精品解析：2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 函数中，自变量的取值范围是， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（ ） A. 15，13 B. 13，14 C. 14，13 D. 13，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，先按照从小到大排序，然后找出第四位和第五位上的两个数，求其平均数即为中位数，根据出现次数最多的数即为众数可找到众数． 【详解】∵按照从小到大排序为：11，12，13，13，15，16，17，18 ∴这组数据的中位数为， ∵这组数据中，出现了2次，次数最多， ∴这组数据的众数是13， 故选：C． 5. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 6. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键． 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 8. 如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 9. 小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 自变量x的取值范围是 B. 函数值y的取值范围是 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数值y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是，故选项A，B正确，不符合题意； 由图象可知，函数的图象关于y轴对称，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；故选项C正确，选项D错误； 故选D． 10. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于M， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过G作于H， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：数据45000用科学记数法表示为， 故答案为：． 13. 正十二边形的内角和等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式进行计算即可．本题考查了多边形的内角与外角，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：， 正十二边形的内角和等于 故答案为： 14. 命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 15. 某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一） 16. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°， ∴AD=CD=60m， 在Rt△ABD中， AB=AD•sin∠ADB=60×=(m). 故答案是：. 17. 已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接， 为等边三角形且，则， ， 如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 18. 在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为，点P在函数的图象上，过点P作的切线，切点分别为M、N，则的最小值为______，此时点P的坐标为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、，设直线分别交x轴、y轴于点L、H，由切线的性质及切线长定理得，，则，所以当的值最小时，则的值最小，由，得，可求得，，则，取点，连接交直线于点I，则，所以，由，求得，因为，所以当点P与点I重合时，的值最小，，则，所以，作轴于点F，则，进而可得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 设直线分别交x轴、y轴于点L、H， ∵与相切于点M，与相切于点N，的圆心为，半径为， ∴，，， ∴， ∴， ∴当的值最小时，则的值最小， ∵点P、点A都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，则的值最小， 直线，当时，， 当时，则， 解得， ∴，， ∴， 取点，连接交直线于点I，则， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，点P在直线上， ∴， ∴当点P与点I重合时，的值最小，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 作轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的化简、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程与解不等式组，熟练掌握解分式方程方法和确定不等式组解集原则是解题的关键．注意解分式方程要验根． （1）先去分母将分式方程化成整式方程求解，再检验即可求解； （2）先分别求出每一个不等式的解集，再根据“大大取大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：把代入，得， ∴原方程的解为：． （2）， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集为． 21. 如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“”和“”，B盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”．这些卡片除数字外其他都相同． （1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是______． （2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标，求这个点在第一象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个点在第一象限的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种， 在盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中这个点在第一象限的结果有：，，共2种， 这个点在第一象限的概率为． 23. “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 【答案】（1）③ （2）①0.12， 频数分布直方图补全如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可． （2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本， 故答案为：③ （2）①频率分布表中的， 故答案为：0.12， ②麦穗长度频率分布在之间的频数有：； （3）， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为． 24. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】（1） 如下图：即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 25. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． 【小问2详解】 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 26. 如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解． 【小问1详解】 如图，连接． 为的切线， ． ， ． ， ． ， ． 【小问2详解】 如图，连接， ，， ． ， ，且， ， ，即， ， ，即半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键． 27. 如图，在正方形中，为上一动点，，作关于的对称点，连接、． （1）当时，求； （2）连接交、于，若，求与的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． （1）延长与交于点，利用勾股定理求出的长即可； （2）延长与交于点，利用勾股定理表示出的长度，再根据得到求解即可． 【小问1详解】 解：延长与交于点，设， ∵正方形中，为上一动点，， ∴， ∵作关于的对称点，， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 在中，， ∴， 两个方程相减得， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：延长与交于点，设， ∵作关于的对称点，， ∴， ∴， 在中，，即， 在中，，即， 两个方程相减得， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，函数关系，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 28. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； （3）点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，；时，；时， （3）存在，或或或或或 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（ ） A. 15，13 B. 13，14 C. 14，13 D. 13，13 5. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A. B. C. D. 9. 小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 自变量x的取值范围是 B. 函数值y的取值范围是 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数值y随x的增大而减小 10. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 13. 正十二边形的内角和等于______度． 14. 命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”） 15. 某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 16. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)． 17. 已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________． 18. 在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为，点P在函数的图象上，过点P作的切线，切点分别为M、N，则的最小值为______，此时点P的坐标为___． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： （1）； （2）． 22. 在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“”和“”，B盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”．这些卡片除数字外其他都相同． （1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是______． （2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标，求这个点在第一象限的概率． 23. “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 24. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 25. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 26. 如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 27. 如图，在正方形中，为上一动点，，作关于的对称点，连接、． （1）当时，求； （2）连接交、于，若，求与的函数关系式． 28. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； （3）点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $