专题01 一元二次方程的概念重难点题型专训（2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题01 一元二次方程的概念重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 判断是否是一元二次方程的解 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，不是关于的一元二次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，故选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，故选项不符合题意； D、整理得：，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，根据一元二次方程的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其通过移项把方程化成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：方程化成一元二次方程的一般形式是． 故选B． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）把方程整理成一般形式后，得 ． 【答案】 【分析】一元二次方程（是常数且）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：整理成一般形式后，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）下列方程中为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：，是一元一次方程，最高次数为1，不符合条件． 选项B：，仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 选项C：，含两个未知数和，是二元二次方程，不符合“一元”要求． 选项D：，含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合条件． 综上，只有B满足一元二次方程的定义． 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键，利用一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 4．（24-25八年级·湖南怀化·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】13 【分析】将代入方程得到关于m的方程，求出方程的解并结合一元二次方程的定义得到m的值，最后代入所求式子中计算即可解答． 【详解】解：将代入可得得，解得； ∵一元二次方程， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，根据一元二次方程的定义得到是解答本题的关键． 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】 （24-25九年级上·湖南常德·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将原方程整理为标准形式，通过移项确定一次项系数的值． 【详解】解：原方程为，移项得：， 此时方程的标准形式为，其中，，， 因此，当时，的值为2， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【经典例题三 判断是否是一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式等等，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可判断A；解方程即可判断B；一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此可判断C；任何有解的方程都可以用公式法解方程，据此可判断D． 【详解】解：A、是一元二次方程，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， 解得，原说法错误，符合题意； C、这个方程是一元二次方程的一般形式，原说法正确，不符合题意； D、这个方程可以用公式法求解，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 【经典例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例4】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可． 【详解】解：由题意，可得方程为：； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据题意，把代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：A． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）设α，β是方程的两根，则的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义．根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据一元二次方程的解的定义得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2029 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 3．（2025九年级上·湖南益阳·专题练习）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【经典例题七 判断是否是一元二次方程的解】 【例7】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；由方程解得、是方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；能将看作、是一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：，， 、是方程的根， ， ， ； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝代入原方程列出关于m的方程，通过解方程求得m值；最后根据根与系数的关系求得方程的另一根． 【详解】解：将x＝代入关于x的方程， 得：4－6－m＝0， 解得：m＝， 设方程的另一个根为a， 则＋a＝−3， 解得：a＝−1， 故方程的另一个根为−1． 故答案是：−1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：是一元一次方程，此项错误； 符合定义，是一元二次方程，此项正确； 含有两个未知数，不是一元二次方程，此项错误； 不是整式方程，此项错误； 是一元二次方程，此项正确； ，当时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误； 其中一元二次方程的个数为：2； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 2．（2025九年级·湖南湘潭·模拟预测）若关于的一元二次方程有一个根是0，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．本题考查的是一元二次方程解的定义和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：把代入方程中，得 ， 解得或， 当时，，舍去， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）． ①   ②   ③ (2)若是“邻根方程”，则的值为_____． (3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判定解答即可． （2）根据得到，根据是“邻根方程”，得到 ，解绝对值方程即可． （3）根据，，结合定义，建立等式解答即可． 【详解】（1）解：①，解方程，得，满足， 是“邻根方程”； ②，解方程，得，不满足，不是“邻根方程”； ③，解方程，得，满足， 是“邻根方程”； 故答案为：①③． （2）解：根据，得到， 根据是“邻根方程”，得到 ， 故或． 解得或． 故答案为：或． （3）解：设一元二次方程两个根为，， 则，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了方程的新定义问题，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，绝对值方程的解答，熟练掌握新定义，根与系数关系定理，根的判别式是解题的关键． 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，根据即可求出a． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·娄底·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析． 【分析】（）根据题意可得，从而求证； （）设关于的一元二次方程的整数解为，则也为奇数，然后分为奇数，为偶数两种情况分析即可求解； 此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴为非负数； （2）解：该一元二次方程没有整数解，理由， 设关于的一元二次方程的整数解为， ∴，则， ∵为奇数， ∴也为奇数，故也为奇数， 若为奇数，则也为奇数， ∵为奇数，为奇数， ∴为奇数，为奇数， ∴为偶数， ∴与为奇数相矛盾，不符合题意； 若为偶数，则也为偶数， ∵为奇数，为奇数， ∴为偶数，为偶数， ∴为偶数， ∴与为奇数相矛盾，不符合题意； 综上可知：无论为奇数或偶数都相矛盾， 故该一元二次方程没有整数解． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ∴，故②错误； ③∵，则， ，， ， 因此是倍根方程，故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ，故④正确。 综上所述，正确的是①③④． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把代入方程，求出m的值，进而解方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵是一元二次方程一个根， ∴， 解得， 此时，原一元二次方程为， 解得，， 所以方程的另一个根为． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】（1）解： 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； （2）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；     D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 结合根与系数的关系可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2019 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零．根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 12．（24-25九年级上·湖南·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 13．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键． （1）方程化为：，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解； （2）根据题意可得是整数的平方，再根据结合（1）中，进行逐一判断即可求解． 【详解】（1）解：方程化为：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的取值范围：． （2）解：方程的根都是整数， 是整数的平方， ， 取，， 由（1）知， ∴． 14．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 15．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． (1)判断一元二次方程：_______“归一方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 【答案】(1)是； (2)，． 【分析】（）把代入方程判断即可求解； （）根据“归一方程”的定义可得，再根据即可求解； 本题考查了一元二次方程的根，根的判别式，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入方程得，左边右边， ∴是方程的解， ∴方程是“归一方程”， 故答案为：是； （2）解：∵为“归一方程”， ∴， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得，， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的概念重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 判断是否是一元二次方程的解 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为 ． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）把方程整理成一般形式后，得 ． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）下列方程中为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 4．（24-25八年级·湖南怀化·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】 （24-25九年级上·湖南常德·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的常数项是 ． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【经典例题三 判断是否是一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【经典例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例4】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 4．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）设α，β是方程的两根，则的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 3．（2025九年级上·湖南益阳·专题练习）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【经典例题七 判断是否是一元二次方程的解】 【例7】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025九年级·湖南湘潭·模拟预测）若关于的一元二次方程有一个根是0，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）． ①   ②   ③ (2)若是“邻根方程”，则的值为_____． (3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值． 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 3．（24-25九年级上·娄底·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 2．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 8．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的根，则m的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 12．（24-25九年级上·湖南·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 13．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 14．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 15．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． (1)判断一元二次方程：_______“归一方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$