精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

数学试卷 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条码区域” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，则可选出答案. 【详解】， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B 2. 已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. 两两相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件得要求推出各选项是否能保证三条直线共面. 【详解】选项A：，且，三条直线可能在不同的平面. 选项B：，且，三条直线可能分布在三个平行平面内. 选项C：，且，垂直于但可能不在与确定的平面内. 选项D：两两相交且不过同一点的三条直线必然共面. 故选：D 3. 已知全集，若，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】A 【解析】 【分析】依题意画出Venn图表示出集合间的基本关系，即可判断出元素与集合间的关系. 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积. 【详解】由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 故选：B 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 6. 已知为坐标原点，在扇形中，为劣弧的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有扇形的半径且，，再应用二倍角余弦公式求得、，即可得坐标. 【详解】由题设，易知扇形的半径且， 又为劣弧的中点，则，所以， 所以，则， 由，则. 故选：B 7. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. e 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案. 【详解】令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又当时，， 而，所以； 由，得， 所以在单调递增， 由，得， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】 【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过平面内一点作的切线最多有三条 D. 有三个不同的根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，即判断，的不同解个数是否是2；对于B，由对称中心定义可得，由题可得，结合赋值法可得对称中心；对于C，设平面内一点为，设其对应切线的切点为，说明存在使有三个解即可判断选项正误；对于D，通过比较与系数可判断选项正误. 【详解】对于A，，当时， 则的判别式，则有两个不同根或有两个相同根， 则有两个极值点或无极值点，故A错误； 对于B，设对称中心为：，则. 即， 则 ，则， 则，令，则.故B正确； 对于C，设平面内一点为，设其对应切线的切点为. 则切线方程满足：， 即 ，因在切线上， 则 ，当， 即时， ，若还有， 则方程有三个根，分别为：， 即此时对于，存在三个不同的切点， 即过平面内一点作的切线最多有三条，故C正确； 对于D，有三个不同的根， 则， 即， 与相比较，可得，故D错误. 故选：BC 11. 已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与椭圆切于点的切线方程为 D. 若直线的斜率存在，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D. 【详解】令椭圆的半焦距为，则， 对于A，在中，由正弦定理，得， 因此，A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得 ，则， ，B错误； 对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为， 由消去得：， ， 整理得，而， 则，即，解得， 因此切线方程为，整理得，C正确； 对于D，设直线的方程为，点，由 消去得，，， ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有______个． 【答案】20 【解析】 【分析】根据定义结合分类加法计数原理计算可得答案. 【详解】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解. 当百位上的数字为4，十位上的数字为5时，个位上的数字有4种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为7，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 所以比423大的三位“渐升数”共有个. 故答案为：20. 13. 已知是拋物线的焦点，是抛物线上的点，为坐标原点，当时，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的方程为，根据，不妨设直线的倾斜角为，得到直线的方程为，联立方程组，求得，结合，即可求解. 【详解】由是拋物线的焦点，可得，所以，即， 又由为坐标原点，且， 由对称性，不妨设直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立方程组，整理得，即， 解得或（舍去），可得 所以的面积为. 故答案为：. 14. 已知四面体中，，则此四面体的体积为______，若用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则此四边形的对角线的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于四面体体积，可将其补成长方体，利用长方体与四面体的关系求解；对于截面四边形对角线的最小值，先根据面面平行性质证明四边形是平行四边形，再通过相似三角形得到边的关系，最后将对角线长度表示为关于某一变量的函数，求函数的最小值. 【详解】(1)将四面体补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为，，. 根据长方体面对角线的性质可得. 三式相加得，则. 分别求解可得，，，即，，. 因为四面体的体积等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积. 长方体体积. 一个三棱锥的体积. 四个三棱锥体积. 所以四面体的体积. (2)因为平面，平面，平面平面，平面， 根据面面平行的性质可知，同理，，，所以四边形是平行四边形. 设，则. 由，可得，因为，所以. 由，可得，因为，所以. 因为，，补成的长方体上下底面为正方形，可得， 所以，则. 将，代入可得. 令，，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，，所以. 故答案为： ；. 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）520 【解析】 【分析】（1）根据题意求得等比数列的公比，结合等差数列通项公式即可得解； （2）先选择条件，然后根据所选的条件求得的值，然后求得数列的通项公式，即可得出数列的通项公式，最后利用分组求和即可得解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ， 又，， ，是等差数列，且公差为3 ，数列的通项公式为 【小问2详解】 选①：，， 选②：成等差数列，， 选③：成等比数列，， ， 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，且，，为边长为2的等边三角形． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连，取中点，连， 且， 四边形为平行四边形，. ，， 又， 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题给条件找垂直于平面内的两条相交直线即可得证;（2）找两两垂直建立空间直角坐标系，根据空间向量的线面成角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 取的中点，连， ，，. ，， 又，. 因为为的中点，所以， 又因为，则四边形为正方形. 故在正方形中，，， 又， 即两两互相垂直. 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， ∴,,. 设平面的一个法向量为 ，，得， 令. 计算得， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数 （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若，求证：． （3）若在上有唯一的零点，求实数的最小值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2） 令，则，可得， 令，则，，在上单调递减， ，在上单调递增， 所以时，即，所以； （3）1． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造，应用导数研究单调性求其最小值得到，即可证； （3）问题化为与有唯一的交点，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，， ， 由，， 令，则，所以，或， 令，则，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，即， 在上有唯一的零点，即与有唯一的交点， ，由（2）知， ， 在上单调递增，故，， ，的最小值为1． 18. 已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点． （1）当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明） （2）是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合） 【答案】（1）依题意，可得，则双曲线方程为， ，， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （2）证明：设直线， 直线，且， 由，，， 设，，，， ，，， ，同理， ， ，. 【解析】 【分析】（1）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程. （2）设出直线的方程，根据斜率之和为0求出点，的坐标，利用斜率证明垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； （2）某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； （3）若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 【答案】（1）． （2）可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． （3）证明：， 令，，在上单调递减 ，又考虑到 而 故只需判断与，即与大小关系即可 令，，在上单调递减 ，，，， 又保留小数点后一位，的最大值为0.1. 【解析】 【分析】（1）由题可得，可看作，然后由 可得答案； （2）①由题可得，由二项分布结合题意可得答案； ②由题可得，然后由可得答案； （3）由题可得，据此构造函数，可得 在上单调递减，然后由，可知只需判断与大小关系即可完成证明. 【小问1详解】 ，可以利用正态分布转换，， ， ，估计的值为． 【小问2详解】 次品率为0.002，非次品率为0.998 ①，则在1000个产品中至少有个2次品的概率 ②， 可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条码区域” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. 两两相交 3. 已知全集，若，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为坐标原点，在扇形中，为劣弧的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过平面内一点作的切线最多有三条 D. 有三个不同的根，则 11. 已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与椭圆切于点的切线方程为 D. 若直线的斜率存在，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有______个． 13. 已知是拋物线的焦点，是抛物线上的点，为坐标原点，当时，则的面积为______． 14. 已知四面体中，，则此四面体的体积为______，若用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则此四边形的对角线的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，且，，为边长为2的等边三角形． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数 （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若，求证：． （3）若在上有唯一的零点，求实数的最小值． 18. 已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点． （1）当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明） （2）是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合） 19. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； （2）某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； （3）若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $