专题03 一元二次方程的解法（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题03 一元二次方程的解法 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 1 考点02 解一元二次方程-配方法 3 考点03 配方法的应用 6 考点04 公式法解一元二次方程 11 考点05 因式分解法解一元二次方程 13 考点06 换元法解一元二次方程 16 考点07 解分式方程（化为一元二次方程） 19 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 1．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）我们定义一种新的运算符号“”：． 例如：． (1)若，则____________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了定义新运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义列方程即可求出x值； （2）利用题中的新定义列方程即可求出x值． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ， ∵， ∴， 解得． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 【答案】， 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的解法，关键在于通过移项、合并同类项将方程化简，再利用直接开平方法求解． 【规范解答】解：， ， ， ， 则， 所以 3．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得，； （2）原方程两边都乘得： ， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程的解法： （1）直接开平方即可求解； （2）利用配方法或公式法求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ． 考点02 解一元二次方程-配方法 5．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程的常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再将方程左边写成平方的形式即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查的是解一元二次方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)分式方程无解． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法和分式方程的解法．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等；解分式方程要注意检验．掌握这些是解题的关键． （1）二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法解方程即可； （2）根据分式方程的解法：去分母化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解： ， 方程两边乘，得： ， 解得： ， 检验：当时，因此不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 8．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为   （分离常数项）   （提二次项系数）   （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 【答案】材料理解：，大，； 迁移应用：； 最大面积为平方厘米． 【思路引导】【材料理解】利用平方的非负性可以判断当时，代数式有最大值，且最大值为； 【迁移应用】设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形对边平行可知，根据相似三角形对应边成比例可得，根据矩形的面积公式可得； 用配方法把写成的形式，再利用平方的非负性进行判断即可． 【规范解答】解：【材料理解】， ， ， ， 当时，， 故答案为：，大，； 【迁移应用】 设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积． ， ， 当时，， 当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的应用、完全平方公式、配方法的应用，矩形的面积公式．解决本题的关键是利用配方法把一个多项式写成一个完全平方式与一个常数的和的形式，利用平方的非负性求代数式的最值． 考点03 配方法的应用 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）当时，代数式有最小值，最小值为 【思路引导】此题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质． （1）由可得时，取得最小值0； （2）由知可得答案； （3）把原式配方，再根据非负数的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）代数式有最小值时，， 故答案为：1； （2）代数式的最小值在时，最小值为3， 故答案为：3； （3）， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【思路引导】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【规范解答】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 11．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【思路引导】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 【答案】（）；（）一、三；（）；实际应用： 【思路引导】（）根据分母不等于即可求解； （）根据题意即可判断求解； （）仿照深入思考解答即可求解； 实际应用：设，由等高三角形可得，即可得，得到，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了配方法在最值问题中的应用，函数的基本知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【规范解答】解：（）函数的自变量的取值范围是， 故答案为：； （）∵当时，，当时，， ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （）当时， ， ∴当时，即时，有最大值是， 故答案为：； 实际应用：设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，有最小值是， ∴四边形面积的最小值为． 考点04 公式法解一元二次方程 13．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【思路引导】本题主要考查了二次方程的解法（开平方法和求根公式法），熟练掌握二次方程的解法步骤和判别式计算是解题的关键． （1）通过开平方转化为两个一次方程求解，需注意符号的取舍． （2）使用求根公式求解，需准确计算判别式并代入公式． 【规范解答】（1）解：， ， ∴，， 解得，； （2）解：， ∴， ， ∴，． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的步骤，是解题的关键： （1）公式法解方程即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 去分母，得：， 解得； 经检验，是原方程的解． 15．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟练掌握公式法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）方程利用公式法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 16．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）笑笑解一元二次方程 的过程如下． 解：整理得 ① ② ③ ∴方程有两个不相等的实数根，     ④      ⑤ (1)笑笑的求解过程从第__________步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出这个方程正确的解题步骤； (3)根据平时的学习经验，就解一元二次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键： （1），不是，故第②步开始出现错误； （2）利用公式法解方程即可； （3）根据解一元二次方程的过程，给出建议即可． 【规范解答】（1）解：，不是，故第②步开始出现错误； （2）整理得， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解方程的过程中，移项要变号，解要化为最简等（答案不唯一） 考点05 因式分解法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 【答案】(1)四 (2)文化墙的长和宽分别是和 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可判断． （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【规范解答】（1）解：小颖的解题过程中，从第四步开始出现错误．错误的原因是漏掉了一个解． 故答案为：四； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 社团活动室的矩形文化墙的长和宽的值都满足方程， 文化墙的长和宽分别是和． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解一元二次方程的直接开方法和提公因式法，熟练掌握计算法则是解题关键． （1）先移项，然后两边开平方进而求解即可； （2）先移项，再运用提公因式法进行求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ∴或， ∴或， 解得； （2）解： ∴或， ∴或， 解得． 19．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解方法和直接开平方法； （1）先移项，运用提公因式分解因式的方法进行求解即可； （2）运用十字相乘的方法分解因式即可得到答案； （3）运用直接开平方法即可得到答案； （4）运用十字相乘的方法分解因式即可得到答案 【规范解答】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ， ， ∴； （3）解：， ， ， ∴； （4）解：， ， ∴． 20．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了新定义解方程和因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是要注意舍去不合题意的解；先模仿题中的例子，讨论绝对值里面的式子是正还是负，分情况讨论得到答案即可； 【规范解答】解：当，即时， ， ， ， 解得，； 当，即时， ， ， 解得不合题设，舍去，不合题设，舍去． 综上所述，原方程的解是或 考点06 换元法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【思路引导】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【规范解答】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 22．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【规范解答】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【规范解答】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 24．（2024九年级上·山东济宁·学业考试）阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值． 【答案】2 【思路引导】根据所给材料，将看成一个整体，然后解关于的方程，并根据是非负数对结果进行取舍即可得到答案； 【规范解答】解：设=x， 化为 解得： ∵x= ∴ ∴应舍掉 ∴=2 【考点剖析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关知识并熟练使用，注意解题中需注意的事项，尤其注意 是非负数，这是本题的解题关键． 考点07 解分式方程（化为一元二次方程） 25．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【思路引导】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 【规范解答】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了换元法解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【规范解答】解：设，则， 因为， 所以， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：B． 28．（2022·贵州铜仁·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 【规范解答】解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的解法 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 1 考点02 解一元二次方程-配方法 2 考点03 配方法的应用 4 考点04 公式法解一元二次方程 6 考点05 因式分解法解一元二次方程 8 考点06 换元法解一元二次方程 9 考点07 解分式方程（化为一元二次方程） 11 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 1．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）我们定义一种新的运算符号“”：． 例如：． (1)若，则____________； (2)若，求的值． 2． （24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 3．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 考点02 解一元二次方程-配方法 5．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组： 7．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为   （分离常数项）   （提二次项系数）   （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 考点03 配方法的应用 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3） 请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 11．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 考点04 公式法解一元二次方程 13．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： (1) (2) 15．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 16．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）笑笑解一元二次方程 的过程如下． 解：整理得 ① ② ③ ∴方程有两个不相等的实数根，     ④      ⑤ (1)笑笑的求解过程从第__________步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出这个方程正确的解题步骤； (3)根据平时的学习经验，就解一元二次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 考点05 因式分解法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 19．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 考点06 换元法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 22．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 24．（2024九年级上·山东济宁·学业考试）阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值． 考点07 解分式方程（化为一元二次方程） 25．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 26．（2025八年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 28．（2022·贵州铜仁·一模）分式方程的解是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $