精品解析：江苏省南通市天星湖中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

天星湖高一下2024-2025第一次月考 一、单选题 1. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量，，得到，再根据向量的数量积的运算，列出方程，即可求解， 【详解】由题意，向量，，∴， 又，可得，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的两角差公式，即可求值. 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 4. 若中，，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，夹角为锐角 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的相关概念及数量积定义与计算公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，两向量模长相等，不一定共线，故A错误； 对于B，若，不能得到， 比如为任意非零向量，时满足，但不一定相等，故B错误； 对于C，若，则有，所以，故C正确； 对于D，若同向，即夹角为零角时仍能满足，故D错误. 故选：C 6. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得，利用辅助角公式得到结果. 【详解】 ，即 ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7. 在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 8. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示：   因为  ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以   . 当且仅当 M 、O 、C 共线且  、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 二、多选题 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解. 【详解】A选项：，所以，所以，故A错误； B选项：若得，则，显然不成立，故B正确； C选项：因为,若向量， 则或，故C正确； D选项：设的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为所以， 又因为向量在向量上的投影向量为， 所以 则的夹角为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由结合诱导公式可判断选项A，B，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C，在三角形中若,则若或可判断选项D. 【详解】由， 则,故A正确. ,故B不正确. 由三角形中大角对大边，，则，根据正弦定理有,故C正确. 在三角形中若,则若或. 所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确. 故选：AC 【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 三、填空题 12. 求值_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用诱导公式将式子中的角化为锐角，再利用两角差的正弦公式化简计算. 【详解】 . 故答案为： 13. 在中，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设知为直角三角形且 ，写出、、，根据向量数量积公式可将目标式化为，即可求值. 【详解】由题设知：，故为直角三角形且 ， ∴，，， ∵， ∴. 故答案为： 14. 已知向量，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得到，然后在上的投影向量为求夹角即可. 【详解】法一：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在上的投影向量为，则，所以，又，所以的夹角为. 法二：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在上的投影向量为，则，即，所以的夹角为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t及． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出，由数量积的运算律求得可得向量夹角； （2）计算，由，求出，然后由数量积的运算求出． 【详解】（1）由已知， ， 所以，又，所以； （2）由题意， 解得，， ， 所以． 【点睛】思路点睛：求向量的模，通常把模转化为数量积的运算，根据是． 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【小问1详解】 因为为锐角，，从而， 所以. 【小问2详解】 由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 17. 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． （1）判断四边形的形状，并给出证明； （2）若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】（1） 因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以． 18. 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设. （1）当时，求证：； （2）求的最大值. 【答案】（1）证明： 以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，. 当时，，则，， ∴. ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解. 【详解】（1）略； （2）由三角函数的定义可设， 则，，， 从而， 所以， 因为，故当时，取得最大值2. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 【答案】（1）. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）化简可得，由，可求函数的单调递减区间； （2）（i）利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式；（ii）由已知可得，根据同一个角的正余弦的平方关系和两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 ， 令，得， 则函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由题意，将函数的图象先向左平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变）， 得到函数的图象，则. （ii）由得，， ，则， ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天星湖高一下2024-2025第一次月考 一、单选题 1. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若中，，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，夹角为锐角 6. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 二、多选题 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 10. 已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是等腰三角形 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 三、填空题 12. 求值_________. 13. 在中，，则_______． 14. 已知向量，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角___________. 四、解答题 15. 已知． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t及． 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 17. 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． （1）判断四边形的形状，并给出证明； （2）若，，与的夹角为，为中点，求． 18. 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设. （1）当时，求证：； （2）求的最大值. 19. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $