16.2.1开平方法 课件 2024-2025学年北京版数学八年级下册

16.2.1直接开平方法 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点） 你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 思考：如何解一元二次方程． 新课导入 问题 解：设该正方形的边长为xcm，由题意得： 1、四个完全相同的正方形面积之和是100cm²，求正方形的边长. 4x²=100 整理得 x²=25 根据平方根的意义，得 x=±5 即 x1=5, x2=-5 ∵边长不能取负值,即x > 0 答：正方形的边长为5cm. ∴x=5是方程的解 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 试一试 2、说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法、理由 x2=9 x1=3, x2=-3 根据平方根的意义直接开方 x2=0 x1=x2=0 根据平方根的意义直接开方 x2=-4 无实数根 负数没有平方根 归纳小结 一般的，对于可化为x²=n形式的一元二次方程 ◇直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方 求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25 开平方得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 讲授新课 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 试一试： 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 规律总结 利用直接开平方法解下列方程 例1 (1) x2=100 (2) x2-25=0 解：由平方根的意义得 x=±10 ∴ x1=10,x2=-10 解：移项得x2=25 ∴ x1=5,x2=-5 由平方根的意义得 x=±5 利用直接开平方法解下列方程 变1 (3) 4x2=100 (4)(x+3)2=5 解：两边同除以4得 x2=25 ∴ x1=5,x2=-5 解：由平方根的意义得 x+3= ∴ x1= -3,x2= -3 由平方根的意义得 x=±5 ∴x+3= 或 x+3= 第(4)小题应该将 (x+3)看做一个整体 方法小结 二元、三元 一次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，完后分别解一元一次方程求出方程的解. 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 练一练： 用直接开平方法解方程 x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8. 解： x=±6 x1=6，x2=-6 解：x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 解： 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 探究交流 本题解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 解析：将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. ∴ x1= ， x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 练一练： (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交流 归纳总结 上面的解法中 ，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。 一元二次方程 一元一次方程 开平方、… 降次 思路 类似 二元一次方程组 一元一次方程 加减、代入 消元 转化 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D 当堂练习 4. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝5, x2＝－5； 解：x1＝1, x2＝－3. $$