黑龙江齐齐哈尔市甘南县第一中学2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷聚焦高考核心模块，以中国代表团金牌数据为情境设计概率统计题，通过导数与函数性质综合题考查逻辑推理，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、函数性质、向量、排列组合|多选题结合命题真假判断（推理意识）| |填空题|3题15分|三角形形状判断、概率计算、立体几何|三棱锥中动态平面交线问题（空间观念）| |解答题|5题77分|数列极限、立体几何折叠、概率统计、解析几何、导数|概率统计题用体育锻炼数据（数据意识）；导数题综合函数奇偶性与不等式证明（推理能力）|

2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{0，1，3} D．{﹣1，0，1，3} 3．设函数f（x）＝|x|+cosx，则（　　） A．f（x）是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增 B．f（x）是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增 C．f（x）是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减 D．f（x）是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减 4．若非零向量满足，则（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝x3﹣6x+7，直线l是曲线y＝f（x）的切线，如果切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，那么这样的直线l有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，A1，B1，C1上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（　　） A．3种 B．6种 C．12种 D．48种 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与圆x2+y2＝a2相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段MF1的中点，则双曲线Γ的离心率为（　　） A． B．2 C． D．5 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．下列说法正确的有（　　） A．不等式的解集是 B．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥5 C．命题p：∀x∈R，x2＞0，则¬p：∃x∈R，x2＜0 D．M＝{x|x2﹣2x+1＝0}，N＝{1}表示同一集合 （多选）10．函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B．f（x）在上单调递减 C．f（x）的表达式可以写成 D．若关于x的方程f（x）＝1在（0，m）上有且只有3个实数根，则 （多选）11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C：y2＝4x上异于原点O的两个动点，且∠AOB＝90°，作ON⊥AB交直线AB于点N，则（　　） A．直线AB恒过定点（2，0） B．|AB|≥8 C．存在一个定点Q，使得|NQ|为定值 D．|x1﹣y1+1|+|x2﹣y2+1|≥9 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在△ABC中，已知，则△ABC的形状是　 　 ． 13．已知，，，则P（B）＝　 　 ． 14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AC＝2，AB＝1，，，过点M，P的平面与AC交于点N，NP⊥BS，则MN＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知正方形ABCD的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形．设第k个正方形与第k+1个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为bk，初始正方形ABCD为第1个正方形． （1）求数列{bk}的通项公式； （2）受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图．若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值． 16．如图所示，已知等腰梯形ABCE中，AB∥EC，D是EC的中点，将△AED沿AD对折至△APD，使得与边长为2的菱形ABCD成60°的二面角，折叠后发现PB⊥AD． （1）求点P到平面ABCD的距离； （2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值． 17．中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌、40枚银牌、35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲、乙两名大学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼项目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 18．平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为x2+（y﹣1）2＝16，点B的坐标为（0，﹣1），点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线交半径AP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （1）求点Q的轨迹E的方程； （2）过点A作一条直线l与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 19．已知f（x）为定义在上的奇函数且连续可导，令g（x）＝f（x）cosx．当时，有f′（x）﹣f（x）tanx＞ex． （1）讨论g（x）在区间上的单调性，并证明：当时，g（x）＞1﹣ex； （2）当时，解不等式：； （3）我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数h（x），记h（x）＝（f（x）+1）cosx+x+e﹣x，若实数x1，x2（x1＜x2）满足h（x1）+h（x2）＝4，证明：x1+x2＜0． 参考答案 一．选择题 1．D． 2．C． 3．A． 4．B． 5．B． 6．C． 7．A． 8．C． 二．多选题 9．BD． 10．BCD． 11．BCD． 三．填空题 12．等腰三角形． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（1）正方形ABCD的边长为2，按如下规律构造正方形序列： 取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形， 设第k个正方形与第k+1个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”， 记第k个“环域”的面积为bk，初始正方形ABCD为第1个正方形， 正方形ABCD的面积为a1＝4， ∴连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的， 设ak是第k个正方形的面积，则{ak}是首项为4，公比为的等比数列， ∴， ∴， ∴{bk}的通项公式为； （2）由题意得， 故当n→∞时，， ∴M＝8． 16．解：（1）由题设，可知AD＝AB＝DC＝BC＝ED＝EA＝PD＝PA＝2， 取AD中点O，连接PO，OB，故PO⊥AD， 又PB⊥AD，PB∩PO＝P，PB，PO⊂平面POB， 因此AD⊥平面POB， 又OB⊂平面POB，故AD⊥OB． 故∠POB为平面ABCD与平面PAD所成二面角的平面角，因此∠POB＝60°． 因为AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面POB，平面ABCD∩平面POB＝OB， 过P作PF⊥OB交OB于F， 故PF⊥平面ABCD， 因为，因此， 因此点P到平面ABCD的距离为； （2）以O为坐标原点，直线OA，OB为x轴，y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因此A（1，0，0），，，， ，，， 设平面ABP的法向量为，因此，即 取x＝3，因此， 设平面BPC的法向量为，因此，即 取，因此， 因此cos，故sin． 17．解：（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x， 则，解得x＝15， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为50﹣20﹣10﹣15＝5． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 （2）由题意知，甲上午、下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为， 乙上午、下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为， 记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则X的所有可能取值为﹣1，0，1， ， ， ， 所以X的分布列为： X ﹣1 0 1 P 所以； （3）记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， ， 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 18．（1）解：如图， 由题意知|QA|+|QB|＝|QA|+|QP|＝|AP|＝4＞|AB|＝2 ∴Q点的轨迹是以A（0，1），B（0，﹣1）为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则a＝2，c＝1，， ∴椭圆方程为． （2）解：如图， 解法一：设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x3，y3），A（0，1）， 由可得（﹣x1，1﹣y1）＝μ（x2，y2﹣1）， 则1﹣y1＝μ（y2﹣1），即，① 由可得（x1﹣x3，y1﹣y3）＝μ（x2﹣x3，y2﹣y3）， 则（y1﹣y3）＝μ（y2﹣y3），即，② ∴，整理得，③ 当直线l的斜率不存在或不为0时，设直线方程为x＝m（y﹣1）， 联立，消去x得（3+4m2）y2﹣8m2y+4m2﹣12＝0， ，， 代入③得y3＝4， 当直线l的斜率为0时，，， 则μ＝1，恒成立，点H在y＝4上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为y＝4． 解法二： 设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x3，y3），A（0，1）， 由可得（﹣x1，1﹣y1）＝μ（x2，y2﹣1）， 则x1+μx2＝0，即，① 由可得（x1﹣x3，y1﹣y3）＝μ（x2﹣x3，y2﹣y3）， 则x1﹣x3＝μ（x2﹣x3），即，② ∴，整理得，③ 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y＝kx+1，联立得， 消去y得（3k2+4）x2+6kx﹣9＝0， ，， 代入③得，又∵y3＝kx3+1，∴y3＝4． 直线l的斜率不存在时，不妨取M（0，2），N（0，﹣2）， 则AM＝1，AN＝3，则，，解得y3＝4， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为y＝4． 19．解：（1）由题意，f（x）为定义在上的奇函数且连续可导， 且g（x）＝f（x）cosx，则当时， g（﹣x）＝f（﹣x）cos（﹣x）＝﹣f（x）cosx＝﹣g（x）， ∴g（x）为奇函数， 当时，g′（x）＝f′（x）cosx﹣f（x）sinx， ∴g′（x）＝cosx（f′（x）﹣f（x）tanx）＞excosx＞0， ∴g（x）在上单调递增，又g（x）为奇函数， ∴g（x）在上单调递增； 证明：令t（x）＝g（x）﹣1+ex，， ∴t′（x）＝g′（x）+ex＞0，∴t（x）在上单调递增， ∴t（x）＞t（0）＝g（0）﹣1+e0＝0， ∴g（x）＞1﹣ex； （2）由题意，， 可化为， 令t（x）＝f（x）cosx﹣1+ex， 则不等式等价于， ∵，∴，， 由（1）知t（x）在上单调递增， ∴，即， 故原不等式的解集为； （3）证明：由h（x）＝（f（x）+1）cosx+x+e﹣x，， 可得，整理得h（x）＝ex+cosx+x， ∵h′（x）＝ex﹣sinx+1＞0，∴h（x）在上单调递增， 又h（0）＝2，且h（x1）+h（x2）＝4，故x1＜0＜x2， 要证x1+x2＜0，只需证x2＜﹣x1， 只需证h（x2）＜h（﹣x1），只需证4﹣h（x1）＜h（﹣x1）， 即证h（x1）+h（﹣x1）﹣4＞0， 令， 则H′（x）＝h′（x）﹣h′（﹣x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx， 令p（x）＝H′（x），则p′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx＞2﹣2cosx＞0， 故p（x）在上单调递增，所以H′（x）＜H′（0）＝0， 故H（x）在上单调递减，H（x）＞H（0）＝2h（0）﹣4＝0， 即h（x1）+h（﹣x1）﹣4＞0成立， 故x1+x2＜0． 学科网（北京）股份有限公司 $