15.3.2　等边三角形 教学设计 2025-2026学年数学人教版八年级上册

该初中数学教学设计围绕等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形的性质展开，通过回顾等腰三角形知识、观察三角尺特征导入，搭建旧知到新知的学习支架，梳理特殊三角形的性质与判定逻辑。 资料以探究式教学为主，如通过测量、拼图、折叠等活动推导等边三角形内角性质，用多种证法证明含30°角直角三角形性质，培养学生推理能力与创新意识。结合屋架设计、轮船触礁等实例，发展应用意识，帮助学生建立数学与现实的联系，也为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 课题 第1课时　等边三角形的性质与判定 授课人 学 习 目 标 1.掌握并会运用等边三角形的性质与判定. 2.经历探究等边三角形的性质与判定的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.能利用等边三角形的性质和判定解决简单的问题. 4.培养严谨的推理能力及自主合作的精神,体会逻辑推理与分类讨论的思维价值. 学习 重点 探究等边三角形的性质与判定方法,并能进行简单的应用. 学习 难点 等边三角形的性质与判定的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规及多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回答以下问题: 1.什么是等边三角形?它与之前学过的等腰三角形有何关系? 学生回答:三条边都相等的三角形叫作等边三角形,它是一种特殊的等腰三角形. 2.等腰三角形的性质和判定分别是什么?它们分别是怎么得到的? 学生回答. 今天我们来研究等边三角形的性质与判定. 　　学生回忆并回答,为学习本节课做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 等边三角形的性质 1.由定义可知:等边三角形的三条边都相等. 图15-3-70 几何语言:如图15-3-70,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC. 2.用量角器量出等边三角形各个内角的度数,并提出猜想. 3.你能否用已学的知识通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠A=∠B=∠C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°. 4.如何叙述上面猜想得到的结论? 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°. 教师提问:等边三角形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴? 【探究2】 等边三角形的判定 1.在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则AB=BC=CA成立吗?为什么? 2.求证:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 师生共同归纳等边三角形的判定方法: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 　　1.学生通过观察、思考、证明、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯. 2.教师引导学生动手,发现等边三角形三个角的关系,让学生经历观察——实践——猜想——证明的创新思维过程. 【应用举例】 例1　如图15-3-71,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数. 解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°. ∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°.∴∠CED=∠ACB-∠D=40°. 变式一　如图15-3-72,等边三角形ABC的周长为12,BD⊥AC,垂足为D,延长BC至点E,使CE=CD.若BD=a,则△DBE的周长是 (D) A.8+2a　　　　B.8+a　　　　C.6+a　　　　D.6+2a 图15-3-71 图15-3-72 图15-3-73 变式二　如图15-3-73所示,P是等边三角形ABC内一点,将△ABP绕点B顺时针旋转60°,得到△CBP'.若PB=3,则PP'=　3　.  　　1.通过例题教学,巩固等边三角形的性质与判定,培养学生的合作意识及分析问题、解决问题的能力. 2.初步运用等边三角形的性质和判定,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间,激发学生学习的积极性. 活动 二: 探究 与 应用 例2　如图15-3-74所示,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形. 图15-3-74 证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形. 变式一　如图15-3-75,若点D,E分别在边AB,AC的延长线上,且DE∥BC,结论还成立吗?[答案:成立] 图15-3-75 图15-3-76 变式二　如图15-3-76,若点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC,结论还成立吗?[答案:成立] 【拓展提升】 例3　如图15-3-77,A,O,D三点共线,△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形,求∠AEB的大小. 图15-3-77 图15-3-78 解:∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形,∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A,O,D三点共线,∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F,如图15-3-78. 又∵∠EFB=∠AFO,∴∠AEB=∠AOB=60°. 变式　已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD. 图15-3-79 (1)如图15-3-79①,若∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60°. (2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD的数量关系为　　　　,∠APB的大小为　　　　.(直接写出结果,不证明)  解:(1)证明:①∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS). ∴AC=BD. ②由(1)得△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD. ∵∠OAC+∠PAB+∠ABO+∠AOB=∠OBD+∠PAB+∠ABO+∠APB,∴∠APB=∠AOB=60°. (2)AC=BD　α 师生活动:学生在独立思考的基础上,分组讨论,教师巡视过程中,参与小组讨论,进行点拨和鼓励. 　　1.知识的综合与拓展,提高应考能力. 2.通过此例题的教学,培养学生的发散思维能力及推理论证能力. 3.题目起点较低,变式层次较多,不同层次的学生都有可以完成的题目,尊重了学生的个性,使不同的人在数学上得到不同的发展. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列关于“等边三角形”的说法不正确的是 (D) A.等边三角形的三条边都相等 B.等边三角形的三个角都相等且都等于60° C.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴 D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 2.有下列几种三角形:①三个角都相等的三角形;②有两个角等于60°的三角形;③有一个角是60°的等腰三角形;④有两个角相等的等腰三角形.其中一定是等边三角形的有 (D) A.0种　　　B.1种　　　C.2种　　　D.3种 3.如图15-3-80,在等边三角形ABC中,D是边BC的中点,则∠BAD=　30　°.  图15-3-80 4.如图15-3-80,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=　30　°.  5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=60°,则∠A=　60　°.  　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对等边三角形的性质和判定的掌握,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.培养学生大胆尝试、勇于探索的精神,提高学生的思维能力和证明能力. 【课堂总结】 (1)等边三角形的性质和判定分别有哪些? (2)等边三角形的性质和判定与等腰三角形的性质和判定有什么关系? 　　教师引导学生回顾本节课的知识,并总结、归纳本节课的重点,培养学生的归纳总结能力及语言表达能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入时教师可让学生观察生活生产中的图片,使学生能从图片中抽象出等边三角形的形象,进而产生求知欲.即从学生的生活经验出发,在丰富的现实情境中,感受到等边三角形无处不在. ②[讲授效果反思] 在讲解拓展部分的例题时,教师还可继续鼓励学生发现结论编拟题目,即再做发散与拓广并给出证明. ③[师生互动反思] 教师教学中注意引导学生根据图形选择恰当的方法证明两条线段相等,选择恰当的判定方法证明三角形是等边三角形. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 课题 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 授课人 学 习 目 标 1.掌握含30°角的直角三角形的性质. 2.会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题. 3.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程,发展学生的逻辑思维能力. 4.通过探究含30°角的直角三角形的性质,增强学生对特殊直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力. 学习 重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与应用. 学习 难点 含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规及多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　请回顾等边三角形的性质,等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形“三线合一”的性质等边三角形同样具有,请你画出图形说明这一性质. 　　学生回忆并回答,为本节课做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们经常使用的三角尺是两个特殊的直角三角形,其中一个是等腰直角三角形,它有两个45°的锐角,两条直角边相等;那么另一个三角尺的锐角是多少度?它的哪两条边存在特殊数量关系呢? 引出课题,并板书课题. 　　1.从学生身边常见的文具中发现新的数学知识,使学生感到自然亲切,消除陌生感. 2.利用等腰直角三角尺的特征,启发学生对另一个形状不同的三角尺的特征进行研究,是一种探究方式的类比. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 含30°角的直角三角形的性质 如图15-3-91,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,测量∠A所对的直角边BC与斜边AB的长度,你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形,你得到的结论还成立吗? 图15-3-91 图15-3-92 证明你的结论. 1.拼图法 将两个全等的含30°角的三角尺按如图15-3-92所示摆放在一起,观察并回答下面的问题: 活动 二: 探究 与 应用 (1)判断△ABD的形状,依据是什么? (2)线段BC与CD的大小有什么关系?为什么? (3)线段BC与AB的大小有什么关系?为什么?你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗? 2.折叠法 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折,你有什么发现? 3.几何证明法 已知:如图15-3-93,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°. 求证:BC=AB. 图15-3-93 证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°. ①倍长法 延长BC到点D,使BD=AB,连接AD,如图15-3-94,则△ABD是等边三角形. 图15-3-94 又∵AC⊥BD,∴BC=BD.∴BC=AB. ②截半法 在BA上截取BE=BC,连接EC,如图15-3-95. 图15-3-95 又∵∠B=60°,∴△BCE是等边三角形. ∴∠BEC=60°,BE=EC. ∵∠A=30°, ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°=∠A. ∴AE=EC.∴AE=BE=BC. ∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB. 学生观察、思考、猜测、证明、归纳结论. 教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述,并板书性质. 归纳: 含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB. 事实上,上述定理的逆命题也是真命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30°. 　　1.通过操作培养学生从一般到特殊转化的思想. 2.学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯. 【应用举例】 例1　图15-3-96是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.求立柱BC,DE的长. 图15-3-96 学生先独立思考,再相互交流. 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7. 活动 二: 探究 与 应用 又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85. 答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m. 变式一　如图15-3-97,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是斜边上的高,CE是中线,若AB=8,求DE的长.[答案:2] 图15-3-97 图15-3-98 变式二　如图15-3-98,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD. 证明:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°.∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∴∠ADC=60°,AD=CD.∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°.∴AD=BD.∴BC=BD+CD=3AD. 例2　如图15-3-99,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:BE=3AE. 图15-3-99 证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=60°,AB=2AD. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴∠ADE=30°.∴AD=2AE. ∴AB=4AE.∴BE=3AE. 　　1.考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系,同样通过边的关系也可以转化为角的关系. 2.通过变式题目,体会题目变式过程,探索相互关系与解题规律,训练发散性思维. 【拓展提升】 例3　如图15-3-100所示,一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,已知在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船继续向前航行有无触礁的危险? 图15-3-100 [答案:有] 教师引导学生作出辅助线:过点P作直线AB的垂线,学生画图计算. 　　考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,通过画图、计算,培养学生的动手能力、画图能力及分析问题、解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-3-101,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是 (D) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 2.某市为了美化环境,计划在如图15-3-102所示的三角形空地上种植草皮,已知这种草皮每平方米售价为a元,则购买这种草皮至少需要 (C) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 图15-3-101 图15-3-102 3.如图15-3-103,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D.若PC=3,则PD等于 (C) 图15-3-103 A.3 B.2 C.1.5 D.1 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,培养学生分析问题、解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图15-3-104,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB=　8　cm.  图15-3-104 图15-3-105 5.如图15-3-105,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=　2　.  6.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60°. (1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里? (2)小岛P方圆3海里内有暗礁,如果轮船继续向东行驶有没有触礁的危险?请说明理由. 图15-3-106 [答案:(1)7海里　(2)没有　理由略] 【课堂总结】 (1)掌握含30°角的直角三角形的性质. (2)会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题. 　　巩固、梳理所学知识,对学生进行鼓励和思想教育. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过实例的多媒体展示,唤起学生的好奇心,提出问题,引导学生进入新知识的学习,创造一种探索的情境.在学习中,只有调动学生的非智力因素,特别是内在动机,才能使他们产生强烈的求知欲和以饱满的热情来学习新知识. ②[讲授效果反思] 整节课是一个动眼观察、动脑思考、实践体验和共同提高的动态过程.设计“发现问题、做出思考、提出猜想,进行验证”探究性的学习活动,全程关注学生的学习状态,进行分层施教. ③[师生互动反思] 在探究活动中强调合作,促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补,使学生兴致盎然地投入到探究新知的学习活动中. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思,使教师的教学能力更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $