精品解析：天津市南开区翔宇弘德学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

天津市翔宇弘德学校2024-2025学年度第二学期八年级 第一次大练习数学学科试卷 考试时间：100分钟；试卷满分：100分 一、单选题 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 2. 下列各式中，为最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. ，， 5. 如图是一个长方体，其中棱，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）． A. B. C. D. 9. 在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别是90，85，90，80，95，则这组数据的中位数是（ ） A. 95 B. 90 C. 85 D. 80 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则的值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 10 12. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 13 计算：_______． 14. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，则线段_____． 15. 将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则的取值范围是______． 16. 如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为______． 17. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在格线上，M点为线段上一动点． （1）线段的长度为____； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，找出一点N，使得与平行，并说明点N是如何找到的（不要求证明）____________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数． 21. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 22. 如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值___________． 24. 将一个含角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，，点B．D是边上一点（不与点A，B重合），沿折叠该纸片，得点B的对应点C． （1）如图①，当点C落在边上时，___________． （2）如图②，当y轴时，求点C的坐标； （3）若折叠过程中，若与重叠部分是直角三角形时，求重叠部分面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市翔宇弘德学校2024-2025学年度第二学期八年级 第一次大练习数学学科试卷 考试时间：100分钟；试卷满分：100分 一、单选题 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故选：B． 2. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是关键．最简二次根式的条件是：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，据此求解即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了能否构成直角三角形．熟练掌握三角形三边关系，勾股定理的逆定理，是解题的关键．三角形三边关系，三角形任意三边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理逐一判定即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A选项不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故C选项符合题意； D、，不能构成三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图是一个长方体，其中棱，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短距离问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示： 则， ∵，，，点是的中点， ∴， ∴， ∴它爬行的最短路程为， 故选：A． 6. 下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意； ②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题，符合题意； ③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； ④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，为假命题，，不符合题意； 真命题有1个， 故选：A． 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 9. 在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别是90，85，90，80，95，则这组数据的中位数是（ ） A. 95 B. 90 C. 85 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．依此即可求解． 【详解】把数据按从小到大的顺序排列为：80，85，90，90，95，则中位数是90． 故答案为：B． 【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分面积为， 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，利用平移思想，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点是由点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位即为点的坐标， 即：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 12. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 13. 计算：_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的性质，根据平方差公式和二次根式的性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：6． 14. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 由题意可知，，再由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：设在平面直角坐标系中，坐标原点为， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 15. 将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示， 此时，， ∴最短为； 如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为， 故的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴上的点，勾股定理；由勾股定理得，由线段和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ； 故答案：． 17. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在格线上，M点为线段上一动点． （1）线段的长度为____； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，找出一点N，使得与平行，并说明点N是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）连接，取的中点O，连接，延长交网格线于点E，连接，取的中点H，作直线，连接交直线于点F，连接，延长交于点N，连接即可． 【详解】解：（1）由图，可知 ． 故答案为：． （2）如图，点N即为所求． 方法：连接，取的中点O，连接，延长交网格线于点E，连接，取的中点H，作直线，连接交直线于点F，连接，延长交于点N，连接即可（根据，推出四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质证明可得结论）． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1），； （2）平均数是，众数是，中位数是． 【解析】 【分析】（1）根据条形图求出各组数据总和可得到，再根据百分比的定义求m即可； （2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可； 【小问1详解】 解：由题意，， 岁学生所占百分比为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 观察条形统计图， ∵， ∴这组数据的平均数是． ∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． ∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是，有， ∴这组数据的中位数是． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键． 21. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）见解析 （2）7200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，， ， 是直角三角形，其中是斜边， ； 【小问2详解】 解：如图，过A作于点E， ，，， ， ， ， ， ， （元）， 此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 22. 如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对应边平行且相等得到 且即可得到证明． 【详解】证明：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值___________． 【答案】（1）证明见解析；（2）25；（3）千米；（4） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、矩形的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键． （1）先根据直角梯形的面积公式可得，再求出，由此即可得证； （2）过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得千米，千米，再在中，利用勾股定理求解即可得； （3）作的线段垂直平分线，交于点，连接，设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理可得和的值，再根据建立方程，解方程即可得； （4）构造图形（见解析），其中，点是上一动点，设，则，利用勾股定理可得，则可将求代数式的最小值转化为求的最小值，延长至点，使得，过点作，交延长线于点，连接，，则可得即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴ ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， ∵，， ∴四边形矩形， ∴千米，千米， ∵千米， ∴千米， 在中，千米， 即两个村庄的距离为25千米， 故答案为：25． （3）解：如图3，作的线段垂直平分线，交于点，连接， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， 则的长为千米． （4）解：如图4，，点是上一动点， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴， ∴求代数式的最小值可转化为求的最小值， 延长至点，使得，过点作，交延长线于点，连接，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为， 故答案为：． 24. 将一个含角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，，点B．D是边上一点（不与点A，B重合），沿折叠该纸片，得点B的对应点C． （1）如图①，当点C落在边上时，___________． （2）如图②，当y轴时，求点C的坐标； （3）若折叠过程中，若与重叠部分是直角三角形时，求重叠部分面积． 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形的中的特殊角，结合已有条件及折叠的性质，得出，推出； （2）根据轴，可知，轴，设交x轴于H点，由，得出，则有，此时即可求出，在中，有，C点坐标即可求出； （3）根据题意画出图形分情况，利用勾股定理及直角三角形的性质求出边长，利用三角形面积公式直接求出结果． 【小问1详解】 解：由题条件可知：， 根据对折的性质有：， ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵轴， ∴，轴， 设交x轴于H点， ∴， ∵（由对折可知）， ∴，则有， ∵， ∴在中，有，， 则C点坐标； 【小问3详解】 ①如图，与重叠部分是直角时，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，与重叠部分是直角时， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，与重叠部分是直角时， 由（2）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上，重叠部分面积为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，正确画图并熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $