专题05 一元二次方程79道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

第05讲 一元二次方程79道计算题专项训练（8大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数的关系计算 题型八 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）解一元二次方程：（直接开平方法） 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用直接开平方法求解即可. 【详解】解：， 两边都除以3得：， ∴， 解得：，； 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解答：； （2）解：， ， 或， 解得：． 4．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【小题1】移项，得， 【小题2】移项，得， 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、实数的加减混合运算、解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握相关运算． （1）根据求一个数的立方根、算术平方根、有理数的加减混合运算进行计算即可； （2）根据求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、实数的加减混合运算、进行计算即可； （3）由直接开平方法解 一元二次方程即可得解； （4）先开立方，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、公式法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法计算即可得解； （2）利用配方法法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴或 解得，； （4）解：∵， ∴， ∵ ∴ 解得，． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】本题主要考查了灵活运用适当的方法解一元二次方程， （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得； （3）利用配方法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得； （5）利用配方法求解可得； （6）利用配方法求解可得； 熟练掌握解一元二次方程各种方法是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，； （3）解：， ， ， 或， ，； （4）解：， ， ， 或， ，； （5）解：， ， ， ， ， 或， ，； （6）解：， ， ， ， ， 或， ，． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是关键. （1）把方程化为，再化为两个一次方程解题即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程解题即可； （3）把方程化为，再利用直接开平方法解题即可； （4）移项，把方程化为，再化为两个一次方程解题即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 用配方法求解即可． 【详解】解： ， ∴． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． （2）解： 移项，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 13．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)， ； (2)， ． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可； （2）先将常数项移至等号右边，然后等号两边同时加上一次项系数一半的平方，配方成完全平方式，再直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ∴， ； （2）解： ， ∴， ． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 由此可得 解得：，； （2）解： 因式分解，得 于是得或， 解得：，． 15．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解下列方程： (1) (2)用配方法解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】​本题考查了因式分解法​、配方法​解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过移项使右侧为0，提取公因式，将方程转化为，再求解两个一元一次方程。 （2）先将二次项系数化为1（除以3），移常数项后配方（加一次项系数一半的平方），构造完全平方公式，最后开平方求解 【详解】（1）解：移项： 因式分解：解： 或， 当时， 解得， 当时，​， 解得， ， （2）二次项系数化1，得，， 移常数项，得， 配方，得：， ， 开平方解： ， ， ​ 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）计算或解方程 (1) (2) (3)（配方法） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次根式的混合运算，配方法解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （3）根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ，． 17．（24-25九年级上·湖南永州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1),； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程， 利用配方法解方程； 利用因式分解法把方程化为或,然后解两个一次方程即可； 熟练掌握这两种解一元二次方程的方法是解决此题的关键． 【详解】（1）解：, , , , , ,； （2）解：， , 或, ． 18．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）按要求解方程 (1)．（配方法） (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）先移项，再利用配方法求解方程的解即可； （2）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可； （3）利用十字相乘的方法求解方程的解即可； （4）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）， ， ， 即， ，， 解得：，； （3）， ， ， ，， 解得：，； （4）， ， ， ，， 解得：，． 19．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题关键是掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有配方法和公式法等． （1）先将方程变形为左边含二次项与一次项，右边是常数项的形式，再配方，利用直接开平方即可求解； （2）先将方程整理成的形式，再利用公式法，先求“”，再代入求根公式即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）， ， ， ， ， ，． 20．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解方程 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)任务一： ①上述解方程的方法是_______； A．直接开平方    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是________________； (2)任务二：请用不同于（1）中的方法解下列方程： ① ② 【答案】(1)①B；②等式的基本性质； (2)①，；②， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）根据解题过程即可得出答案； （2）①用公式法，先计算，再代入求根公式即可求解；②用因式分解法，先把方程变形为，再得两个一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：①由解题过程可知，解方程的方法是配方法， 故答案为：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）①解： ， ， ， ； ②解：原式可变为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程：（用公式法）. 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 整理，得：， ， ， ，． 22．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ，． （2）解：∵， ∴， ∴， 或， ，． 