专题 15.4 等腰三角形（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024)

专题 15.4 等腰三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）等腰三角形性质1：等边对等角 2 【题型1】利用“等边对等角”求值 2 【题型2】利用“等边对等角”证明 5 知识点（二）等腰三角形性质2：三线合一 8 【题型3】利用“三线合一”求值 8 【题型4】利用“三线合一”证明 10 知识点（三）等腰三角形判定：等角对等边 14 【题型4】利用“等角对等边”求值 14 【题型5】利用“等角对等边”证明 17 知识点（四）等腰三角形——尺规作图 20 【题型6】利用“等角对等边”尺规作图求值证明 20 【题型7】等腰三角形性质与判定综合求值证明 23 二. 同步练习 28 【基础巩固（20题）】 28 【能力提升（20题）】 46 【中考真题16题】 66 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 【例1】已知：如图1，在中，, 求证： 图1 证明：过点作交于点. ， 在和中， （HL） 这样，我们就得到了等腰三角形一个性质 知识点（一）等腰三角形性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”； 数学语言：如图2，在中，若，则。 图2 【题型1】利用“等边对等角”求值 【例题 2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质得，即得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由线段垂直平分线的性质得，，即得，进而即可求解； 本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质得出，则，根据直角三角形两锐角互余，求得，根据平行线的性质得出，据此计算即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，，，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】利用“等边对等角”证明 【例题 3】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】本考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，证明，进而可得，，证明，得出，即可得证． 解：证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵在中，， ∴， ∵ ∴，，即， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵点D为中点 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 【变式1】（2025·湖北·三模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点．根据尺规作图得到是的垂直平分线是解题的关键． 由作图过程可得：垂直平分线段可得， ，可判定A、B选项；再根据等边对等角可得，进而得到，即C选项符合题意；由运用等角对等边可得，即可判定D选项． 解：由作图过程可得：垂直平分线段， ∴， ，、故A、B正确，不符合题意； ∵ ∴． ∵，， ∴，不能得到，即C选项符合题意 ∴，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与按如图位置摆放，点D在的边上，， ，与相交于点F，请你补充一个条件： ，使．（填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，补充一个条件：，使，理解题意，因为以及得出，再根据，得出，即可作答． 解：补充一个条件：，使． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 或者添加条件是， 与上述同理得， ∵，， ∴， 或者添加条件是， 与上述同理得， ∵，， ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 由例1我们还得到了等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线的关系，这样就得到了性质2. 知识点（二）等腰三角形性质2：三线合一 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 数学语言：如图2，在中，若，则。 图3 数学语言：如图3，在中，. ①，，；②，，； ③，， 【题型3】利用“三线合一”求值 【例题 4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质求出，结合题意求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可． 解：是的中线，且， ，即， ， 是的角平分线， ． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答． 解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】利用“三线合一”证明 【例题 5】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】解法一：过点A作交于点．根据“等腰三角形三线合一”可得，，进而可得 ； 解法二：根据等边对等角可得，，进而可得，再根据证明即可得． 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 解：猜想：； 解法一：过点A作交于点． ，， ． ，， ， ， ． 解法二：， ， ， ， ， 即． 在和中 ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，点G为与的交点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三线合一等知识．根据平行线的性质得到，故①符合题意；，根据余角的性质得到，故③符合题意；根据等量代换得出，故②符合题意；根据已知条件无法证明，故④不符合题意． 解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∴平分， ∵，要使，则， ∵平分，但不一定与相等， ∴无法证明，故④不符合题意． 故答案为：①②③． 【例5】已知：如图4，在中，, 求证： 图4 证明：过点作交于点. ， 在和中， （AAS） 这样，我们就得到了等腰三角形一个判定定理 知识点（三）等腰三角形判定：等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”） 数学语言：如图2，在中，若，则。 图5 【题型4】利用“等角对等边”求值 【例题 6】（2025·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查作图一轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）作于O，在射线上截取即可； （2）过点作，交于点，先证明，得到，，再根据两直线平行内错角相等得到，根据等角对等边即可得出结果． 解：（1）解：如图，点D即为所求； （2）如图：过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【题型5】利用“等角对等边”证明 【例题 7】（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰三角形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 解：（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）在中，，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定；求出即可判断出三角形的形状．解题的关键是求出的度数． 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 知识点（四）等腰三角形——尺规作图 【题型6】利用“等角对等边”尺规作图求值证明 【例题 8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）阅读并填空：如图，我们已经学过用直尺、圆规作线段的中点的方法： 以点A为圆心，以大于的长a为半径作弧；以点B为圆心， 以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、F； 作直线，交线段于点点C就是所求线段的中点． 请说明这种作法正确的理由． 解：连接、、、， （______）， 又， （______）， 即点C是线段的中点． 【答案】，，全等三角形的对应角相等，三线合一 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题；证明，推出，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 解：连接、、、， ， ∴， 全等三角形的对应角相等， 又， 三线合一， 即点C是线段的中点． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．由平行线的性质可得：，，由作图可得，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可． 解：∵， ∴，， 由作图可得：， ∴，，， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，证明，根据等腰三角形三线合一性质得，再证明得到，即可求解． 解：延长交的延长线于点， ∵以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查角平分线的画法和定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，通过作辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 【题型7】等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题 9】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．   （1）如图1，若G为中点，，，求的长度； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6；（2），理由见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解． 解：∵是等腰三角形，，， ， 故选：B． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 解：∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答． 解：依题意，当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有两个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 综上满足在坐标轴上的点一共有个， 故选：C 5．（24-25七年级下·山东淄博·期末）在中，点在上，并且，若平行，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，点在上，与交于点，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定等知识，由全等三角形的性质得，从而得出，结合，得出，即可证明，根据平行线的性质得出，，即可得，即可解答． 解：∵， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ，， ， ，故C正确，不符合题意； 根据已知条件不能证明， ∴不成立， 故选：D． 8．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【答案】度/ 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 解：∵， ， ，点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则 （用含的数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图、等角对等边、平行线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键．由作图可得，平分，得到，利用平行线的性质得到，则有，推出，即可得出答案． 解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，D在边上，E在上，把沿翻折得到，点F刚好落在边上，且，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和翻折的性质是解题的关键．设，则，先求得，再求，然后利用翻折的性质得，最后根据求解即可． 解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则 ， ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，掌握等边对等角，全等三角形的判定和性质是解题的关键．由可证，可得，运用勾股定理可得，利用面积法可求的长． 解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：①②． 16．（2022·宁夏银川·一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰， 再以为直角边作等腰，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则的长度为 ．  （用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，，然后问题可求解． 解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 同理可得：，，……； 综上所述：； 故答案为． 三、解答题 17．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知在中，，． （1）作的垂直平分线，交于点E；交于D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】该题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）根据尺规作垂直平分线的方法作图即可． （2）根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质即可求解． 解：（1）解：如图，点E、D即为所求作； （2）解：由（1）可知，的垂直平分线与的交点即为点E， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵， ； （2）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ，           ． 19．（24-25七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： （1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】（1）根据题意证明，即可求解； （2）根据（1）的证明同理得到，，根据折叠得到，设，则，由角平分线的定义得到，，，根据直角三角形两锐角互余即可得到，则得到，由此即可求解． 解：（1）解：，理由如下， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：根据（1）的证明得到， ∴，，， ∴ 同理，，， ∵折叠， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查等边对等角，等角对等边的判定和性质，掌握中线的定义，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质是解题的关键． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，再证明得到，进而得到即可求解． 解：（1），理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 在利中， ， 所以． （2），理由如下： 因为， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 解：∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 3．（22-23八年级下·江西宜春·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　）    A．12 B．5 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选C． 【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，求出的长是关键． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：A． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 【答案】D 【分析】根据“等角对等边”，和线段垂直平分线的性质判断即可．本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 解：①∵中，， ∴， ∴是等腰三角形． 故①正确； ②不能使是等腰三角形， 故②错误； ③是的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确； 综上，①③正确． 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 8．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，可证，可得，可证，可得，即可求解． 解：如图，延长交于点， ∵ ，   ∴，   ∴ ，   ∴，   ∴，，   ∴，   在和中：   ，     ∴ ∵，   ∴   在和中：   ∴ ，   ∴，   ∴ 故选：B. 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东， 又继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则的距离是 海里． 【答案】7 【分析】本题主要考查了方向角有关的计算、角的和差、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据方向角、角的和差关系、三角形的内角和定理得到，再根据等角对等边可得即可． 解：由图和题意，可知：，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则 ． 【答案】/36度 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，延长到，使得，连接，由“”可证，可得，，由等边对等角可得，据此求出，即可得到答案． 解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 延长至，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，通过线段的等量代换运算即可得出答案． 解：如图，延长至，使， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明．证明，得到，等边对等角，得到，进而推出，得到，线段的和差关系求出的长即可． 解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；理解角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定及性质是解的关键． （1）由作法得平分，结合平行线的性质，即可求解； （2）由等角对等边得，由等腰三角形的性质，即可得证． 解：（1）解：， ， ， 由作法得， 平分， ； （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． （1）若，求的度数： （2）若，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解； （2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即． 19．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】（1）等腰；（2）或；（3）真命题 【分析】本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． （2）解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． （3）解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 20．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为． （1）如图1，，，则______； （2）如图2，猜想，，的关系，并证明； （3）如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）4；（2），见分析；（3）30 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明即可求解． （2）证明即可求解． （3）过点A作于点H，如图所示，证明，求出，再根据求解即可． 解：（1）解：，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：4； （2）解：，，的关系是：，证明如下： ，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：过点A作于点H，如图所示： 在中，， ， ，， ， 于点H，于点E， ， ， 是等腰直角三角形，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的面积为：． 【中考真题16题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据勾股定理可先求得的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案． 解：∵， ∴为直角三角形． ∴． ∵点为的斜边的中点， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键． 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 解：在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 5．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．    【答案】65 【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答． 解：根据题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 8．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 10．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 11．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．    【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点拨】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 12．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    【答案】/56度 【分析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数． 解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键． 三、解答题 13．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 14．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 解：（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 15．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 16．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 解：感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.4 等腰三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）等腰三角形性质1：等边对等角 1 【题型1】利用“等边对等角”求值 2 【题型2】利用“等边对等角”证明 2 知识点（二）等腰三角形性质2：三线合一 3 【题型3】利用“三线合一”求值 4 【题型4】利用“三线合一”证明 4 知识点（三）等腰三角形判定：等角对等边 5 【题型4】利用“等角对等边”求值 6 【题型5】利用“等角对等边”证明 6 知识点（四）等腰三角形——尺规作图 7 【题型6】利用“等角对等边”尺规作图求值证明 7 【题型7】等腰三角形性质与判定综合求值证明 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（20题）】 9 【能力提升（20题）】 15 【中考真题16题】 20 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 【例1】已知：如图1，在中，, 求证： 图1 证明：过点作交于点. ， 在和中， （HL） 这样，我们就得到了等腰三角形一个性质 知识点（一）等腰三角形性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”； 数学语言：如图2，在中，若，则。 图2 【题型1】利用“等边对等角”求值 【例题 2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，，，则的度数为 ．    【题型2】利用“等边对等角”证明 【例题 3】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【变式1】（2025·湖北·三模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与按如图位置摆放，点D在的边上，， ，与相交于点F，请你补充一个条件： ，使．（填一个即可） 由例1我们还得到了等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线的关系，这样就得到了性质2. 知识点（二）等腰三角形性质2：三线合一 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 数学语言：如图2，在中，若，则。 图3 数学语言：如图3，在中，. ①，，；②，，； ③，， 【题型3】利用“三线合一”求值 【例题 4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 【题型4】利用“三线合一”证明 【例题 5】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，点G为与的交点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 这样，我们就得到了等腰三角形一个判定定理 知识点（三）等腰三角形判定：等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”） 数学语言：如图2，在中，若，则。 图5 【题型4】利用“等角对等边”求值 【例题 6】（2025·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【题型5】利用“等角对等边”证明 【例题 7】（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）在中，，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 知识点（四）等腰三角形——尺规作图 【题型6】利用“等角对等边”尺规作图求值证明 【例题 8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）阅读并填空：如图，我们已经学过用直尺、圆规作线段的中点的方法： 以点A为圆心，以大于的长a为半径作弧；以点B为圆心， 以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、F； 作直线，交线段于点点C就是所求线段的中点． 请说明这种作法正确的理由． 解：连接、、、， （______）， 又， （______）， 即点C是线段的中点． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 【题型7】等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题 9】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．   （1）如图1，若G为中点，，，求的长度； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级下·山东淄博·期末）在中，点在上，并且，若平行，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，点在上，与交于点，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点为的中点，则 ． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则 （用含的数式表示）． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，D在边上，E在上，把沿翻折得到，点F刚好落在边上，且，，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则 ， ． 16．（2022·宁夏银川·一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰， 再以为直角边作等腰，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则的长度为 ．  （用含n的式子表示） 三、解答题 17．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知在中，，． （1）作的垂直平分线，交于点E；交于D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）连接，求的度数． 18．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，，若平分，求证：． 19．（24-25七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： （1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（22-23八年级下·江西宜春·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　）    A．12 B．5 C．1 D．3 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 6．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东， 又继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则的距离是 海里． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则 ． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则 ． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 三、解答题 17．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． （1）若，求的度数： （2）若，，求证：． 19．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 20．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为． （1）如图1，，，则______； （2）如图2，猜想，，的关系，并证明； （3）如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 【中考真题16题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．    8．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 10．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    11．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．    12．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    三、解答题 13．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 14．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 15．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 16．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $