专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知二元一次方程的两根之积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则．据此求解，即可解题． 【详解】解：设，为方程的两个根， ，即 ∴ 故答案为：． 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再得出，代入即可得出答案． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两实数根，且x12+x22＝5，求m的值是多少？ 【答案】m＝﹣4． 【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两个实数根， ∴＝﹣（m+1），＝m+6， ∵＝＝5， ∴（m+1）2﹣2（m+6）＝5， 解得：， 又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴△＝（m+1）2﹣4（m+6）≥0， ∴当m＝4时， △＝25﹣40＝﹣15＜0，舍去； 故符合条件的m的值为m＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中），是方程的两实数根，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，将代数式化简，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·单元测试）方程的两个实根是、，则代数式的值为（ ） A．2014 B．0 C．2015 D．-1 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2-m-1=0，即m2-m=1，则（m2-m+2014）（m+n）可化简为2015（m+n），再根据根与系数的关系得到m+n=1，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】∵m是方程x2-x-1=0的根， ∴m2-m-1=0，即m2-m=1， ∴（m2-m+2014）（m+n）=（1+2014）•（m+n）=2015（m+n）， ∵方程x2-x-1=0的两个实根是m、n， ∴m+n=1， ∴（m2-m+2014）（m+n）=2015×1=2015， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，那么x1+x2=-，x1x2=. 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）一元二次方程的两个根分别为，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系可得：再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴ ∴ ， 故答案为：2 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为 (用含m的代数式表示). 【答案】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则． 【详解】∵a、b是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，进而可得是方程的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解． 【详解】解：由可得， ∴是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知为方程的两个根，则代数式的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系等知识，先由一元二次方程根的定义“使方程成立的未知数的值叫方程的根”，将代入得到，进而将代数式化为，再由一元二次方程根与系数的关系确定即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：为方程的两个根， ，即， ， 为方程的两个根， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】根据、是方程的两个实数根，可得，从而代入，进行计算，即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据根于系数的关系以及根的意义可得：，，，再将代数式进行拆分变型计算即可作答． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， 即 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【答案】(1)①是；②12 (2)或 (3)关于x的方程是“3倍根方程”，理由见解析 【分析】本题考查了新定义题目，解题关键是要读懂题目中的新定义，根据新定义即可解题． （1）根据“3倍根方程”定义进行判断即可； （2）先解出方程的两个根，再根据“3倍根方程”定义，得出或，分类讨论得出与的关系，代入式子进而得出答案； （3）根据点在反比例函数图象上，求出，再解一元二次方程，得出两个根满足“3倍根方程”定义． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：， ∴， ∴方程是“3倍根方程”， 故答案为：是； ②∵一元二次方程是“3倍根方程”， ∴设方程的两个根分别为，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：12； （2）解：∵ ∴， ∵方程是3倍根方程 ∴或 当时，即 ∴ 当时，即 ∴ 综上，的值为或. （3）解：∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴此方程是3倍根方程． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）m，n是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先根据一元二次方程解的定义得到，，再由根与系数的关系得到，进而得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故选；C． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·单元测试）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（      ） A．1 B．-3 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由、是方程的两个实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得，a+b=1，即，再把化为，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，a+b=1， 即，a+b=1， ∴==3-1=2． 故选D． 【点睛】本题考查了方程解的定义及根与系数的关系，利用整体思想解决问题较为简单． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知方程的两根是、，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，计算多项式乘多项式，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将变形为，再将与的值代入求值即可． 【详解】解：方程的两根是、， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：13 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系；熟记一元二次方程的两个根分别为，，则，是解本题的关键； （1）由根与系数的关系：，可得答案； （2）由根与系数的关系：，，再建立方程即可得答案； （3）由根与系数的关系：，，结合：可得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，， 则，； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为，，若，， ∴，， ∴，； （3）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴ ； 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（2025·湖南株洲·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知关于x的一元二次方程．如果方程的两个实数根与满足，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再转换，代入两根之和和两根之积，然后利用等式得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴． ∴符合条件的m的值为任意实数． ∵与是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴． ∵， ∴． 解得． 经检验，是分式方程的解． ∴m的值为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）已知：代数式． (1)当时，则代数式的值为______； (2)当代数式的值为4时，x的值分别为，，求的值； (3)已知，当，代数式的值为；当，代数式的值为．若的值为整数，求正整数m的值． 【答案】(1) (2)18 (3)3 【分析】（1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再利用完全平方公式求解； （3）先用含m的代数式表示出和，进而可得，再根据的值为整数，即可求出正整数m的值． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当代数式的值为4时，， ， ，， ； （3）解：由题意知，， ， ， 的值为整数， ，0，，1，，3，其中1和3是正整数， 又， ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，一元二次方程根与系数的关系，分式的值等，解题的关键是综合运用上述知识点，第二问注意先将一元二次方程转化一般式，第三问注意分式的分母不能为0． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（2025·湖南娄底·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意可得，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积为，两根之和为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为，两根之和为， ∴方程的两个实数根为一正一负， ∵， ∴， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知是关于x的方程（a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的两一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 3．（2025·湖南株洲 ·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的最大值为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根则；当方程有两个相等的实数根则；当方程没有实数根则，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）根据根与系数的关系进行求解即可； （）根据根与系数的关系可得，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （）由 ，，将看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ，， ∵， ∴原式； （3）解：∵ ，， ∴将看作是方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（2025·湖南永州·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，先解方程，然后代入化简后的代数式即可判断嘉嘉做法；利用根与系数的关系即可判断淇淇做法，解题的关键是主要是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意分别将，，代入原方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个正实数根 ∴ ∴或 当时，原方程无实数根，不合题意， 当时，原方程为 解得都小于，不合题意， 当时，原方程为 解得：都大于，符合题意， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭州·阶段练习）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）问题： 已知实数a、b、c满足，且，求的值． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚，小刚审题后思考了片刻，对小明说∶我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和，利用根与系数的关系得： _____________________；_____________________， …请你根据小刚的思路完整地解答本题． 【答案】，， 【分析】根据题意构造方程，从而得到方程的两个根分别是1和，利用根与系数的关系得到，由此得到，据此可得答案． 【详解】解：令，则， ∴原等式可变形为关于x的一元二次方程：． 当时，方程左边方程右边， ∴是方程的一个解， ∴方程两个根分别是1和， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数、，定义，则结论正确的有（　　） ； ； 若，是方程的两个根，则或； 若，是方程的两个根，，则的值为或． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据新定义的计算公式分别计算判断． 【详解】解：，故正确； 当时，即时， ， 当时，即时， ， ∴，故错误； ∵，是方程的两个根， ∴，， 当时，， 当时，，故正确； ∵，是方程的两个根， ∴，， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了新定义运算，正确理解计算公式，掌握有理数混合运算法则，整式混合运算法则，一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义运算：，若a、b是方程的两根，则的值为（　　） A．—1 B．0 C．1 D．与m有关 【答案】B 【分析】根据公式得到， 结合a、b是方程的两根，得到，化简等于，代入计算即可． 【详解】因为， 所以， 因为a、b是方程的两根， 所以， 所以 = = = =0． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数关系，平方差公式，熟练掌握根与系数关系，正确理解新定义是解题的关键． 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论． 【详解】由题意：@@ ，是方程的两根， ， 原式 故答案为： 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）对于实数a,b,定义运算“*”：a*b=例如：４*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8，若是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则 = ． 【答案】±3 【详解】试题分析：解方程x2-5x+6=0得x=2，x=3，当时，，当时，，所以 =±3． 考点：一元二次方程的根． 4．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8． （1）求（﹣7）*（﹣2）的值； （2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值． 【答案】（1）10；（2）42． 【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵﹣7＜﹣2， ∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10； （2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0， 解得：x＝﹣1或x＝6， 当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42； 当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 解得，； 故选项①正确； ②∵ ∴ ∴ 当时，， ∴关于的方程有实数根， 当时，是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴ 解得且； 综上可知，若关于的方程有实数根，则； 故选项②错误； ③∵，， ∴， ∴， 解得或，或， ∵， ∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ∴当时，则， 此时， ∴当时，则， 此时， ∴． 故选项③错误， ∴正确的是①， 故选：B 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有两个实根，则下列结论：①或；②；③；④为定值．正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】①中使，计算求解即可；②中先通分，然后将方程的两根之和与两根之积代入求解即可；③中，然后将方程的两根之和与两根之积代入求解即可；④中将a用表示，然后化简求解即可； 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴ 解得或 故①正确； ∵ ∴ 故②正确； ∵ 故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴是定值 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数，根与系数的关系．解题的关键在于对方程两根之和与两根之积的灵活运用． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【详解】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（   ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】A 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况和根与系数关系，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断方程有两个不相等的实数根，再由两根之积为负数得出两根异号即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， ∴不管为何值时，方程均有两个不相等的实数根， 方程的两根之积为，故方程的两个实数根，而且方程的两个实数根一定异号， 综上所述：嘉嘉说法正确，琪琪、珍珍说法错误． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）都不正确，过程见解析；（2）2 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意知，，，，则，由，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：都不正确， ， ， ∴，， 解得，，； （2）解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求m的取值范围； (2)当时，求另一个根的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ， ∴， 另一个根的值是3． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】材料理解：，；类比运用：①见解析；② 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）①设是方程的两个根，则 ． ②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是 ． 【答案】 177 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法是解题的关键． ①根据根与系数关系得到，再整体代入即可求得答案； ②由新定义得到，再代入得分式方程，解分式方程并检验后即可得到答案． 【详解】解：①是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵ ∴， ∴ 去分母得，， 解得 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 3．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，， 即的两个根分别是，， 则，， 解得， 故，， 故， 解得 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），以及如何利用这些关系来解决具体问题．解题的关键在于正确应用韦达定理，通过给定的一元二次方程的系数，计算出根的和与积，并据此验证各个选项的正确性．此外，对于涉及根的差的问题，需要通过求解具体的根来进一步验证．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，并结合因式分解法求解方程验证选项． 【详解】解：∵方程 两根为 和 ， ，故选项A正确． ，选项B错误． 将方程因式分解为 ，得根为 和 （或顺序相反）． 若 ，，则 ； 若 ，，则 ． 无论哪种情况，差值均不为 ，故选项C错误． 因根不相等且积为负，比值不可能为1，选项D错误． 故选：A． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，最小值的确定方法，解题时注意配方法的应用． 先根据对称轴求得抛物线解析式，然后联立抛物线和直线，建立方程组，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出，，，再求的最小值即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为， ∴1． ∴． ∴点和， ∴抛物线的解析式为． 联立， ∴①， ∴，， ∴， 要使最小，则最小， ∴最小， 即时，最小值为2． 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为． 本题考查了根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为． 【详解】解：由题意可知，， ， 以、为宽和长的矩形的面积等于， ， ， 以、的长度为根的一元二次方程为， 故选：． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于的方程的一个根是， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若，是一元二次方程的两根，则 ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． 故答案为：； 8．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）若方程的两实数根为a，b．求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系； （1）由根与系数的关系可得：，，再进一步求解即可； （2）先通分，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两实数根为a，b， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 12．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， （1）先利用根与系数的关系得到，，则，，从而可判断与相等； （2）先把代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可． 【详解】（1）根据根与系数的关系得，， ，， ； （2）， 13．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； (3)若方程有两个相等实根，求实数的值及此时方程的根． 【答案】(1)；方程另一个根为； (2)； (3)， 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围； （3）根据根的判别式等于0，可求实数的值，把的值代入可求方程的根． 【详解】（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2） 解：因为方程有两个不等的实数根， 所以， 即， 解得； （3）解：因为方程有两个相等的实数根， 所以， 即， 解得， 故方程为， 解得． 14．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可； （3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：实数，满足：，， ，是方程的根， ，， ； （2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数， 解方程， ， ∴黄金分割数为； （3）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 【答案】(1)2 (2)的值为 (3)3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系成为解题的关键． （1）先根据根与系数的关系求得m、n的值，然后代入计算即可； （2）设关于的方程的两个实数根分别为，根据根与系数的关系可得，根据题意可得，即，则，解得：；然后再分两种情况运用根的判别式检验即可． （3）先变形得到，结合，则是方程的两个的实数根，，利用根与系数的关系得到，由于，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1， ∴，即：， ∴． 故答案为2． （2）解：设关于的方程的两个实数根分别为， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程化为， 则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为， 则，此方程有两个不相等的实数解． 综上所述，的值为． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴是方程的两个的实数根，且． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知二元一次方程的两根之积为，则 ． 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两实数根，且x12+x22＝5，求m的值是多少？ 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中），是方程的两实数根，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 1．（24-25九年级上·湖南娄底·单元测试）方程的两个实根是、，则代数式的值为（ ） A．2014 B．0 C．2015 D．-1 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）一元二次方程的两个根分别为，则代数式的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为 (用含m的代数式表示). 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知为方程的两个根，则代数式的值为（   ） A．2 B．5 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）m，n是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 1．（24-25九年级上·湖南株洲·单元测试）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（      ） A．1 B．-3 C．3 D．2 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知方程的两根是、，则代数式的值为 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（2025·湖南株洲·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知关于x的一元二次方程．如果方程的两个实数根与满足，则m的值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）已知：代数式． (1)当时，则代数式的值为______； (2)当代数式的值为4时，x的值分别为，，求的值； (3)已知，当，代数式的值为；当，代数式的值为．若的值为整数，求正整数m的值． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（2025·湖南娄底·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知是关于x的方程（a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是 ． 3．（2025·湖南株洲 ·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 4．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（2025·湖南永州·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭州·阶段练习）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）问题： 已知实数a、b、c满足，且，求的值． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚，小刚审题后思考了片刻，对小明说∶我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和，利用根与系数的关系得： _____________________；_____________________， …请你根据小刚的思路完整地解答本题． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数、，定义，则结论正确的有（　　） ； ； 若，是方程的两个根，则或； 若，是方程的两个根，，则的值为或． A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）定义运算：，若a、b是方程的两根，则的值为（　　） A．—1 B．0 C．1 D．与m有关 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）对于实数a,b,定义运算“*”：a*b=例如：４*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8，若是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则 = ． 4．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8． （1）求（﹣7）*（﹣2）的值； （2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有两个实根，则下列结论：①或；②；③；④为定值．正确的有 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（   ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求m的取值范围； (2)当时，求另一个根的值． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）①设是方程的两个根，则 ． ②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 7．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若，是一元二次方程的两根，则 ； ． 8．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）若方程的两实数根为a，b．求下列代数式的值． (1)． (2)． 12．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 13．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； (3)若方程有两个相等实根，求实数的值及此时方程的根． 14．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 学科网（北京）股份有限公司 $$