专题 15.6 综合与实践——最短路径（将军饮马）问题（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024)

专题 15.6 综合与实践——最短路径（将军饮马）问题 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 活动引入： 1 活动（一）将军饮马问题——“两定一动”模型 2 【题型1】利用“将军饮马——两定一动”（两点之间线段最短）模型求值 2 【题型2】利用“将军饮马—— 一定两动”（垂线段最短）模型求值 5 活动（二）将军饮马问题拓展——“两定两动”模型 8 【题型2】利用“将军饮马——两定两动”模型求值 8 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定两动”模型 11 【题型3】利用“将军饮马—— 一定两动”模型求值 12 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定（区间）两动”模型 15 【题型4】利用“将军饮马——一定（区间）两动”模型求值 16 活动（四）将军饮马问题拓展——“造桥选址（平移）问题”模型 19 【题型5】利用“将军饮马——造桥选址（平移）”模型求位置 19 二. 同步练习 23 【基础巩固（16题）】 23 【能力提升（16题）】 38 一.知识梳理与题型分类精析 活动引入： 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的小河边饮马，然后趟过小河到地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 解析：如图2，连接交小河（直线）交于点，点就是牧民饮马处，理由是两点之间，线段最短. 活动（一）将军饮马问题——“两定一动”模型 如图3，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 解析：如图4，把小河看成一条直线，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点. 【题型1】利用“将军饮马——两定一动”（两点之间线段最短）模型求值 【例题 1】（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 【点拨】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 【题型2】利用“将军饮马—— 一定两动”（垂线段最短）模型求值 【例题 2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，． （1）求的长； （2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键． （1）证明是等边三角形即可求解； （2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 解：（1）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，    由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴三点共线， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 活动（二）将军饮马问题拓展——“两定两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线，分别作点关于射线的对称点，作点B关于射线的对称点，连接，与直线交于点，连接，则为所走的路径最短. 【题型2】利用“将军饮马——两定两动”模型求值 【例题2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见分析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【变式2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线，分别作点A关于直线OM、ON的对称点、，连接，与射线交于点，连接AC、AD，则为所走的路径最短. 【题型3】利用“将军饮马—— 一定两动”模型求值 【例题3】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. （2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】（1）；（2）最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 解：（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ． 【答案】 /120度 4 【分析】作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D，根据对称的性质得到，，，，，可证明是等边三角形，得到，继而推出的周长为，利用四边形内角和求出，利用三角形内角和求出，根据等边对等角求出，再利用角的和差求出结果． 解：如图，作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D， ∵P关于直线的对称点，P关于直线的对称点， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，   ∴的最小周长为， ∵，， ∴，， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，4．    【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，对称的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定的应用，三角形内角和，关键是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定（区间）两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线OM、ON，分别作点A关于直线OM、ON的对称点A，作点B关于射线的对称点，连接，与直线OM、ON交点点D、C，连接AC、BD，则AC-CD-DB为所走的路径最短.即C、D为所求. 【题型4】利用“将军饮马——一定（区间）两动”模型求值 【例题4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    【答案】150 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．    ， ， ，，且，， 故答案为：150． 【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称——最短路径问题，三角形外角性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握最短路径问题是解题的关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，即可得出，进而得出，即可得到答案． 解：作出关于和的对称点，连接，交于点，交于点，则即为的周长最小值，作延长线， ， ， ， 由折叠可知：， ，， ， ． 活动（四）将军饮马问题拓展——“造桥选址（平移）问题”模型 如图9，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 如图10，过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 图9 图10 【题型5】利用“将军饮马——造桥选址（平移）”模型求位置 【例题5】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． （1）如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． （2）如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 解：（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【答案】见分析 【分析】的值最小，其中是定值，问题转化为最小，先作，使得，再作对称点，连接对称点和即可求解． 解：如图，作，使得，作点关于的对称点，连接交于点，在上截取，连接，线路时，的值最小， 【点拨】本题考查了轴对称—最短路径问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果． 解：连接， ∵l垂直平分， ， ， 的最小值是，值为7， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 根据题意得出，，可知当三点共线，且时，的值最小，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 解： ∵平分，点关于的对称点是点，， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，与交于点，由轴对称的性质可得也是等边三角形，于是可得，，进而可得，，于是推出点与点关于对称，因而当点与点重合时的值最小，于是得解． 解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 【点拨】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（轴对称中的最短线路问题），轴对称的性质，等边三角形的性质，三线合一等知识点，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题． 解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 解：如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 12．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【答案】50 【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故答案为：50． 13．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，，是高，P，Q分别是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点C作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用直角三角形的性质可求出的长度，此题得解． 解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴连接，则， 过点C作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·二模）如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则， ∴， ∵点E是上的动点， ∴时，有最小值 ∵， ∴ 故答案为： 三、解答题 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）的周长的最小值为11． 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据垂直平分线的性质和三角形的三边关系可知，当点F与E重合时，的周长最小，最小值． 解：（1）解：图形如图所示； ； （2）解：∵垂直平分，F为直线上一动点， ∴， ∴， ∴当点F与E重合时，的周长最小， 最小值， ∵，的周长是17， ∴， ∴的周长的最小值为11． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【答案】（1）2；（2）4；（3）见分析 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，理解并掌握轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，两点直线线段最短的计算方法是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，轴对称的性质得到的最小值为的值，且，由此即可求解； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接，此时的值最小，，由M，O为的中点，得到，，可证明，得到，由此即可求解； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， 可证，由此即可求解． 解：（1）∵是等边三角形，是高， ∴作点B关于的对称点，恰好与点C重合，的最小值为的值， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接， ∴，此时的值最小，， ∵M，O为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称的性质求最短距离，作点关于的对称点，连接，交于点P，即可使得的值最小，据此作答，熟练利用轴对称的性质是解题的关键． 解：，为的中点， 作点关于的对称点，点在上， 连接，交于点P，即可使得的值最小， 题中B选项符合要求， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 4．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 【答案】B 【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解． 解：连接， 平分交于点， ，， ， ， 且， 当点在线段上时，的最小值是， ， 的最小值为7． 故选：    【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键． 5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案． 解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， ∴，， ∴，， 则即为的周长最小值， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 8．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，则CE的长即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长即可． 解：过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N， 平分，于点E， 于N， ， ， 根据垂线段最短可知，CE的长即为的最小值， 的面积是，最长边， ， ， 即的最小值为10． 故答案为：10． 【点拨】本题考查轴对称——最短路径问题，关键是根据垂线段最短将的最小值转化为CE ． 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、含角的直角三角形，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造轴对称图形是解题的关键．作点关于的对称点，连接，则，根据垂线段最短性质可得当三点共线，且时，此时为最短，再利用直角三角形的性质得出，等量代换即可得出结论． 解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当三点共线，且时，此时为最短， ，平分，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标． 解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 11．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为10．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键． 解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）连接，过点作交与点，根据等腰三角形的性质可得出的最小值是的长，再根据三角形面积公式即可得出答案． 解：（1），是表上的中线， ，平分， ，， ， ； （2）连接，过点作交与点， 所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 的最小值是的长， ， ， 的最小值是， 故答案为：，． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． （1）若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 解：（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 14．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： （1）画直线； （2）画射线，连接； （3）连接并延长到，使； （4）若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4） 【分析】本题考查了直线、射线、线段的画法，线段的和与差等． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线和线段的概念作图即可； （3）首先画射线，在的延长线上依次截取即可； （4）连接、，与的交点就是点． 解：（1）解：如图：直线，即为所求； （2）解：如图：射线，线段，即为所求； （3）解：如图：点，即为所求； （4）解：如图：点，即为所求． 此时，． 故的最小值为． 故答案为：． 15．（21-22七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 【点拨】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型． 16．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【答案】教材呈现：证明见分析；定理应用：（1）30；（2）． 【分析】教材呈现：证明即可得证； （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 解：证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 15.6 综合与实践——最短路径（将军饮马）问题 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 活动引入： 1 活动（一）将军饮马问题——“两定一动”模型 1 【题型1】利用“将军饮马——两定一动”（两点之间线段最短）模型求值 2 【题型2】利用“将军饮马—— 一定两动”（垂线段最短）模型求值 3 活动（二）将军饮马问题拓展——“两定两动”模型 4 【题型2】利用“将军饮马——两定两动”模型求值 4 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定两动”模型 5 【题型3】利用“将军饮马—— 一定两动”模型求值 6 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定（区间）两动”模型 7 【题型4】利用“将军饮马——一定（区间）两动”模型求值 7 活动（四）将军饮马问题拓展——“造桥选址（平移）问题”模型 8 【题型5】利用“将军饮马——造桥选址（平移）”模型求位置 8 二. 同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 14 一.知识梳理与题型分类精析 活动引入： 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的小河边饮马，然后趟过小河到地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 解析：如图2，连接交小河（直线）交于点，点就是牧民饮马处，理由是两点之间，线段最短. 活动（一）将军饮马问题——“两定一动”模型 如图3，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 解析：如图4，把小河看成一条直线，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点. 【题型1】利用“将军饮马——两定一动”（两点之间线段最短）模型求值 【例题 1】（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【题型2】利用“将军饮马—— 一定两动”（垂线段最短）模型求值 【例题 2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，． （1）求的长； （2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 活动（二）将军饮马问题拓展——“两定两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线，分别作点关于射线的对称点，作点B关于射线的对称点，连接，与直线交于点，连接，则为所走的路径最短. 【题型2】利用“将军饮马——两定两动”模型求值 【例题2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【变式2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线，分别作点A关于直线OM、ON的对称点、，连接，与射线交于点，连接AC、AD，则为所走的路径最短. 【题型3】利用“将军饮马—— 一定两动”模型求值 【例题3】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. （2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 活动（三）将军饮马问题拓展——“一定（区间）两动”模型 如图5，牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 解析：如图5，把小河、草地分别看成射线OM、ON，分别作点A关于直线OM、ON的对称点A，作点B关于射线的对称点，连接，与直线OM、ON交点点D、C，连接AC、BD，则AC-CD-DB为所走的路径最短.即C、D为所求. 【题型4】利用“将军饮马——一定（区间）两动”模型求值 【例题4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【变式1】（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 活动（四）将军饮马问题拓展——“造桥选址（平移）问题”模型 如图9，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 如图10，过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 图9 图10 【题型5】利用“将军饮马——造桥选址（平移）”模型求位置 【例题5】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． （1）如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． （2）如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【变式2】1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 10．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 12．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 13．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，，是高，P，Q分别是上的动点，若，则的最小值为 ． 14．（2024·陕西西安·二模）如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 4．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 8．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系： ． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 11．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． （1）若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，请求出的最小值． 14．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： （1）画直线； （2）画射线，连接； （3）连接并延长到，使； （4）若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 15．（21-22七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 16．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$