浙江省永嘉中学2025年7月高二数学学考模拟试题

Z 数学（学考）试卷 第 页（共 4 页）1 2025年7月浙江省普通高中学业 水平模拟考试 数学试题 2025.7 本数学试题卷分为选择题和非选择题两部分，共 4页,22 道小题，满分 100 分，考试时间 80 分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必检查试题卷与答题卷印刷情况，并将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签 字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题 卷，草稿纸上作答一律无效。 3.非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 选择题部分 一．单项选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，计 36 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，不选，多选，错选均不得分。 1. 已知函数� � = ��2�. � � 定义域为 A，值域为 B，那么下列说法正确的是 A. A∩B=R B. A∪B=B C. A∈B D. {0}∈A 2. 若复数 z  2  aii 的实部与虚部相等，则实数 a的值为 A.1 B.−1 C.2 D.−2 3．已知命题�: ∀� ∈ �*, � > lg�，则¬�为 A．∃� ∈ �*, �⩽lg� B．∃� ∈ �*, � > lg� C．∀� ∈ �*, �⩽lg� D．∀� ∉ �*, �⩽lg� 4．某同学参加跳远测试，共有 3次机会．用事件��（� = 1,2,3）表示随机事件“第 i（� = 1,2,3）次 跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为 A．�1 ∩ �2 B．�2 ∪ �3 C．�1 ∩ �2 ∩ �3 D．�1 ∩ �2 ∩ �3 5．已知 a，b为两条直线，�，�为两个平面，且满足� ⊂ �，� ⊂ �，� ∩ � = �，�//�，则“�与�异 面”是“直线�与 l相交”的 A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是 A．1：2 B．2：1 C．3：4 D．4：3 Z 数学（学考）试卷 第 页（共 4 页）2 7．下列命题正确的是 A．用事件�发生的频率�� � 估计概率� � ，重复试验次数�越大，估计的就越精确. B．若单调函数� � 和� � 值域均为 R,那么“函数ℎ � = � � +� � 为常函数”是不可能事件. C．事件�与事件�同时发生的概率一定比�与�中恰有一个发生的概率小. D．若事件�与事件�相互独立，则事件�与事件�相互独立. 8．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均 人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： �(�) = ���描述累计感染病例数�(�)随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r与�0，T近似满 足�0 = 1 + ��．有学者基于已有数据估计出�0 = 3.28, � = 6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累 计感染病例数增加 3倍需要的时间约为(ln2 ≈ 0.69)（ ） A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天 9．已知实数�0, �1, …, �2025，则使 �=0 2025 �� − � 和 �=0 2025 �� − � 2 最小的实数�分别为�0, �1, …, �2025 的（ ） A．平均数；平均数 B．平均数；中位数 C．中位数；平均数 D．标准差；平均数 10．已知四棱锥� − ����的底面是矩形，�� ⊥平面����，若直线��与平面����，平面���和平 面���所成的角分别为�，�，�，则（ ） A．cos� + cos� + cos� = 2 B．cos2� + cos2� + cos2� = 1 C．sin� + sin� + sin� = 2 D．sin2� + sin2� + sin2� = 1 11．已知在△ ���中，点�在 BC上的射影�落在线段 BC上（不含端点），且满足��2 = 1 2 �� ⋅ ��， 则角�的取值范围是（ ） A． π 3 , π 2 B． π3 , 2π 3 C． π 4 , π 2 D． π 4 , 3π 4 12．已知定义在�上的偶函数� � 满足� 2 − � =� � ，记�� = 2� − 1,2� + 1 ，� ∈ Z.当� ∈ �0时， � � = �2.记�� = {� 关于�的方程� � = log� � − � 在��上有两个不相等的实数根}，则�3 =（ ） A． 1,2 B． 2, + ∞ C． 1,4 D． 4, + ∞ Z 数学（学考）试卷 第 页（共 4 页）3 二．多项选择题：本题共 3小题，每小题 5 分，计 15 分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符 合题目要求的，全部选对得该题全部分数，部分选对得该题部分分数，不选，错选不得分。 13．根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续 5天的日平均温度均超过 10℃.现将连续 5 天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指 标的有（ ） A．平均数为 12，极差为 3 B．中位数为 13，众数为 11 C．众数为 15，极差为 6 D．平均数为 16，方差为 6 14．已知锐角三角形△ ���的内角分别为�，�，�，那么 A．    sin cos sin cosA B C    B．    tan sin tan cosA B C．    sin sin sin tanA A D．    cos cos cos sinA B 15．设 , 0x y  且  2 2 2xy x y  ，下列不等式正确的是 A． 2xy  B． 2x y xy  C． 2x y  D． e e 2ex y  非选择题部分 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，计 12 分。 16.已知函数   2 1f x ax x a    为偶函数，则 a  ． 17.已知全集U  N ，集合M 满足：1 M ，且当 1n M  时必有 n M ，则��� = . 18.设 1e  ， 2e  为单位向量，满足 1 22 2e e    ， 1 2a e e    ， 1 22b e e    ，设 a  ，b  的夹角为，则 2cos  的最小值为 ． 19.在三棱锥 A BCD 中，AD 平面 BCD， π 2 ABD CBD   ， 2BD BC  ，则三棱锥 A BCD 外接球表面积的最小值为 . 四．解答题：本题共 3 小题，其中第 20 题 11 分，第 12,13 题 13 分，计 37 分。解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 20．半径为 1的圆O内接△ ���，且3 4 5 0OA OB OC       ． (I)求数量积OA OB   ，OB OC   ，OC OA   ； (II)求△ ���的面积． Z 数学（学考）试卷 第 页（共 4 页）4 21．已知三棱锥P ABC 中， PA 平面 ABC， AB BC CA  ， 3PA  ，F 为 AP中点，G为CF 中点， E在 PB上， 3PE BE .二面角 P BC A  的平面角大小为 π 3 . (I)求证：GE / /平面 ABC； (II)求点G到平面 PAB的距离. 22．已知函数 ( ) sin cos sin cos 1( , , R)f x a x b x c x x a b c     . (I)当 0, 1a b c   时，求函数 ( )y f x 的单调增区间； (II)当 1, 0a c  时，设 ( ) ( ) 1g x f x  ，且函数 ( )g x 的图象关于直线 π 6 x  对称，将函数 ( )y g x 的 图象向右平移 π 6 个单位，得到函数 ( )y h x ，求解不等式 ( ) 1h x  ； (III)当 3, 2, 0a b c   时，若实数 m，n，p使得 ( ) ( ) 1mf x nf x p   对任意实数 x恒成立，求 cos 2025 p m n 的值. Z 数学（学考）答案 第 页（共 2 页）1 2025年7月浙江省普通高中学业 水平模拟考试 数学试题答案 2025.7 一．单项选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，计 36 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，不选，多选，错选均不得分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C B C D A C D A D 二．多项选择题：本题共 3小题，每小题 5 分，计 15 分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符 合题目要求的，全部选对得该题全部分数，部分选对得该题部分分数，不选，错选不得分。 题号 13 14 15 答案 BD AD ACD 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，计 12 分。 16. -1 17.  18. 15 16 19. (2 2 5)π 四．解答题：本题共 3 小题，其中第 20 题 11 分，第 12,13 题 13 分，计 37 分。解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 20.（I） | | | | | | 1OA OB OC       ， 3 4 5OA OB OC       ，则    2 23 4 5OA OB OC      （1分）， 即得 25 24 25OA OB     ，所以 0OA OB    （3 分），同理 4 5 OB OC     ， 3 5 OC OA    （6 分）． （II）由 0OA OB   ， 1 2 1 2 , OABOA OB S OA OB        △ （7 分）， 由 4 5 OB OC     ，  0, πBOC  ，得 4 3cos , sin 5 5 OB OCBOC BOC OB OC              ， 则 3s 0 1 in 12OBC S OB OC BOC     △ （9分）， 同理 3 5 OC OA     ， 3 4cos , sin 5 5 OA OCAOC AOC OA OC              （10 分）， 则 4s 0 1 in 12OAC S OA OC AOC     △ ，所以 1 3 4 6 2 10 10 5ABC S    △ （11 分）． 21.（I）连接 PG并延长交CA于点 H ，取CA的中点O，连接 、GO HB，因为G为CF中点，所以 //GO FA， 1 2 GO FA，所以 ∽ HGO HPA， = PH PA GH GO ，又 F 为 PA中点，所以 2PA FA（3 分）， 所以 2= 41 2   PH PA FA GH GO FA ，因为 3PE BE ，所以 = 4 PB EB ，所以 = PH PB GH EB ，可得 //GE HB（5 分）， 因为GE 平面 ABC，HB 平面 ABC，所以 //GE 平面 ABC（6 分）； Z 数学（学考）答案 第 页（共 2 页）2 （II）分别取 BC AB、 的中点Q D、 ，连接 、AQ CD，因为 AB BC CA  ，所以 ， AB CD BC AQ ， 因为 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以PA BC ，且 PA AQ A  ， 、 PA AQ 平面 PAQ， 所以 BC 平面 PAQ，PQ平面 PAQ，所以 BC PQ ，所以 PQA 即为二面角 P BC A  的平面 角，所以 π 3  PQA ，因为 3PA  ，所以 π 3tan tan 3     PAPQA AQ AQ ，所以 3AQ  （9 分）， 设 AB BC CA a   ，则 3 3 2 a  ，所以 2a  ，因为 PA 平面 ABC，CD 平面 ABC，所以 PA CD ，且 PA AB A ， PA AB 、 平面 PAB，所以CD平面 PAB（11 分）， 所以线段CD的长即为点C到平面 PAB的距离，又因为G为CF的中点，所以点G到平面 PAB的距 离是点C到平面 PAB的一半，因为 3 3 2  CD a ，所以点G到平面 PAB的距离为 3 2 （13 分）. 22.（I）当 0, 1a b c   时， 1( ) sin cos 1 sin 2 1 2 f x x x x    （2 分），令 π π2 π 2 2 π, Z 2 2 k x k k      ， 可得 π ππ π, Z 4 4 k x k k      ，所以 ( )y f x 的单调增区间为 π ππ, π , Z 4 4 k k k       （4 分）. （II）当 1, 0a c  时， 2sin cos 1 sin(( ) ( ) 1 )x b x b xg x f x        ，其中 tan b  ， 因为 ( )g x 的图象关于直线 π 6 x  对称，所以 2max π( ) ( ) 1 6 g x g b   ，即 2 1 3 1 2 2 b b   （6分）， 解得 3b  ，所以 πsin 3 cos 2sin( )) 3 (g x x x x    ，将函数 ( )y g x 的图象向右平移 π 6 个单位， 得到函数 π2sin( ) 6 ( )x xh   的图象，由 ( ) 1h x  ，得 π 1sin( ) 6 2 x   ，则 π π 5π2 π 2 π, Z 6 6 6 k x k k      ， 解得 2π2 π 2 π, Z 3 k x k k    ，所以不等式的解集为 2π2 π, 2 π , Z 3 k k k     （8 分）. （III）当 3, 2, 0a b c   时，  ( ) 3sin 2cos 1 13 sin 1f x x x x       ，其中 π0 2  且 2tan 3   ， 所以 ( ) ( ) 1mf x nf x p   ，可化为    13 sin 13 sin 1m x n x p m n        （9分）， 所以      13( cos )sin 13 sin cos 1 0m n p x n p x m n         （10 分）. 由已知条件，上式对任意 Rx 恒成立，所以       cos 0 1 sin 0 2 1 0 3 m n p n p m n          ， 若 0n  ，则由（1）知 0m  ，显然不满足（3）式，故 0n  ， 所以由（2）知 sin 0p  ，故 2 π π, Zp k k   或 π2 Z,p k k  ， 当 π2 Z,p k k  时，cos 1p  ，则（1）、（3）两式矛盾，故 2 π π, Zp k k   ，cos 1p   （12 分）， 由（1）、（3）知 1 2 m n  ，所以 cos 1 1 1 12025 10132025 2 2 p m n        （13 分）.