精品解析： 福建省厦门蔡塘中学2024-2025学年下学期九年级第一次素养检测数 学 试题

2024——2025学年（下）九年级第一次素养检测试题 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据文化和旅游部公布的数据，2024年国庆国内旅游人数合计约2740000000人次，就有一人外出旅游．将2740000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( ) A. B. C. D. 6. 若a，b为连续的两个质数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，（），大正方形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（ ） A. 正十二边形 B. 正十边形 C. 正八边形 D. 正六边形 10. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集为_______________． 12. 某地2025年3月19日的天气预报为，则这天该地的温差是_______________． 13. 一辆汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则直行经过这个十字路口的概率为______． 14. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 15. 某公司为解决接送员工上下班问题，特设置区间车项目组，该项目组的月收支差额y（月票总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象如图所示，目前该项目亏损，为了扭亏，有关部门举行提高月票单价的听证会． 乘客代表认为：项目组应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 项目组认为：运营成本难以下降，项目组已尽力，提高月票单价才能扭亏． 有关部门建议：公司对该项目进行适当的补助，并适当提高月票单价，让该项目实现扭亏为赢． （1）图中点B的实际意义为____________； （2）公司每月该补助项目组2000元，且每月有120人要乘坐区间车，若该项目组想要获得不少于1400元的利润，则月票单价至少提高______________． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解不等式组：． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 哪吒和敖丙一起去收土拨鼠，已知哪吒3头6臂，敖丙1头2臂，每人每只手能收的土拨鼠数量一样，两人一共收了22只土拨鼠，哪吒收的土拨鼠数量比敖丙多2只，求哪吒和敖丙每只手各收了多少只土拨鼠？ 21. 某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮，其前方有一座三层建筑物，小明想利用该建筑物的高度来估计摩天轮的高度，他通过实际体验发现，摩天轮旋转一周需要24分钟，从最低点A处坐上摩天轮，经过3分钟到点B处时，该建筑物的屋顶正好在水平视线上．根据经验估计，该建筑物的第一层约为5米，其余两层每层约为3.5米，摩天轮最低点A离地面2米，在不考虑其它因素的前提下，估计摩天轮的高度是多少米．(参考数据：，，，最后结果保留整数米) 22. 如图，在中，，点D为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得． （2）在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 23. 表一：参展的车辆情况．“双碳”背景下，新能源和低碳技术的价值链将成为重中之重，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎．某市会展中心正在举行一场新能源汽车的车展活动，此次车展共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航里程可以将这些车分成六类，参展的每一类车辆数如表一： 续航里程x（单位：公里） x≤400 400<x≤500 500<x≤600 600<x≤700 700<x≤800 x>800 数量（单位：辆） 40 120 132 95 68 45 表二：甲、乙两款车型的三项性能表． 续航里程（单位：公里） 百公里加速（单位：s） 智能化水平 甲车 700 2.70 优秀 乙车 650 1.69 良好 秦先生去参加了这次车展活动，他比较看重新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数．秦先生根据汽车鉴定评估机构发布的不同类型汽车的评估结果了解到，续航里程评分规则如下：续航里程达到400公里可得基本分70分，续航里程每增加25公里得分增加1分（增加不足25公里的忽略不计）．智能化水平分为一般、良好、优秀，分别可得80分、90分、100分．百公里加速得评分规则如图： （1）秦先生随机选择了一辆车了解车辆信息，记事件A为：选择的是续航里程超过500公里的车辆．求事件A的概率； （2）新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数，在秦先生心目中的重要程度分别占，秦先生看中了售价一样的甲、乙两款车，这两款车的三项性能如表二．根据所学的统计与概率的知识，你认为秦先生应选择哪一款汽车比较合适？请说明理由． 24. 如图，正方形中，点E是对角线上一点，连接交边于点M，延长交延长线于点F，过E作交边于点N，交延长线于点G，和的延长线交于点P． （1）若，，求的长． （2）若． ①求的度数； ②求证：． 25. 已知抛物线的顶点为A，过点A的直线与抛物线的另一个交点为B． （1）求点A的坐标；（用含m的代数式表示） （2）当点A在第一象限时，若k随着m的增大而增大，求b的取值范围； （3）当时，过点B的直线与抛物线只有一个交点（不垂直于x轴）．设直线交x轴于点是抛物线上一点，若点M关于点Q的对称点N在上，求证：N是线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年（下）九年级第一次素养检测试题 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，整式的加减法计算法则，积的乘方计算法则及单项式除以单项式法则分别计算判断． 【详解】解：A. ，此项错误； B. ，此项错误； C. ，此项错误； D. ，此项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的计算法则：合并同类项法则，整式的加减法计算法则，积的乘方计算法则及单项式除以单项式法则，熟练掌握各计算法则是解题的关键． 3. 根据文化和旅游部公布的数据，2024年国庆国内旅游人数合计约2740000000人次，就有一人外出旅游．将2740000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2740000000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可． 【详解】∵所对应的弧为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可． 【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 6. 若a，b为连续的两个质数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到的值，利用平方差公式及质数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、当时， ， 由于15不是质数，故A选项不符合题意； B、当时， ， 由于18和16不是质数，故B选项不符合题意； C、当时， ， 由于19和17是两个连续的质数，故C选项符合题意； D、当时， ， 由于20和18都不是质数，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用及质数的定义，熟练掌握因式分解及质数的定义是解题的关键． 7. 某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设A型机器人每小时配送x件物资，根据“配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟”列出方程即可． 【详解】解：设型机器人每小时配送x件，列方程为， 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，（），大正方形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理与正方形的性质得出，，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， 4个直角三角形的面积， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，求得，是解题的关键． 9. 把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（ ） A. 正十二边形 B. 正十边形 C. 正八边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题． 【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正八边形； 如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边形； 如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形， 而得不出十边形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关键． 10. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对于任意的，都有，可知：，且，，进而可知：时，，或时，，或时，，逐一进行判断即可．根据对于任意的，都有，得到抛物线开口向下，且与轴的两个交点都在负半轴上，是解决本题的关键． 【详解】解：由对于任意的，都有，可知：，且，， ∴时，；或时，；或时，， ∵二次函数与x轴交于、两点， ∴二次函数的对称轴为：； A、当时，当时，，当时，，选项不一定正确，不符合题意； B、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； D、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．不等式两边同除以2即可得出不等式的解集． 【详解】解：， 不等式两边同除以2得：． 故答案为：． 12. 某地2025年3月19日的天气预报为，则这天该地的温差是_______________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键；利用最高温度减去最低温度即可求解． 【详解】解：因为， 则这天该地的温差是12， 故答案为：12． 13. 一辆汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则直行经过这个十字路口的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，共有三种等可能情况：直行，左转，右转， 其中直行经过这个十字路口有一种可能， ∴直行经过这个十字路口的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 14. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于、，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N，证明，然后利用相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如图，延长、分别交x轴于、，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N， ∵点，点， ∴，轴， ∴， 又∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即AB在x轴上的影长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 15. 某公司为解决接送员工上下班问题，特设置区间车项目组，该项目组的月收支差额y（月票总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象如图所示，目前该项目亏损，为了扭亏，有关部门举行提高月票单价的听证会． 乘客代表认为：项目组应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 项目组认为：运营成本难以下降，项目组已尽力，提高月票单价才能扭亏． 有关部门建议：公司对该项目进行适当的补助，并适当提高月票单价，让该项目实现扭亏为赢． （1）图中点B的实际意义为____________； （2）公司每月该补助项目组2000元，且每月有120人要乘坐区间车，若该项目组想要获得不少于1400元的利润，则月票单价至少提高______________． 【答案】 ①. 当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本 ②. 25元 【解析】 【分析】（1）根据横纵坐标的实际意义结合题意可得答案； （2）首先求出目前月票的价格，再根据“该项目组想要获得不少于1400元的利润”列不等式求解即可． 【详解】解：（1）图中点B的实际意义为当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本； 故答案为：当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本； （2）由函数图象得：该项目运营成本为元，当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本， ∴目前月票价格为（元）， 设月票单价提高a元， 由题意得：， 解得：， ∴月票单价至少提高25元， 故答案为：25元． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，一元一次不等式的应用，正确理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，根据等腰三角形三线合一性质，得；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得，即 ∵直线过原点O和线段的中点C ∴直线： ∵在直线上 ∴ ∴ 连接 ∴，线段的中点为点C ∴ 过点C作x轴的垂线，垂足为点D ∴ ∴， ， ∴ ∴ ∴点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心 ∴ ∵ ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，和位于直线两侧，即 ∴不符合题意 ∴，且 ∴， ∴ ∴，此时， ∴； 根据对称性可知，点P关于点C的对称点， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的相关运算法则是解本题的关键． 根据分式的混合运算法则将原式化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 20. 哪吒和敖丙一起去收土拨鼠，已知哪吒3头6臂，敖丙1头2臂，每人每只手能收的土拨鼠数量一样，两人一共收了22只土拨鼠，哪吒收的土拨鼠数量比敖丙多2只，求哪吒和敖丙每只手各收了多少只土拨鼠？ 【答案】哪吒每只手收了2只土拨鼠，敖丙每只手收了5只土拨鼠 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程． 设哪吒每只手收了x只土拨鼠，敖丙每只手收了y只土拨鼠，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设哪吒每只手收了x只土拨鼠，敖丙每只手收了y只土拨鼠，根据题意得： ， 解得：， 答：哪吒每只手收了2只土拨鼠，敖丙每只手收了5只土拨鼠． 21. 某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮，其前方有一座三层建筑物，小明想利用该建筑物的高度来估计摩天轮的高度，他通过实际体验发现，摩天轮旋转一周需要24分钟，从最低点A处坐上摩天轮，经过3分钟到点B处时，该建筑物的屋顶正好在水平视线上．根据经验估计，该建筑物的第一层约为5米，其余两层每层约为3.5米，摩天轮最低点A离地面2米，在不考虑其它因素的前提下，估计摩天轮的高度是多少米．(参考数据：，，，最后结果保留整数米) 【答案】摩天轮的高度约为70米． 【解析】 【分析】延长交于点，通过旋转时间可以确定，由题意可得：米，米，设摩天轮的半径为米，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交地面于点． 由题意知：，． 设摩天轮的半径为米，则， 由题意知：（米）， （米）． ∴． 在中， ∵，即：， 解得：， 摩天轮的高度为：（米）． 答：摩天轮的高度约为70米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过旋转时间确定旋转角度以及准确找到需要求解的直角三角形是解决本题的关键． 22. 如图，在中，，点D为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得． （2）在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 【答案】（1） 解：如图，连接，作的垂直平分，交于点E，点E即为所求； （2） 证明：如图，连接，， 由的作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵是半径， ∴也是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵也是的半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】（1）由，，可知，进而可知点在线段的垂直平分线上，因此线段的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂直平分，可得，利用圆周角定理可得， 结合可得，进而依次推出，，即可证明与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，切线的判定等．解第一问的关键是作出的垂直平分线，解第二问的关键是设法证明． 23. 表一：参展的车辆情况．“双碳”背景下，新能源和低碳技术的价值链将成为重中之重，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎．某市会展中心正在举行一场新能源汽车的车展活动，此次车展共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航里程可以将这些车分成六类，参展的每一类车辆数如表一： 续航里程x（单位：公里） x≤400 400<x≤500 500<x≤600 600<x≤700 700<x≤800 x>800 数量（单位：辆） 40 120 132 95 68 45 表二：甲、乙两款车型的三项性能表． 续航里程（单位：公里） 百公里加速（单位：s） 智能化水平 甲车 700 2.70 优秀 乙车 650 1.69 良好 秦先生去参加了这次车展活动，他比较看重新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数．秦先生根据汽车鉴定评估机构发布的不同类型汽车的评估结果了解到，续航里程评分规则如下：续航里程达到400公里可得基本分70分，续航里程每增加25公里得分增加1分（增加不足25公里的忽略不计）．智能化水平分为一般、良好、优秀，分别可得80分、90分、100分．百公里加速得评分规则如图： （1）秦先生随机选择了一辆车了解车辆信息，记事件A为：选择的是续航里程超过500公里的车辆．求事件A的概率； （2）新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数，在秦先生心目中的重要程度分别占，秦先生看中了售价一样的甲、乙两款车，这两款车的三项性能如表二．根据所学的统计与概率的知识，你认为秦先生应选择哪一款汽车比较合适？请说明理由． 【答案】（1） （2）秦先生应选择甲款汽车比较合适，理由： 由题意知，甲车的续航里程评分为，百公里加速得评分为90，智能化水平得分为100， ∴甲车的平均分为（分）， 乙车的续航里程评分为，百公里加速得评分为100，智能化水平得分为90， ∴乙车的平均分为（分）， ∵， ∴秦先生应选择甲款汽车比较合适． 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）根据题意，计算甲、乙两车的加权平均数，然后比较即可． 【小问1详解】 解：由表一可知总共有辆车，续航里程超过500公里的车有辆， ∴， ∴事件A的概率为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了简单的概率计算公式，加权平均数等知识．解题的关键在于从题干中获取正确的信息． 24. 如图，正方形中，点E是对角线上一点，连接交边于点M，延长交延长线于点F，过E作交边于点N，交延长线于点G，和的延长线交于点P． （1）若，，求的长． （2）若． ①求的度数； ②求证：． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∵， ∴F、E、C、G四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，由（2）已知， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和解直角三角形求得，，再证明得到即可求解； （2）①先利用直角三角形斜边中线性质得到，则，设，利用三角形外角性质得到，证明得到，利用直角三角形的两个锐角互余求得，即，进而可求解； ②先利用正方形的性质和圆周角定理证得，F、E、C、G四点在以为直径的圆上，则，即， 证明，得到，解直角三角形得到即可证得结论． 【小问1详解】 ∵四边形为正方形，且， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为正方形 ∴，，，又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 又∵， ∴； ②略 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的有关性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质和圆周角定理求解是解答的关键． 25. 已知抛物线的顶点为A，过点A的直线与抛物线的另一个交点为B． （1）求点A的坐标；（用含m的代数式表示） （2）当点A在第一象限时，若k随着m的增大而增大，求b的取值范围； （3）当时，过点B的直线与抛物线只有一个交点（不垂直于x轴）．设直线交x轴于点是抛物线上一点，若点M关于点Q的对称点N在上，求证：N是线段的中点． 【答案】（1）A的坐标为； （2）； （3）当时， 抛物线解析式为，顶点， ，即， ∴直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ， ∵直线不垂直于x轴，设直线的解析式为， 将代入， 得， ， 即直线的解析式为， 将代入， 得， 化简得， 即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， ， ∴直线的解析式为， 令，则， ， 设， ， ， ， 将代入， 得， 化简得， 解得， ， ， 同理可得中点的坐标是， 即N是线段的中点． 【解析】 【分析】(1)由 ，即可求解； (2)将代入得，则，即，进而求解； (3) 设，则，将代入，得，得到，求出中点的坐标是，进而求解． 【详解】解：（1）由题已知: ， 即， ∴点A的坐标为， （2）∵点A在第一象限， ， ， 将代入得 ， ，即， ∵当时，k随m的增大而增大， ∴当时，随m的增大而增大， ， ， （3）略 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、中点坐标公式的运用，根的判别式的运用等，有一定的综合性，计算量大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $