2.4　一元二次方程根与系数的关系 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程根与系数的关系”，通过问题情境让学生解具体方程并填表，观察两根之和与积的规律，从特殊到一般引导猜想，衔接已学的方程解法，为定理推导与应用搭建认知支架。 其亮点在于以“观察—猜想—推导—应用”为主线，结合求根公式严谨论证培养推理能力，通过多样化例题（如求代数式值、已知一根求参数）和中考题变式发展应用意识，小结用“一定理两核心三应用”结构化呈现，助力学生系统掌握知识，也为教师提供高效教学资源。

2.4　一元二次方程根与系数的关系 第2章　一元二次方程 1 学习目标 【学习目标】 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系． 2．会用根与系数关系定理解决一些简单的问题． 3．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 【学习重点】 掌握一元二次方程的根与系数的关系． 情景导入 问题情境： 解下列方程，并填写表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 0 2 2 0 1 －4 －3 －4 2 3 5 6 观察上面的表格，猜想： 关于x的方程x2＋px＋q＝0(p、q为常数，p2－4q≥0)的两根是x1，x2，则x1＋x2＝______，x1·x2＝___． －p q 自学互研 知识模块一 探究一元二次方程根与系数的关系 尝试：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，该方程的两根x1，x2，求方程的两根之和与两根之积． 解：由题意得x1＝ ，x2＝ ， 由此可得x1＋x2＝ ＋ ＝－ ， x1x2＝ 归纳 当b2－4ac≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 知识模块二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例　利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的 (1)平方和； (2)倒数和． 解：设方程的两个根分别为x1，x2， 那么x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ . (1)∵(x1＋x2)2＝x＋2x1x2＋x. ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝ . (2) ＝3. 归纳 解决此类题，先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值最后将所求的式子适当地变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 范例 　已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 解：设方程的另一根为x1， 则－3x1＝ ， ∴x1＝ . ∴x1＋(－3)＝ ＋(－3)＝－ ， 解得k＝3. ∴另一根为 ，k的值为3. 二个核心 三个应用 一个定理：韦达定理(表述根与系数关系) 应用1.求含有两根的代数式的值； 应用2.已知一元二次方程的一根，可以求另一根. 应用3.已知含有待定系数的一元二次方程的两根 的关系，可以求待定系数的值 课堂小结 9 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 课堂小结 一、 选择题 1. 下列一元二次方程中,两实数根的积为4的是 (　　) A. x2-2x-4=0 B. x2+2x+4=0 C. x2-4x+4=0 D. x2+4x-5=0 2. 关于x的一元二次方程2x2-kx+12=0的一个根是x1=2,则方程的另一个根x2和k的值分别为 (　　) A. x2=3,k=10 B. x2=-3,k=-10 C. x2=3,k=-10 D. x2=-3,k=10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 3. 若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两个根为x1,x2,且+= 3,则p的值为 (　　) A. - B. C. -6 D. 6 4. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则下列说法正确的是 (　　) A. x1+x2<0 B. x1x2<0 C. x1x2>-1 D. x1x2<1 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.原来的方程是 (　　) A. x2+6x+5=0 B. x2-7x+10=0 C. x2-5x+2=0 D. x2-6x-10=0 B 解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),由题知,-=6+1=7,=-2×(-5)=10, ∴ b=-7a,c=10a.∴ 原来的方程为ax2-7ax+10a=0.∴ x2-7x+10=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 6.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2 +3x1x2的值是　　　　.  7.设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两个根,且x1=2x2,则k= 　　　　.  8. 若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为　　　　. 14 2 7 解析:∵ m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,∴ m2-5m+2 =0,m+n=5.∴ m2-5m=-2,n=5-m.∴ m+(n-2)2=m+(3-m)2=m2-5m+9= -2+9=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知a和b是方程x2+2024x-4=0的两个解,则a2+2023a-b的值为　　　　.  10. ★(烟台中考)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根为x1,x2,且3x1x2-x1-x2>2,则m的取值范围是　　　　. 2028 解析:∵ a和b是方程x2+2024x-4=0的两个解,∴ a2+2024a-4=0①,a+b= -2024②.①-②,得a2+2024a-4-a-b=2024,∴ a2+2023a-4-b=2024.∴ a2+ 2023a-b=2028. 3<m≤5 解析:依题意,得解得3<m≤5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 已知x1,x2是方程3x2-2x-7=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1) x2+x1; (2) (x1-x2)2; 由题意,得x1+x2=,x1x2=-. (1) x2+x1=x1x2(x1+x2)==-　 (2) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×=　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) ; (4) +.　 (3) =x1x2+2+=-+2-=-　 (4) +====- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1) 填空:x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　;  (2) 求+,x1+的值(用含p的代数式表示); (2) ∵ x1+x2=p,x1x2=1,∴ +===p.∵ 关于x的一元二次方程x2-px +1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2,∴ -px1+1=0.易得x1≠0,∴ x1-p+=0,即x1+=p　 p 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 已知+=2p+1,求p的值. (3) 由根与系数的关系,得x1+x2=p,x1x2=1,∵ +=2p+1,∴ (x1+x2)2-2x1x2 =2p+1.∴ p2-2=2p+1,解得p1=3,p2=-1.当p=3 时,Δ=p2-4=9-4=5>0;当 p=-1时, Δ=p2-4=-3<0(不合题意,舍去).∴ p=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根. (1) 求实数m的取值范围; (2) 若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m的值. (1) 根据题意,得Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,解得m>　 (2) 设x1,x2是方程的两个根.根据题意,得x1+x2=4>0,x1x2=-2m+5>0,解得m< .由(1),知m>,∴ <m<.∵ m为整数,∴ m=1或m=2.当m=1时,方程的两 个根都是整数;当m=2时,方程的两个根都不是整数.∴ 整数m的值 为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. ★(14分)(教材P48习题2.4B组第4题变式)(遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根; (1) x2-(m+2)x+m-1=0,这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1 ×(m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8.∵ m2≥0,∴ Δ>0.∴ 无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 如果方程的两个实数根为x1,x2,且+-x1x2=9,求m的值. (2) 由题意,得x1+x2=m+2,x1x2=m-1.∵ +-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9, ∴ (m+2)2-3(m-1)=9.整理,得m2+m-2=0.∴ (m+2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1. ∴ m的值为-2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ×＝＝＝. . ＋＝ $