第13章 三角形中的边角关系、命题与证明题型过关专练（优质类型）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形中线平分周长差 【解惑】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得； ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得， 综上或13， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 2．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 的周长， 的周长， ∵， ∴， ∴和的周长差为， 故答案为：． 3．如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． 类型二、三角形中线平分面积 【解惑】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质可得，，相加可得结果． 【详解】解：∵点、、、分别是、、、的中点， 是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ， 同理可得：， 四边形的面积为：． 故选：A． 2．如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是 ，三角形的面积是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：在高相等的情况下，面积比等于底边比． 据三角形的面积底高，结合边的比例关系，就能找到各三角形面积的关系，结合三角形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∴在和中，底，高相等， ， 在和中，底，高相等， 设，则， ， 在和中，底，高相等， ， ， ， 在和中，底，高相等， ∴，即， 解得． 故答案为：4 ； ． 3．如图，已知的面积为27，且，求的面积． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据题意得到，则，同理可得，即可作答． 【详解】解：∵的面积是27， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 类型三、三角形三边关系应用 【解惑】若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 【融会贯通】 1．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边满足“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”成为解题的关键． 首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边长为偶数求得第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边长 又∵第三边是偶数，则第三边是． 则三角形的周长是． 故选B． 2．已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 3．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 类型四、角平分线与高的夹角问题 【解惑】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的角平分线、高，由平分，可得，由，，可求得的度数，在中利用三角形内角和可求得答案．求得的度数是解题的关键． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中， ， ，垂足为， 平分．已知，， 则 的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线，三角形内角和定理，垂直的定义，根据三角形内角和定理，角平分线以及垂直的定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 2．如图，在中，是边上的高，平分，，， ． 【答案】 【分析】由是边上的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是边上的高， ， ， ． 是△的外角，， ． 平分， ． 在中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 3．如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，先根据是边上的高，，求出，结合，得，因为平分则，最后结合三角形内角和为进行列式，即可作答． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分 ∴， ∴． 类型五、推理依据——平行线 【解惑】如图，点在一条直线上，，，求证：，将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据 证明：∵，（已知） ∴____（_______） ∵，（_______）， ∴，，且（已知）， ∴_____（_______）， ∴（_______） 【答案】；两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理；；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，进而由三角形内角和定理得，再根据平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（三角形内角和定理）， ∴，，且（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理；；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 【融会贯通】 1．如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且 (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：，垂足为D， （___________）， 在中，（___________）， ， （___________）， （___________）； (2)若，，求，的度数． 【答案】(1)垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行 (2)， 【分析】（1）由垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行求证即可得到答案； （2）由平行线的性质得到，数形结合即可得到，再由代值求解即可得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：，垂足为D， （垂直的定义）， 在中，（直角三角形的两个锐角互余）， ， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 2．阅读与思考： 下面是博学小组探究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 已知平分，，点，分别在射线，上运动，满足，连接．如图1，当点在点左侧时，求证：． 证明：∵平分， ∴（依据1：________）． ∵， ∴（等量代换）， ∴（依据2：________）， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指______；依据2是指______． (2)补全材料中剩余的证明过程． (3)如图2，当点在点右侧时，设，，请直接用含，的代数式表示的度数． 【答案】(1)角平分线的定义；内错角相等，两直线平行； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的判定即可得到答案； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）根据题意得 ，得到，得出，得到，即可得到． 【详解】（1）解：证明：∵平分， ∴（依据1：角平分线的定义）． ∵， ∴（等量代换）， ∴（依据2：内错角相等，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；内错角相等，两直线平行； （2）解：∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ，， ， ， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 3．如图，在三角形中，于，点是上一点，于交于点，点是延长线上一点，连接． (1)求证：；（补全证明过程，并在括号内填写推理的依据） (2)若，求的度数． （1）证明：（已知）， （①______）， ②______（同位角相等，两直线平行）， （③______）， （已知）， ④______（⑤______）， （⑥______）； 【答案】(1)①垂直的定义；②；③两直线平行，同旁内角互补；④；⑤同角的补角相等；⑥同位角相等，两直线平行 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和与差的计算． （1）利用平行线的判定和性质推出，再利用同角的补角相等求得，然后利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用角的和与差的计算即可求解． 【详解】（1）证明：（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为：①垂直的定义；②；③两直线平行，同旁内角互补；④；⑤同角的补角相等；⑥同位角相等，两直线平行； （2）解：， 设，， ， ， ， 即，解得， ． 类型六、推理依据——三角形的内角和 【解惑】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 【融会贯通】 1．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 2．课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析 【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到． 【详解】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 3．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解；， ，． ， ． ， ， ． ， ． 类型七、三角形的三种角平分线 【解惑】在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【详解】（1）的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线，    （2）如图2，延长、交于点．    ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； （3）∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ②（舍去） ③ ④（舍去） 或．    2．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 【答案】(1)①；；②，证明见解析； (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键. （1）①利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；②利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明； （2）延长交于点P，在中，求得，利用（1）的结论即可解决问题. （3）如图，延长，延长交于点，求解，由，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P，可得分别平分，利用（2）的结论可得答案； 【详解】（1）解：①平分，平分， ， ， ∵，则； ∵，则； ②猜想：，理由如下： 平分，平分， ， ； （2）解：延长交于点P，   ，， ，， 在中，， 由（1）结论得： （3）解：如图，延长，延长交于点， ∵，， ∴，    ∵，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P， ∴分别平分， 由（2）的结论可得： ； 3．如图，点、分别在射线、上（不与点重合）．    (1)如图1，若，、的角平分线交于点，求的度数； (2)如图2，若，是的角平分线，的反向延长线与的角平分线交于点．试问：随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果； （2）由三角形外角性质得出，由角平分线定义得出，，，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， 、的平分线交于点， ， ； 故答案为：135； （2）的度数不变，；理由如下： ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线及外角性质等知识；灵活运用三角形的这些性质定理是解题的关键． 类型八、三角形的三种折叠 【解惑】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，折叠的性质： （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接 ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴． （2）解：，证明如下： 连接， ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴， ∴． 2．如图，一个三角形的纸片，其中，．        (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论） 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)87 【分析】（1）由折叠的性质得，由已知，推出，即可得到结论； （2）由四边形的内角和等于得到，由平角性质得到，推出，再由图形翻折的性质即可得出结果； （3）由折叠的性质得（设为α），（设为β），则，，推出，再由三角形的内角和得到，证得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形的内角和等于， ∴． 又∵， ∴． 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； （3）由折叠的性质得：，， 设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：87． 【点睛】本题主要考查了翻折，四边形，平行线，三角形外角，三角形内角和等知识，熟练掌握翻折的性质，四边形内角和定理，平行线的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等，是解题的关键． 3．将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为． (1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧． ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，请写出、和的关系并证明； (2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使与三角形的其中一边平行，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①先求出的度数，在根据四边形内角和求出的度数，由和的度数可求出答案； ②同①的方法即可求解． （2）分三种情况讨论，当时，当，在上方时，当，在下方时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； ②由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； （2）解：①当时，如图所示， ∴， ∵由折叠可知，，， ∵， ∴； ②当，在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 由折叠可知， ， ∴， ∴； ③当，在下方时，如图所示，， 则， ∴， ∴， 由折叠可知， ， ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了四边形内角和公式，三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识，并能分类讨论是解题的关键． 类型九、三角形中的“8字形” 【解惑】已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，，，，之间有何数量关系？直接写出结论． (2)如图2，在（1）的结论下，与的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．与，之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、对顶角相等、角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理、对顶角相等即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的方法可得，，两个式子相减即可得． 【详解】（1）解：，求解过程如下： 由对顶角相等得：， ，， ． （2）解：，理由如下： 与的平分线和相交于点， ，， 由“8字形”可知，， 由①②得：， ． 【融会贯通】 1．试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图： ①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：因为， 所以，① 同理得，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， 得：， 即， 又∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了新定义内容，对顶角相等、三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 2．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．    (1)试说明：； (2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)① 3；4；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理进行解答即可； （2）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． ②在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴． 3．探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论； (3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得 结论； （4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中， ， 在中， ， ∵， ∴ 故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： （3） 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， （4）如图4，延长、交于点， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 类型十、三角形的新定义 【解惑】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是，求解即可； （2）①由题意可得，所以只要证与满足，即可解答，②由题意可得，所以分两种情况，，，分别求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”， ②∵， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为或． 【融会贯通】 1．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC， 则 ∵， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 2．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ：的“3系数补角”是 ． 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．①如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）如图2，连接．若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）的大小为或或或 【分析】（1）设的“2系数补角”是x，根据题意可得，设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案； （3）分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】解：（1）设的“2系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“2系数补角”是； 设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为：；； （2）设， 如图，设与相交于点H， ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； （3）∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M． ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴ ∴ ∴； 如图2， 同理可得，， 则； 如图3， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 如图4， 同理可得，， ∴； 如图5， 同理可得，， ∴； 如图6， 同理可得，， ∴； 综上可知，的大小为或或或． 【点睛】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． (1)【理解】（1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． (2)【应用】（3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）根据“开心三角形”的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案. （2）根据“开心三角形”的概念分两种情况求解即可. （3）分与互为“开心角”和与互为“开心角”两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：（1）解：设最小的角为，为“开心三角形”， 故答案为： （2）当是“开心角”，则最小的角是， 当不是“开心角”，设最小的角为，， 故答案为： （2）（3）分两种情况讨论：①当与互为“开心角”时，或． 平分，平分， ． ， ，即或， 解得（第一个方程无解，即不成立）； ②当与互为“开心角”时，或， 即或， 同①可得，或， 解得或． 综上所述，的值为或或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形中线平分周长差 【解惑】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【融会贯通】 1．如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    3．如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 类型二、三角形中线平分面积 【解惑】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【融会贯通】 1．如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 2．如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是 ，三角形的面积是 ． 3．如图，已知的面积为27，且，求的面积． 类型三、三角形三边关系应用 【解惑】若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 3．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 类型四、角平分线与高的夹角问题 【解惑】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中， ， ，垂足为， 平分．已知，， 则 的度数是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，平分，，， ． 3．如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    类型五、推理依据——平行线 【解惑】如图，点在一条直线上，，，求证：，将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据 证明：∵，（已知） ∴____（_______） ∵，（_______）， ∴，，且（已知）， ∴_____（_______）， ∴（_______） 【融会贯通】 1．如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且 (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：，垂足为D， （___________）， 在中，（___________）， ， （___________）， （___________）； (2)若，，求，的度数． 2．阅读与思考： 下面是博学小组探究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 已知平分，，点，分别在射线，上运动，满足，连接．如图1，当点在点左侧时，求证：． 证明：∵平分， ∴（依据1：________）． ∵， ∴（等量代换）， ∴（依据2：________）， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指______；依据2是指______． (2)补全材料中剩余的证明过程． (3)如图2，当点在点右侧时，设，，请直接用含，的代数式表示的度数． 3．如图，在三角形中，于，点是上一点，于交于点，点是延长线上一点，连接． (1)求证：；（补全证明过程，并在括号内填写推理的依据） (2)若，求的度数． （1）证明：（已知）， （①______）， ②______（同位角相等，两直线平行）， （③______）， （已知）， ④______（⑤______）， （⑥______）； 类型六、推理依据——三角形的内角和 【解惑】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【融会贯通】 1．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 2．课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 3．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 类型七、三角形的三种角平分线 【解惑】在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【融会贯通】 1．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 2．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 3．如图，点、分别在射线、上（不与点重合）．    (1)如图1，若，、的角平分线交于点，求的度数； (2)如图2，若，是的角平分线，的反向延长线与的角平分线交于点．试问：随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 类型八、三角形的三种折叠 【解惑】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【融会贯通】 1．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 2．如图，一个三角形的纸片，其中，．        (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论） 3．将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为． (1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧． ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，请写出、和的关系并证明； (2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使与三角形的其中一边平行，求的度数． 类型九、三角形中的“8字形” 【解惑】已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，，，，之间有何数量关系？直接写出结论． (2)如图2，在（1）的结论下，与的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．与，之间有何数量关系？并说明理由． 【融会贯通】 1．试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        2．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．    (1)试说明：； (2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个； ②若，，求的度数． 3．探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 类型十、三角形的新定义 【解惑】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【融会贯通】 1．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 2．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ：的“3系数补角”是 ． 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．①如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）如图2，连接．若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． (1)【理解】（1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． (2)【应用】（3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $