精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市讷河市第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

数学试卷 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条码区域”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再求出其共轭复数，最后计算模长的值. 【详解】已知，则.得到：，则.  所以. 可得：. 根据复数的模的计算公式：则.  故选：D. 3. 在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵，解得， ∴. 故选：A． 5. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线求出椭圆的长轴及短轴顶点，进而得出，再应用，得出离心率即可. 【详解】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 6. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即， 解得， 所以A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要条件. 故选：D. 7. 已知，，，则（ ） A. 0.2 B. 0.375 C. 0.75 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：A. 8. 已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 的对称中心为 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的周期判断A；根据正切函数的性质求解判断BCD. 【详解】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC. 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义域，可排除；求导讨论不同值对应的函数的单调性，判断选项. 【详解】的定义域为，所以选项错误； ， 当时，在恒成立，所以单调递增， 且当时，，，所以，所以图象可能是选项 当时，，此时图象可能是选项； 当时，因为与都是增函数，所以也是增函数， 令，则，设方程的根为，即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 若，显然，则，所以图象可能是选项； 故选：. 11. 已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据垂直可得斜率与方程，联立与抛物线，由中点N同时在和上可得以及与的关系，代入即可得范围，再根据选项代数判断即可. 【详解】如图 由题意，斜率存在且为，所以， 联立得：， 由韦达定理得， 所以，代入得， 代入得，则， 又因为，则， . 由以上可得CD均正确； 对于A选项，代入，可得，故A错误； 对于B选项，不符合与的关系，故B错误； 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式． 【详解】的定义域为， ∵，∴函数是上的增函数， ∵，∴函数是奇函数， ∴由得， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则______；______． 【答案】 ①. 32 ②. 【解析】 【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，从而可求出，得出；利用累乘法可求出，从而可求，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，公比为， 所以，则． 则， 所以， 所以 ． 故答案为：32；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且 （1）求BO的长； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【小问1详解】 设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； 【小问2详解】 由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导并分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）由条件可得恒成立，设，求导并分类讨论，确定的单调性及最大值，可得，令，，利用的单调性确定的范围，从而可得范围. 【小问1详解】 定义域为， ，， 当时，，则在上单调递增； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为. 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立， 则恒成立， 设， ， ∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 所以不合题意； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 则的最大值为， 则， 令，， ，则在上单调递增， 又， ∴由，得， ∴且， ∴. 17. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中 （1）求证：； （2）求平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，证明，，，四点共线，由线线垂直证明线面垂直，即可证明； （2）延长交的延长线于点，由余弦定理可得，过作交于，过作交于，可得平面，建立空间直角坐标系，由向量方法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，的中点，所以， 所以，，，四点共线， 因，， 所以，，又， 所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 延长交的延长线于点，由平面展开图可得， 所以， 由余弦定理可得，过作交于， 所以，又， 所以， 所以，， 故过作交于， 由（1）知，，故平面， 如图，建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得，令，则， 由得，令，则， 所以，所以， 所以平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值为. 18. 焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B （1）求双曲线E的方程； （2）若，求直线AB的斜率； （3）若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线距离为列方程，求解即可； （2）由向量共线得交点坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【小问1详解】 设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线E的方程为. 【小问2详解】 由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为， 设，由，得， 联立，整理得， 由韦达定理得：，， 联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为. 【小问3详解】 点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率， 所以. 19. 北海舰队开放日活动中，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 45 女生 35 90 合计 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有关联，并说明理由； （2）现有根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束． （i）现在有4根绳子，求恰好能围成两个圈的概率； （ii）这n根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为，求． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关联； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）补充列联表，再计算卡方值即可； （2）（i）利用组合公式和古典概型公式计算即可； （ii）利用累乘法得，再利用错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 女生打结慢有人，男生总计人， 男生打结快共， 补充列联表 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 65 45 110 女生 35 55 90 合计 100 100 200 零假设：绳子打结速度快慢与学生性別无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为绳子打结速度快慢与学生性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 小问2详解】 （i）4根绳子所有的打结方式共有种， 围成2圈的情况共有种， 恰好能围成两个圈的概率. （ii），， ， 当时，也适合上式， ， ，① ②， ①②整理得， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条码区域”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. 0.2 B. 0.375 C. 0.75 D. 0.8 8. 已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 对称中心为 D. 在区间上单调递增 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且 （1）求BO的长； （2）若，求的值． 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求取值范围. 17. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中 （1）求证：； （2）求平面ABC与平面ACFD所成二面角正弦值． 18. 焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B （1）求双曲线E的方程； （2）若，求直线AB的斜率； （3）若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 19. 北海舰队开放日活动中，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 45 女生 35 90 合计 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有关联，并说明理由； （2）现有根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束． （i）现在有4根绳子，求恰好能围成两个圈的概率； （ii）这n根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为，求． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $