y=kx+b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n。 4.一次函数与一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0，a，b为常数）的形式，所以解一元一次方程可以转化为求一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）的函数值为0时，自变量x的取值。反映在图象上，就是直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标。 5.一次函数与一元一次不等式的联系：任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0，a，b为常数）的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围。反映在图象上，就是直线y=ax+b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围。 四、一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上。 五、一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。二元一次方程组的图像解法是用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法。用图像法求二元一次方程组的解的一般步骤包括： 1.把方程组化为一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2； 2.建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图像； 3.由图像确定两直线交点的坐标； 4.依据点的坐标写出方程组的解。 此外，两条直线的交点个数与二元一次方程组解的个数有关：两条直线有交点（相交）则方程组只有一组解；两条直线无交点（平行）则方程组无解；两条直线是同一直线（重合）则方程组有无数组解。 巩固课内例1:写出自变量x的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 2．在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．求出下列函数中自变量x的取值范围． ①y= ②y= ． 巩固课内例2:已知x求函数值 1．当时，的函数值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．自变量与因变量的关系如图，当x增加1时，增加 ． 3．求下列函数当时的函数值： (1)． (2)． 巩固课内例3:写出函数表达式 1．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 2．已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 3．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 巩固课内例4:画出函数的图象 1．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 2．初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 3．某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 巩固课内例5:画出正比例函数的图象 1．函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．如图是正比例函数的图象，写出一个符合题意的的值： ． 3．已知正比例函数图象经过点，求： (1)这个函数解析式； (2)在图中用描点法画出这个函数图象； (3)判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 巩固课内例6:画出一次函数的图象 1．嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（   ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 3．已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 巩固课内例7:写出一次函数的截距 1．一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．6 D．8 2．直线在轴上的截距是 ． 3．已知一次函数的图像经过点，在y轴上的截距是5，求这个一次函数的解析式． 巩固课内例8:待定系数法求函数表达式 1．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的解析式是 ． 3．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 巩固课内例9:一次函数的应用——用水问题 1．为鼓励居民节约用水，某地区将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过立方米，则按每立方米元计算；若每月每户居民用水超过立方米，则超过部分按每立方米元计算（不超过部分仍按每立方米元计算）．现假设该地区某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图象表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某市为提倡节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中，分别表示去年、今年水费（元与用水量之间的关系，小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．    3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，哈尔滨市城镇居民用水实行阶梯收费．年6月具体情况如下表： 每月用水量 单价 不超过立方米 每立方米元 超过立方米不超过立方米部分 每立方米元 超出立方米部分 每立方米元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请分别写出当用水量不超过立方米和用水量超过立方米不超过立方米时，与的函数关系式； (2)若小丽家5月份用水立方米，6月份用水立方米，求这两个月小丽家共需水费多少元？ 巩固课内例10:一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 1．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 3．一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 巩固课内例11:两条直线的交点与方程组 1．如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组： ． 3．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 巩固课内例12:利用图象法解方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 3．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 巩固课内例13一次函数的应用——方案问题 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 类型一、函数的概念 1．下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．半圆的面积公式中，常量是 ． 3．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 类型二、一次函数与正比例函数的定义 1．下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 类型三、一次函数的平移 1．将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为 ． 3．将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到的新图象经过点，求的值． 类型四、一次函数的增减性 1．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 2．点都在函数的图象上，若，则 （填“<”“>”或“=”） 3．已知一次函数． (1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求k的值． 类型一、人的体温问题 1．正常人的体温一般在左右，在一天中的不同时刻体温有所不同，如图反映的是某天24小时内小明的体温变化情况，下列说法中不正确的是（    ） A．清晨6时体温最低 B．下午6时体温最高 C．这一天中小明的体温的变化范围是 D．从6时到24时，小明的体温一直是升高的 2．小明在体温为时服下退烧药，服药后经过的时间为（单位：），体温为（单位：），记录随变化的情况并画出如图的变化折线．当时，的最大值与最小值之差为．若在一定范围内，随着的增大，不会变化，则相应的的取值范围是 ．      3．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 类型二、轮船运输问题 1．万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等，）又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用时间为（小时），轮船距万州的距离为（千米），则下列各图中，能反映与之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象如图所示．以下有四个结论： ①修船过程中排水速度这每分钟1（t）； ②a的值为24； ③修船完工后y与x之间的函数关系式为； ④当船内积水量是船内最高积水量的时，的值为． 以上结论正确的序号为 ． 3．某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为________千米/小时，________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； (3)直接写出在乙车行㳏过程中，甲、乙两车相距50千米时的值． 类型三、计费问题 1．A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加（不足按计）需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 ． 3．为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 5 根据上述信息解决以下问题： (1)求的值． (2)当时，求关于的函数表达式． (3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量． 类型一、函数的平行 1．下列函数的图象与的图象平行的是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 3．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 类型二、行程问题 1．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 2．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是 ． 3．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示；慢车离乙地的路程与行驶的时间之间的函数关系，如图中线段所示，根据图象进行以下研究． 解读信息： （1）甲，乙两地之间的距离为________； （2）线段的解析式为________；线段的解析式为________； 问题解决： （3）设快、慢车之间的距离为，求与慢车行驶时间的函数关系式，并画出函数图象． 类型三、利润问题 1．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 2．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 3．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价是鸭绒服的单价的倍，客户在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多两件． (1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ (2)某服装店打算使用不超过28400元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、800元，求该服装店应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$