11.1—11.2 平面内点的坐标 图形在坐标系中的平移 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（沪科版2024新教材）

11.1—11.2 平面内点的坐标 图形在坐标系中的平移 一、平面内点的坐标 在平面直角坐标系中，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示，这对有序实数即为该点的坐标。坐标系的横轴为x轴，纵轴为y轴，一个点的坐标记为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。 二、图形在坐标系中的平移 1、点的平移： 在平面直角坐标系中，点的平移遵循一定的规律。当一个点(x,y)向右平移a个单位时，其坐标变为；向左平移a个单位时，坐标变为；向上平移b个单位时，坐标变为；向下平移b个单位时，坐标变为。简而言之，左右平移时纵坐标不变，横坐标“右加左减”；上下平移时横坐标不变，纵坐标“上加下减”。 2、图形的平移： 图形的平移实质上是图形上所有点的平移。在平面直角坐标系中，图形的平移不改变其形状和大小，只改变其位置。当一个图形向右平移a个单位时，其所有点的横坐标都增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，所有点的横坐标都减少a，纵坐标不变；向上平移b个单位时，所有点的纵坐标都增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，所有点的纵坐标都减少b，横坐标不变。 巩固课内例1:在平面直角坐标系中描点 1．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，点A的坐标是 ，点B的横坐标是 ，纵坐标是 ；横坐标和纵坐标都是负数的点是点 ；坐标是的点是点 ，在第 象限． 【答案】 3 D C 二 【分析】题目主要考查了坐标系中点的特点，结合坐标系求解即可． 【详解】解：由坐标系得：点A的坐标是，点B的横坐标是3，纵坐标是；横坐标和纵坐标都是负数的点是点D；坐标是的点是点C，在第二象限． 故答案为：；3；；D；C；二 3．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查直角坐标系中描点和写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标的概念，在坐标系中描点，根据坐标系中的点的位置，直接写出坐标即可． （1）根据点的坐标的概念，即可解答． （2）通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点． 【详解】（1）解：由图可知，，，． （2）解：如图，点，即为所求． 巩固课内例2:建立合适的平面直角坐标系(点) 1．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”的位于点，则棋子“兵”的位置应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系．根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“兵”的位置即可． 【详解】解：由题意知，建立平面直角坐标系如下； ∴棋子“兵”所在的点的坐标为， 故选A． 2．如图是公园一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使牡丹园位于点，月季园位于点，则芍药园位于点 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据牡丹园位于点，月季园位于点，确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：∵牡丹园位于点，月季园位于点， ∴建立坐标系如下： ， ∴芍药园位于点， 故答案为： ． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)体育场；市场；超市 (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出个点的坐标； （3）根据坐标系分别标出的位置,即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市 （3）解：如图所示，点即为所求 巩固课内例3:建立合适的平面直角坐标系(形) 1．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个乐亭的“乐”字，A，B，C为“乐”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，点的坐标．先由点，确定坐标系，再观察网格，即可得点C的坐标． 【详解】解：点，， ∴如图所示：建立平面直角坐标系： ∴点C的坐标为， 故选：B． 2．如图，以正方形的顶点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，以点为圆心，以为半径画弧，交轴正半轴于点，过点作，交直线于点，过点作，交轴正半轴于点……重复以上操作，可以得到点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，平移的性质，实数的运算，根据正方形对角线把正方形分成两个形状完全相同的等腰直角三角形，得到，由可得；如图所示，把旋转到的位置，则，，利用等面积法可求出由作图方法可得；根据题意可得，据此可得规律当n为偶数时，在直线上， 当n为奇数时，在直线上，且，则可求出，，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形对角线把正方形分成两个形状完全相同的等腰直角三角形， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴， 如图所示，把旋转到的位置，则，， ∴， ∵， ∴， ∴； 由作图方法可得； ∵，， ∴， 同理可得， ， ∵在直线上，在直线．．． ∴以此类推可得，当n为偶数时，在直线上， 当n为奇数时，在直线上，且， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，建立平面直角坐标系，使，两点的坐标分别是和，并写出点，，，，的坐标． 【答案】见解析；，，，， 【分析】本题考查了点的坐标，根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系中的每一象限和坐标轴上点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： ∴，，，，． 巩固课内例4:方位问题 1．下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（    ） A．丹尼斯•大卫城东南方向 B．二七路南段 C．解放路东段 D．二七路与解放路交叉口 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确如何确定一个位置．根据题意和各个选项中的说法，可以写出相对准确的说法，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是二七路与解放路交叉口， 故选：D． 2．根据下列表述，能确定一点位置的是 . ①东经，北纬     ②宝鸡市文化东路 ③北偏东                     ④奥斯卡影院号厅排 【答案】① 【详解】分析：根据确定点位置需要两个数据对各选项分析判断即可求解 ∵确定点位置需要两个数据． ∴符合要求只有①． 故答案为①． 3．如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标的位置．：______； (2)若目标的实际位置是北偏西距观测站米，目标的实际位置是南偏西距观测站米，写出目标，的实际位置； ：______； ：______． (3)若另有目标在东南方向距观测站米处，写出的位置表示． ：______． 【答案】(1)； (2)北偏东，距观测站米，南偏西，距观测站米； (3)． 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解答本题的关键是根据点、的位置的表示方法，理解横坐标、纵坐标的规律根据规律解答问题． 根据点、的位置的表示方法，可知横坐标表示的是从里往外数在第几圈，纵坐标表示的是从线开始逆时针旋转的度数，根据规律写出目标的位置即可； 根据目标的位置的表示方法与实际位置的关系，可以求出相邻两个圆的半径差为米，把旋转的角度转化为方位角，根据规律和目标、在坐标系中的位置，转化为目标、实际位置； 根据东南方向即为南偏东，可知目标对应的纵坐标是，根据距观测站米，可知目标的横坐标为． 【详解】（1）解：由题意可知，点的位置应表示为， 故答案为：； （2）解：目标的实际位置是北偏西距观测站米， 相邻两个圆的半径差为米， 由图可知，目标的位置可以表示为， 点与正北方向的夹角是，与观测站的距离是米， 点的实际位置是北偏东，距观测站米； 目标的位置可以表示为， 点与正南方向的夹角是，与观测站的距离是米， 点的实际位置是南偏西，距观测站米； 故答案为：北偏东，距观测站米；南偏西，距观测站米； （3）解：目标在东南方向距观测站米处， 东南方向即为南偏东， 应表示为， 距观测站米， 应表示为， 的位置表示为， 故答案为：． 巩固课内例5:图形的平移 1．如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，， ∴点， ∵， ∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置， ∴， ∴． 故选：B 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据平移的性质，将点A的横坐标加3，纵坐标加2即可求解． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点A，B，C的坐标分别为，，； (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、、的坐标，并在图中画出平移后图形． (2)点是上任意一点，它平移后的对应点是，写出的坐标． 【答案】(1)图见解析，、， (2) 【分析】本题考查平移作图，点的坐标，根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移的性质与平移的点的坐标规律“左减右加、上加下减”是解题的关键． （1）利用平移的性质作出点A、B、C的对应点，再顺次连接起来，然后根据点的位置写出点的坐标即可； （2）根据“左减右加、上加下减”的规律求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， 由图可得：、，． （2）解：点向上平移2个单位，再向左平移1个单位得点， ∴． 类型一、写出点的坐标 1．如图，长方形的边在y轴上，若顶点，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据长方形在坐标系中的位置求解即可． 【详解】解：∵长方形的边在y轴上， ， ∴， 故选：C． 2．如图，是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系； 根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系，然后可得点C的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，， ∴平面直角坐标系如图所示， ∴叶杆“底部”点C的坐标为， 故答案为：． 3．如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 【答案】(1)B，C (2)， (3)答案不唯一，如，，， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． （1）根据和的位置求解即可； （2）根据D，E两点的位置求解即可； （3）根据坐标系中坐标的特点求解即可． 【详解】（1）和分别表示点B和点C； （2）图中D，E两点的位置分别表示成和； （3）由点A到点B的路径：． 类型二、点所在的象限 1．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项． 【详解】解：点位于第四象限， 故选：D． 2．已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 【详解】解： ∵点在x轴上，点在y轴上， ∴，， ∴，， ∴点位于第二象限， 故答案为：二． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)第一象限 (3) 【分析】本题考查了坐标轴上点及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，点的象限判断；掌握轴上的点纵坐标为，平行与轴的直线上的点横坐标相同，象限的符号特征是解题的关键． （1）由轴上的点纵坐标为得，即可求解； （2）由已知得，求出坐标，判断象限，即可求解； （3）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ， ， 在第一象限； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 类型三、用有序数对表示位置和路线 1．小明在介绍郑州的时候，最准确的表述是（   ） A．北京的西南方向 B．北纬 C．东经 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标和方向，确定位置，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据坐标和方向、确定位置的标准判定即可． 【详解】解：小明在介绍郑州的时候，准确的表述是郑州在北纬，东经， 故选：D 2．某市地图简图的一部分如图所示．若图中“故宫”所在的区域用“”表示，则“鼓楼”所在的区域表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有序数对确定点的位置，解决本题的关键是掌握位置的表示方法． 根据“故宫”的区域表示方法，找出区域表示的规律，从而可确定“鼓楼”所在的区域表示． 【详解】解：∵“故宫”所在的区域用“”表示， 可知字母在前表示列，数字在后表示行， ∴“鼓楼”所在的区域表示为“”． 故答案为： ． 3．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)见解析， (2)（北偏东） 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东） 故答案为：（北偏东）． 类型四、点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键． 根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点到y轴的距离是， 故选：B． 2．若点C在x轴下方、y轴右侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点所在的象限的坐标特点，点到坐标轴的距离，象限内的点的坐标的符号特征是，第一象限；第二象限；第三象限：；第四象限．坐标平面内点到y轴的距离为横坐标的绝对值，到x轴的距离为纵坐标的绝对值． 先确定点C所在的象限，再根据点C与坐标轴的距离确定坐标． 【详解】解：∵C在x轴下方、y轴右侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点C在第四象限．纵坐标为，横坐标为3， ∴ 故答案为： 3．已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据在x轴上的点纵坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 所以， 所以． （2）解：因为直线轴， 所以， 解得， 所以， 所以． （3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， 所以， 解得， 所以， 所以的立方根是． 类型一、点与线段的平移 1．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移，其平移规则是：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，平移的确定等知识；根据平移的性质，确定平移方式，进而根据平移方式确定点B的对应点的坐标即可． 【详解】解：确定平移：点平移后为，横坐标变化为，纵坐标变化为，故平移为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 按此平移，点B平移后的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据点的平移规则：横坐标左减右，纵坐标上加下减，求解即可． 【详解】解：平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即：； 故答案为：． 3．探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 类型二、三角形的平移 1．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标，先结合坐标系得三个顶点的坐标分别是，因为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即横坐标加，纵坐标加，得出平移后三个顶点的坐标，即可作答． 【详解】解：由坐标系得三个顶点的坐标分别是， ∵将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后三个顶点的坐标分别是， 故选：C 2．如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的三个顶点A，B，C中的任意一点平移至点的位置后，点A的对应点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 根据题意，分三种情况进行分析，当点平移至点的位置时，当点平移至点的位置时，当点平移至点的位置时，确定平移方式求解即可． 【详解】解：当点平移至点的位置时， ∴点的对应点的坐标是； 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向上平移3个单位长度的对应点的坐标是，即； 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度的对应点的坐标是，即； 综上可得：点A的对应点的坐标是或或， 故答案为：或或． 3．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A变换为点，点、分别是B、C的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并写出点、的坐标； (2)若上有点，用m、n的式子写出平移后对应点的坐标． 【答案】(1)，，图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—平移变换、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． 由图可得，， （2）解：由题意得，三角形向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形， 平移后对应点的坐标为． 类型三、四边形的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点．现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律型：点的坐标，先求出四边形的周长为10，得到的余数为5，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴四边形的周长为10， 的余数为5， 又∵，， ∴细线另一端所在位置的点在C处，坐标为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、，四边形通过平移得到四边形，点、、、的对应点分别是点、、、，其中点的坐标是． (1)请在图中画出四边形； (2)四边形可以由四边形经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式． 【答案】(1)图见解析 (2)四边形先向右平移6个单位，再向下平移1个单位得到四边形 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据对应点的坐标，确定平移规则，画出四边形即可； （2）根据对应图形，写出平移方式即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）由图可知，四边形先向右平移6个单位，再向下平移1个单位得到四边形． 类型一、确定台风位置 1．气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（   ） A．西太平洋 B．距气象台500海里 C．北纬，东经 D．长江附近 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟记位置的确定需要横向与纵向的两个数据是解题的关键． 根据坐标确定位置，需要横向与纵向的两个数据解答． 【详解】解：A、位于西太平洋，位置不确定，故本选项不符合题意； B、距气象台500海里，位置不确定，故本选项不符合题意； C、位于北纬，东经，位置非常明确，故本选项符合题意； D、长江附近，位置不确定，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．在我国沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭，加强台风的监测和预报是减轻台风灾害的重要措施．图是气象台2018年发布的某台风的有关信息：2018年10月某天该台风中心位于点A处，则点A的位置是 ． 【答案】东经129°，北纬18° 【分析】根据点A在经纬网中的位置可直接写出点A的位置． 【详解】观察图形可知点A的位置是东经129°，北纬18°， 故答案为东经129°，北纬18°． 【点睛】本题考查了点的坐标确定方法，根据经纬度地图确定点所在的位置与在坐标系内找点方法相同，注意经纬度都要找准确． 3．把一个地点的东经度写在前面，北纬度写在后面，并用括号括起来，就组成一对有序的数对，可以用来表示一个地点的位置．如杭州大致位于北纬，东经，记作（如图）． (1)怎样用有序数对表示海口、北京的位置？ (2)据气象报告，2012年8月9日20时，台风“海葵”的中心位于北纬，东经．用有序数对（东经度写在前面）表示台风中心的位置，并在图上标出台风中心． (3)图中黄色路线表示西北太平洋台风移动的主要路径．各地点是否位于这条路径上？ 【答案】(1)海口的位置表示为；北京的位置为； (2)“海葵”的中心为，图见解析 (3)在这条路径上，不在这条路径上 【分析】（1）根据题意直接读出两个地点的位置即可； （2）先确定点的表示，然后在图中确定位置即可； （3）将三个点的位置在图中标出，即可确定． 【详解】（1）解：东经度写在前面，北纬度写在后面， 根据图得：海口的位置表示为；北京的位置为； （2）“海葵”的中心为，台风中心的位置如图中点A所示； （3）用B、C、D分别表示点的位置，如图所示， ∴在这条路径上，不在这条路径上． 【点睛】题目主要考查用有序数对表示点的位置，理解题意是解题关键． 类型二、笛卡尔有关问题 1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．科克曲线 C．莱洛三角形 D．阿基米德螺线 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2．著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置．他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系．例如，图中蜘蛛原本在点的位置，现在爬到了点B 的位置． 【答案】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据点的位置，判断点B的位置即可． 【详解】解：如图， ∵，即按的顺序排列， ∴． 故答案为：． 3．法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由； 当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及平移的坐标变化，通过割补法来求解不规则图形的面积是本题解题的关键； （1）根据平移的性质可知，对应点横纵坐标变化量相同，根据点坐标可以求出点坐标，从而得到平移量，根据，坐标可以求出，坐标； （2）①过作，根据平行线的性质求解即可；②假设点坐标，用点坐标表示出两部分的面积，根据两部分的面积比求解点坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知，从平移到，纵坐标没有变化， ， ， 向右平移了个单位长度， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：①正确，理由如下： ，， ， 当时，， 在上， 过作，如图： ，， ， ， ，， ， 即； ②当时，在上， 设， ，， ， ， ：：或：， 解得：或， 或． 类型三、坐标系中的规律 1．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的探究．根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2026个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现： 下标为偶数时，点的坐标规律： 当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， 当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半， 因为， 所以横坐标为1，纵坐标， 故选：B． 2．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，得出横坐标为，而，据此，即可求解，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴，，，， ； ∴的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上， ∴的横坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【答案】(1)19 (2) (3) 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律． （1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可； （2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形； （3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1—11.2 平面内点的坐标 图形在坐标系中的平移 一、平面内点的坐标 在平面直角坐标系中，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示，这对有序实数即为该点的坐标。坐标系的横轴为x轴，纵轴为y轴，一个点的坐标记为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。 二、图形在坐标系中的平移 1、点的平移： 在平面直角坐标系中，点的平移遵循一定的规律。当一个点(x,y)向右平移a个单位时，其坐标变为；向左平移a个单位时，坐标变为；向上平移b个单位时，坐标变为；向下平移b个单位时，坐标变为。简而言之，左右平移时纵坐标不变，横坐标“右加左减”；上下平移时横坐标不变，纵坐标“上加下减”。 2、图形的平移： 图形的平移实质上是图形上所有点的平移。在平面直角坐标系中，图形的平移不改变其形状和大小，只改变其位置。当一个图形向右平移a个单位时，其所有点的横坐标都增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，所有点的横坐标都减少a，纵坐标不变；向上平移b个单位时，所有点的纵坐标都增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，所有点的纵坐标都减少b，横坐标不变。 巩固课内例1:在平面直角坐标系中描点 1．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 2．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，点A的坐标是 ，点B的横坐标是 ，纵坐标是 ；横坐标和纵坐标都是负数的点是点 ；坐标是的点是点 ，在第 象限． 3．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 巩固课内例2:建立合适的平面直角坐标系(点) 1．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”的位于点，则棋子“兵”的位置应记为（   ） A． B． C． D． 2．如图是公园一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使牡丹园位于点，月季园位于点，则芍药园位于点 ． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 巩固课内例3:建立合适的平面直角坐标系(形) 1．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个乐亭的“乐”字，A，B，C为“乐”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以正方形的顶点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，以点为圆心，以为半径画弧，交轴正半轴于点，过点作，交直线于点，过点作，交轴正半轴于点……重复以上操作，可以得到点，若，则点的坐标为 ． 3．如图，建立平面直角坐标系，使，两点的坐标分别是和，并写出点，，，，的坐标． 巩固课内例4:方位问题 1．下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（    ） A．丹尼斯•大卫城东南方向 B．二七路南段 C．解放路东段 D．二七路与解放路交叉口 2．根据下列表述，能确定一点位置的是 . ①东经，北纬     ②宝鸡市文化东路 ③北偏东                     ④奥斯卡影院号厅排 3．如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标的位置．：______； (2)若目标的实际位置是北偏西距观测站米，目标的实际位置是南偏西距观测站米，写出目标，的实际位置； ：______； ：______． (3)若另有目标在东南方向距观测站米处，写出的位置表示． ：______． 巩固课内例5:图形的平移 1．如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点A，B，C的坐标分别为，，； (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、、的坐标，并在图中画出平移后图形． (2)点是上任意一点，它平移后的对应点是，写出的坐标． 类型一、写出点的坐标 1．如图，长方形的边在y轴上，若顶点，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为 ． 3．如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 类型二、点所在的象限 1．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 类型三、用有序数对表示位置和路线 1．小明在介绍郑州的时候，最准确的表述是（   ） A．北京的西南方向 B．北纬 C．东经 D．北纬，东经 2．某市地图简图的一部分如图所示．若图中“故宫”所在的区域用“”表示，则“鼓楼”所在的区域表示为 ． 3．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 类型四、点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．若点C在x轴下方、y轴右侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为 ． 3．已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 类型一、点与线段的平移 1．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为 ． 3．探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 类型二、三角形的平移 1．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． 2．如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的三个顶点A，B，C中的任意一点平移至点的位置后，点A的对应点的坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A变换为点，点、分别是B、C的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并写出点、的坐标； (2)若上有点，用m、n的式子写出平移后对应点的坐标． 类型三、四边形的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点．现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、，四边形通过平移得到四边形，点、、、的对应点分别是点、、、，其中点的坐标是． (1)请在图中画出四边形； (2)四边形可以由四边形经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式． 类型一、确定台风位置 1．气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（   ） A．西太平洋 B．距气象台500海里 C．北纬，东经 D．长江附近 2．在我国沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭，加强台风的监测和预报是减轻台风灾害的重要措施．图是气象台2018年发布的某台风的有关信息：2018年10月某天该台风中心位于点A处，则点A的位置是 ． 3．把一个地点的东经度写在前面，北纬度写在后面，并用括号括起来，就组成一对有序的数对，可以用来表示一个地点的位置．如杭州大致位于北纬，东经，记作（如图）． (1)怎样用有序数对表示海口、北京的位置？ (2)据气象报告，2012年8月9日20时，台风“海葵”的中心位于北纬，东经．用有序数对（东经度写在前面）表示台风中心的位置，并在图上标出台风中心． (3)图中黄色路线表示西北太平洋台风移动的主要路径．各地点是否位于这条路径上？ 类型二、笛卡尔有关问题 1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．科克曲线 C．莱洛三角形 D．阿基米德螺线 2．著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置．他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系．例如，图中蜘蛛原本在点的位置，现在爬到了点B 的位置． 3．法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由； 当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 类型三、坐标系中的规律 1．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 3．如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$