23．（24-25九年级上·湖南常德·期末）计算题 (1)； (2)． (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 ∴，． 24．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 25．（24-25九年级上·湖南常德·期末）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查整式的混合运算，解一元二次方程： （1）先计算完全平方式，多项式乘多项式，再合并同类项； （2）利用公式法解方程． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， ，． 26．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）先通过移项，化简，再利用直接开平方法求解． （2）使用因式分解法将方程化为两个一次因式乘积等于零的形式求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 可得或， 当时，解得；当时，解得， ． 27．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）选择合适的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程没有实数解 (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用十字相乘法分解因式后，得到两个一元一次方程相乘等于0求解即可； （2）直接运用判别式判断得知方程没有实数解； （3）直接运用公式法求解即可； （4）把方程移项，利用提公因式法分解因式后，得到两个一元一次方程相乘等于0求解即可． 【详解】（1） 解： 或 ，． （2） 解：， 故方程没有实数解． （3） 解： ，． （4） 解： 或 ，． 28．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）计算：（1）2﹣6+3； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2； 用指定方法解下列一元二次方程： （3）x2﹣36=0（直接开平方法）； （4）x2﹣4x=2（配方法）； （5）2x2﹣5x+1=0（公式法）； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0（因式分解法） 【答案】（1）14；（2）31﹣12；（3）x1=﹣6，x2=6；（4）x1=2﹣，x2=2+；（5）x1=，x2=；（6）x1=x2=﹣5． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算； （3）直接开平方法求解； （4）配方法求解可得； （5）公式法求解即可； （6）因式分解法解之可得． 【详解】解：（1）2﹣6+3 =4﹣6×+3×4 =2+12 =14； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2 =6﹣5+12+18﹣12 =31﹣12．   （3）x2=36， ∴x=±6， 即x1=﹣6，x2=6； （4）x2﹣4x+4=2+4， 即（x﹣2）2=6，   ∴x﹣2= ， ∴x1=2﹣ ，x2=2+ ； （5）∵a=2，b=﹣5，c=1， ∴b2﹣4ac=25﹣8=17＞0，          ∴x=  ， 即x1= ，x2= ； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0 （x+1+4）2=0， 即（x+5）2=0， ∴x+5=0， 即x1=x2=﹣5． 故答案为（1）14；（2）31﹣12；（3）x1=﹣6，x2=6；（4）x1=2﹣，x2=2+；（5）x1=，x2=；（6）x1=x2=﹣5． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 29．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算： （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程的根，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，公式法、因式分解法求一元二次方程的根的方法是关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （3）先判定，再运用求根公式，代入计算即可； （4）运用因式分解法求一元二次方程的根即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， ， ， 该方程的解为：； （4）， ， ， ， ， 或， 解得． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 30．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活选用因式分解法、公式法、配方法解方程是解题关键，本题用因式分解法解时，先整理得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 或解：，，， ，． 31．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）解方程和不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可． 【详解】（1）解：， ，； （2）解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：． 32．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各中方法：直接开平方法、配方法，公式法，因式分解法． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）移项后，用公式法求解即可； （3）利用直接开平方法求解. 【详解】（1）解： ， ， 或， ∴，． （2）解： ， ， ∴， ∴，． （3） ∴，． 33．（24-25九年级上·湖南常德·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解： ∴ 34．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）计算: (1) (2) 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解: . 或 解之: （2）解:将原方程整理为: 或， 解之: 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 35．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）解下列方程： (1)． (2)． (3) （一题多解法） ． 【答案】(1) (2) ， (3) ， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程特点选取恰当的方法是解题的关键． （1）移项后利用完全平方式可得，再直接开平方即可求解； （2）移项后得，再利用公式法求解即可； （3）方法：原方程可变形为，再利用公式法求解即可； 方法：移项后得，再提取公因式得，分别令或求解即可． 【详解】（1）解：移项，得，即， 解得． （2）解：移项，得． ， ， ，． （3）解：方法：原方程可变形为． ， ， ，． 方法：移项，得， 提取公因式得， 即或 解得，． 36．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程：公式法和因式分解法： （1）利用公式法求解即可； （2）整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：原方程化为， ， 或， 解得：，． 37．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）关于x的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及m值． 【答案】方程的另一个根是4，m的值是 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入方程，求得．再用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得， 把代入方程，得：． 解方程得：，． ∴方程的另一个根是4，m的值是． 38．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：． 39．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）在下列三个一元二次方程中，请你自行选择两个方程并分别采用不同的方法求出两个方程的解． 可供选择的方程：①    ②        ③． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，选取①采用直接开平方法，②采用配方法，③采用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：可供选择的方程：①    ②      ③ 解方程①：， ， ， ； 解方程②：， ， ， ，； 解方程③：， ， ，． 40．（24-25九年级上·湖南永州·期末）计算： （1） （2）（3+）（3﹣）﹣（1﹣）2 （3）我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2﹣4x﹣1=0       ②x（2x+1）=8x﹣3       ③x2+3x+1=0         ④x2﹣9=4（x﹣3） 我选择第几个方程． 【答案】（1）5；（2）4+2；（3）选④：x1=3，x2=1． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算； （3）选方程④，利用因式分解法解方程． 【详解】（1）原式=2+4﹣ =5； （2）原式=9﹣2﹣（1﹣2+2） =7﹣3+2 =4+2； （3）选④：x2﹣9=4（x﹣3） （x+3）（x﹣3）﹣4（x﹣3）=0， （x﹣3）（x+3﹣4）=0， 所以x1=3，x2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）用适当的方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，进而可得，，再解即可； （2）依据题意，运用因式分解法计算可以得解． 【详解】（1）解：， ， ， 则，， 解得：，； （2）解： ， 或 ，． 42．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1），先移项，再根据因式分解法求出解即可； （2），根据直接开方法求解； （3），先求出，再用求根公式求解； （4），根据因式分解法求出解． 【详解】（1）解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 即或， 解得； （2）解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴； （3）解：， 由题意知， 则 根据求根公式，得， ∴； （4）解：， 因式分解，得， 即或， ∴． 43．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ，， 解得，； （2） 或 解得，． 44．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键； （1）方程左边是完全平方式，因此用因式分解求解即可； （2）先求出根的判别式，再利用求根公式求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题的关键： （1）采用因式分解法进行求解； （2）采用配方法进行求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，． 46．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后根据直接开平方解方程，即可求解； （2）根据配方法将方程化为，即可求解； （3）先移项，然后因式分解解一元二次方程； （4）化为，直接开平方法解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∴， 即， ∴或， 解得：； （4）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 47．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)（配方法）； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3)无实数根 (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法。 （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元一次方程即可． （3）利用公式法解一元二次方程即可． （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴此方程无实数根 （4）解： 48．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 49．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 50．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设解关于的方程，进而即可求解． 【详解】解： 设，则原方程为 ∵, ，． ∴ 51．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用换元法和因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：方程化为， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， 即， ∴或， ∴，； （4）解：， 令， 则有， 因式分解得， ∴或， ∴或6， 即或6， ∴， 52．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）解方程： (1)；（公式法） (2)；（因式分解法） (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法，求出，即可解方程； （2）先移项，再提公因式，即可解方程； （3）利用换元法设，将原方程化为，再利用因式分解法求出的值，进而求出的值，即可解方程． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，； （3）解：， 设，那么原方程可化为， ， 或， 解得：， 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：； 故原方程的解为． 53．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法求解一元二次方程的方法，换元法就是把多项式看作一个整体把原式化简成一个一元二次方程，然后再求解看作整体的多项式即可解题． （1）阅读题干中给出方程的求解方法，我们可以把当作一个整体，设，则原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题； （2）可以把当作一个整体，设，则，原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题． 【详解】（1）解：设，则原方程变形为： 所以 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以，． （2）解：设，则原方程变形为： 所以，解得，， 当时，即，不合题意，舍去， 当时，即，解得， 所以， 54．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，．当时，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出y值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解此方程得，， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为，． （2）解：设，则原方程化为， 解此方程得，， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为，，，． 55．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，完全平方公式的变形求值； （1）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据，即可求解； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 整理得：整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴． 56．（2025·湖南湘潭·模拟预测）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得： 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数． 【答案】（1）y2－y－2=0（2）cy2+by+a=0（c≠0） 【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y．把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0． （2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程． 【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y． 把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0． （2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）． 把代入方程，得， 去分母，得a+by+cy2=0． 若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意． ∴c≠0． ∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）． 57．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 用换元法解高次方程 为解方程，可先将方程变形为，然后设，则，原方程化为，解得，．当时，即无意义，舍去；当时，即，解得，原方程的解为，．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作： 第一步：解方程时，根据题意，可设，于是原方程变形为； 解得，． 第二步：根据题意，得，，即，，…… 任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：材料中的_____________． 任务三：请完整写出第二步的解答过程． 【答案】任务一：换元；任务二：，任务三：见解析 【分析】本题考查了换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，根据题意，可设，于是原方程变形为，再利用因式分解法求解即可．得出，转化为方程，，解方程即可． 【详解】任务一：原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：原方程变形为， ∴ 解得： ∴材料中的． 任务三：根据题意，得，，即， 解方程，即 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 58．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 【答案】(1)转化 (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解方程，解题关键是理解并掌握整体换元法解方程，即把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题，即可获得答案； （2）设，将原方程可化为，解之可得的值，再进一步解关于的方程可得答案． 【详解】（1）解：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化； （2）设，则原方程可化为， 解得，（不合题意，舍去）， 由可得，， 故方程的解是，． 59．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）【阅读材料1】 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，． 我们将上述解题的方法叫换元法． 【阅读材料2】 已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 解方程，可设__________，原方程可化为__________． 经过运算，原方程的解是__________． (2)间接应用： 已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）设，原方程可化为，再解方程求解y，再分类求解x的值即可； （2）先判断，可得，是方程的两个根，可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，可设，原方程可化为， ∴， 解得：，， 当，则， 解得：， 当时，则，方程无解， ∴原方程的解为：，； （2）∵的两个根为，，则， ∴，不互为相反数， ∴， ∵实数，满足，，且， ∴， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 【经典计算题七 一元二次方程根与系数的关系计算】 60．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 【答案】的值是，另一个根是 【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是． 61．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，，整体代入代数式求值即可．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ． 62．（24-25九年级上·湖南常德·期中）若、是一元二次方程的两个根，求和的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟记根与系数关系的公式是解答本题的关键． 根据题意，得到，，再将整理，得到，利用完全平方公式，将整理，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 、是一元二次方程的两个根， ，， ， ． 63．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，． （1）由此方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，即可求得答案； （2）由此方程的两根互为倒数，可得，继而求得答案． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 的取值范围为：； （2）解：方程的两个实数根互为倒数， 又， ， ． 64．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）（1）解方程： （2）已知关于x的一元二次方程的一个根为3，求实数m的值及另一个根． 【答案】（1）；（2），另一个根为1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）设方程的另一个根为t， ∵关于x的一元二次方程的一个根为3，另一个根为t， ∴， ∴， ∴． 65．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可； （2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． （2）解：由根与系数的关系：，， ∴， ∴． 66．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合方程的系数即可得出结论； （2）根据根与系数的关系，结合方程的系数即可得出结论； 此题考查了一元二次方程的根与系数关系，当一元二次方程有两个实数根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴； （2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴ 67．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：； （2）解：当时，一元二次方程为， ， ． 68．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2)此时m的值为0 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义写出衍生点M的坐标； （2）先利用根与系数的关系得到，，再利用勾股定理得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：，，， 或， 解得，， ∴该一元二次方程的衍生点M的坐标为； （2）解：设的两个实数根为， ，， ∴， 当时，有最小值，最小值为1， 即当它的衍生点M距原点最近时，此时m的值为0． 69．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则，，阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为、，求的值． 解：该一元二次方程的 由韦达定理可得，， 然后解答下列问题： (1)设一元二次方程的两根分别为、，不解方程，求的值； (2)若关于的一元二次方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据韦达定理即可求解； （）根据韦达定理即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴由韦达定理可得，，， ∴； （2）解：∵， ∴由韦达定理可得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴， ∴． 【经典计算题八 一元二次方程的新定义运算】 70．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键． 由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 71．（24-25八年级·湖南湘潭·课后作业）定义新运算“”，规则是. （1）计算的值； （2）求方程的解. 【答案】（1）24（2）， 【分析】（1）按照定义直接代数数据计算即可；（2）按照定义列出关于x的方程，解出即可． 【详解】（1） （2）     解得， 【点睛】本题为新型定义题，按照定义代入数据或代数式即可． 72．（24-25八年级·湖南湘潭·课后作业）定义新运算“”如下：当时，；当时，. （1）计算：； （2）若，求的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）根据新定义的运算规则，即可得到答案； （2）根据新定义，可分为两类进行讨论：当时，当，分别计算即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）当时，即时， ∴， 解得：， ∵， ∴； 当时，即时， ，即， 解得，， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及新定义下的运算法则，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法. 73．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 【答案】是，见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键．先根据直接开平方法和因式分解法分别解两个方程，再根据定义比较即可得出答案． 【详解】解：① 或 ， ② 或 ， 两个方程有且只有一个相同的实数根 这两个方程是“同伴方程”． 74．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． （1）计算： （2）若，求的值； （3）若的最小值为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为． 【分析】（1）根据新运算的定义代入计算即可求解； （2）根据新运算的定义,列出关于的关系式，即可求得的值， （3）运算得到关于y的二次函数，通过配方，即可求得最小值． 【详解】（1）； （2）由题意得：， 解得： ， （3）， ∵的最小值为， ∴的值为． 【点睛】本题考查的是新运算，属于常考题型，只要同学们按照新运算的规则进行计算即可顺利解题． 75．（24-25九年级上·湖南常德·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m※n＝m2n+2m﹣n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如﹣3※2＝（﹣3）2×2+2×（﹣3）﹣2＝10，根据以上知识解决问题： （1）计算2※（﹣3）的值； （2）若x※1的值等于2，求x的值． 【答案】（1）﹣5；（2）x1＝1，x2=-3 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）根据题中的新定义得： 2※（﹣3）=22×（﹣3）+2×2-（-3） ＝﹣12+4+3 ＝﹣5； （2）已知等式利用题中的新定义化简得：x2+2x﹣1＝2， 因式分解得：（x-1）（x+3）=0， 即x1＝1，x2=-3． 【点睛】此题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 76．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）（1）计算：； （2）用公式法解方程：． （3）对于实数，，定义运算“”如下：．若，求m的值． 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊的三角函数值进行计算即可求解； （2）用公式法解一元二次方程，即可求解； （3）根据新定义列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）原式 ；             （2）用公式法解方程： 解：，，， ， 所以，． （3）解：根据题意得：， ， ， 或， 所以，． m的值为或． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊的三角函数值以及解一元二次方程的步骤是解题的关键． 77．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）我们定义一种关于“★”的新运算：★，试根据条件回答问题． （1）计算：2★ ； （2）若★，求的值． 【答案】（1）；（2）-2或1． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义得到方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：★； 故答案为:； （2）根据题中的新定义得：★= ∴=1 ∴ ∴ ∴ 故答案是:-2或1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，根据新定义列出方程是关键． 78．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程是不是“倍根方程”； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系， （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：，即， 解得和， 故一元二次方程是“倍根方程”． （2）由题意可设：与且是方程的两个根， ∴， 解得：，； （3）设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 79．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，据此可得答案； （3）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案； 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值， ∴关于的多项式关于对称， 又∵关于的多项式关于对称， ∴， 故答案为：4； （3）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程79道计算题专项训练（8大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数的关系计算 题型八 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）解方程：． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）解一元二次方程：（直接开平方法） 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程： (1) (2) 4．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 9．（24-25九年级上·湖南常德·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）解方程：． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解下列方程： (1) (2)用配方法解方程： 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）计算或解方程 (1) (2) (3)（配方法） 17．（24-25九年级上·湖南永州·期中）解方程： (1) (2) 18．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）按要求解方程 (1)．（配方法） (2) (3) (4) 19．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 20．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解方程 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)任务一： ①上述解方程的方法是_______； A．直接开平方    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是________________； (2)任务二：请用不同于（1）中的方法解下列方程： ① ② 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程：（用公式法）. 22．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 23．（24-25九年级上·湖南常德·期末）计算题 (1)； (2)． (3) 24．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 25．（24-25九年级上·湖南常德·期末）（1）计算：     （2）解方程： 26．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 27．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）选择合适的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 28．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）计算：（1）2﹣6+3； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2； 用指定方法解下列一元二次方程： （3）x2﹣36=0（直接开平方法）； （4）x2﹣4x=2（配方法）； （5）2x2﹣5x+1=0（公式法）； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0（因式分解法） 29．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算： （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 30．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）解方程：． 31．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）解方程和不等式组． (1)； (2)． 32．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 33．（24-25九年级上·湖南常德·期中）解方程： (1) (2) 34．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）计算: (1) (2) 35．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）解下列方程： (1)． (2)． (3) （一题多解法） ． 36．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 37．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）关于x的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及m值． 38．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 39．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）在下列三个一元二次方程中，请你自行选择两个方程并分别采用不同的方法求出两个方程的解． 可供选择的方程：①    ②        ③． 40．（24-25九年级上·湖南永州·期末）计算： （1） （2）（3+）（3﹣）﹣（1﹣）2 （3）我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2﹣4x﹣1=0       ②x（2x+1）=8x﹣3       ③x2+3x+1=0         ④x2﹣9=4（x﹣3） 我选择第几个方程． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）用适当的方法解方程： (1)； (2) 42．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 43．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 44．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 45．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 46．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 47．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)（配方法）； (3)； (4) 48．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 49．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）解方程 50．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）解方程：． 51．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 52．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）解方程： (1)；（公式法） (2)；（因式分解法） (3)． 53．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 54．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，．当时，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 55．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 56．（2025·湖南湘潭·模拟预测）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得： 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数． 57．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 用换元法解高次方程 为解方程，可先将方程变形为，然后设，则，原方程化为，解得，．当时，即无意义，舍去；当时，即，解得，原方程的解为，．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作： 第一步：解方程时，根据题意，可设，于是原方程变形为； 解得，． 第二步：根据题意，得，，即，，…… 任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：材料中的_____________． 任务三：请完整写出第二步的解答过程． 58．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 59．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）【阅读材料1】 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，． 我们将上述解题的方法叫换元法． 【阅读材料2】 已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 解方程，可设__________，原方程可化为__________． 经过运算，原方程的解是__________． (2)间接应用： 已知实数，满足，，且，求的值． 【经典计算题七 一元二次方程根与系数的关系计算】 60．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 61．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 62．（24-25九年级上·湖南常德·期中）若、是一元二次方程的两个根，求和的值． 63．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值． 64．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）（1）解方程： （2）已知关于x的一元二次方程的一个根为3，求实数m的值及另一个根． 65．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 66．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值： (1) (2)． 67．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 68．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 69．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则，，阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为、，求的值． 解：该一元二次方程的 由韦达定理可得，， 然后解答下列问题： (1)设一元二次方程的两根分别为、，不解方程，求的值； (2)若关于的一元二次方程的两根分别为，，且，求的值． 【经典计算题八 一元二次方程的新定义运算】 70．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 71．（24-25八年级·湖南湘潭·课后作业）定义新运算“”，规则是. （1）计算的值； （2）求方程的解. 72．（24-25八年级·湖南湘潭·课后作业）定义新运算“”如下：当时，；当时，. （1）计算：； （2）若，求的值. 73．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 74．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． （1）计算： （2）若，求的值； （3）若的最小值为，求的值． 75．（24-25九年级上·湖南常德·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m※n＝m2n+2m﹣n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如﹣3※2＝（﹣3）2×2+2×（﹣3）﹣2＝10，根据以上知识解决问题： （1）计算2※（﹣3）的值； （2）若x※1的值等于2，求x的值． 76．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）（1）计算：； （2）用公式法解方程：． （3）对于实数，，定义运算“”如下：．若，求m的值． 77．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）我们定义一种关于“★”的新运算：★，试根据条件回答问题． （1）计算：2★ ； （2）若★，求的值． 78．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程是不是“倍根方程”； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系． 79．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$