精品解析：广东省河源市正德中学2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题

九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，则据此估计盒子中大约有白球（ ） A. B. C. D. 2. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 5. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是( ) A. B. C. D. 8. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是______． 12. 如果是方程的两根，则_________． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_____． 14. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（结果精确到）． （2）试估算口袋中黑球有______只，白球有______只． （3）在（2）的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 18. 如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？ 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 22. 如图，抛物线与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，四边形为矩形，交抛物线于点D，点P在下方的抛物线上运动. （1）求该抛物线的解析式； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）当的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值． 23. 如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，则据此估计盒子中大约有白球（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 设白球有个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设白球有个，根据题意得， ， 解得， 所以，盒子中大约有白球9个， 故选：C． 2. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得，， 故选：B． 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分，， ∵， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，以原点为位似中心，在位似中心两侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比的相反数。相似比为，则对应的坐标比为，由此可解得点C的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴和是以点为位似中心，相似比为的位似图形， ∵坐标为， ∴点C的坐标为，即， 故选：C． 6. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】要求cosB，必须将∠B放在直角三角形中，由图可知∠D＝∠B，而AD是直径，故∠ACD＝90°，所以可进行等角转换，即求cosD．在Rt△ADC中，AC＝2，AD＝2r＝3，根据勾股定理可求得，所以． 8. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题． 【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M， ∵轴 ∴AB⊥y轴， ∴， ∵ ∴ 解得 ∵点B在双曲线上，且B在第二象限 ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键． 9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD•sin60°=6×=3， ∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键． 10. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y＞0， 即a-b+c＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴=n， ∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是______． 【答案】27 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】与相似， ， ， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键． 12. 如果是方程的两根，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系， ，． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式求解即可得． 【详解】解：∵菱形ABCD， ∴OA=，OB==3， ∴AB=， ∴， 解得OH=． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了菱形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 14. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意可知,， 设为x， ，， 根据，可得方程， 解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】取AB的中点G，以G为圆心，AB为直径作圆G，当D、E、G共线时，此时DE取得最小值． 【详解】解：∵BE⊥AF于E，即∠AEB=90°，取AB的中点G， ∴点E的运动轨迹为以AB为直径，G为圆心的圆弧． 当D、E、G三点共线时，DE取得最小值，如图， ∵AB=AD=2， ∴AG=EG=1， ∴DG=， ∴DE=．即线段DE的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定DE取最小值的位置． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）根据化简绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂和负指数幂进行计算； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） （2） ∴ 即 ∴或 解得： 17. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（结果精确到）． （2）试估算口袋中黑球有______只，白球有______只． （3）在（2）的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2）2，3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数； （3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）． 故答案为：2，3； 【小问3详解】 列表得出： 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 (黑1，黑2) (黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，白3) 黑2 (黑2，黑1) (黑2，白1) (黑2，白2) (黑2，白3) 白1 (白1，黑1) (白1，黑2) (白2，白2) (白1，白3) 白2 (白2，黑1) (白2，黑2) (白2，白1) (白2，白3) 白3 (白3，黑1) (白3，黑2) (白3，白1) (白3，白2) 从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：12种，总数为：20种， 故这两只球颜色不同的概率是：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 18. 如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？ 【答案】较高的树有7.5米 【解析】 【分析】过点作，，、为垂足，根据相似三角形的判定定理得出，由相似三角形对应边成比例求出的长，进而可得出结论． 【详解】 如图所示，过点作，，、为垂足， ， ， ， ， ， ， ，即， （米）， （米）． 答：较高的树有7.5米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造相似三角形是解题的关键． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】（1）5； （2）b2-4ac =（m+5）2-20m =m2-10m+25 =（m-5）2≥0， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，求出m值，可得另一个根； （2）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0； （3）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）∵方程的一个根是， ∴，， ∴， 解得：m=2， ∴； 所以另一个根为5 （2）略． （3）原方程可变为（x-m）（x-5）=0， 则方程的两根为x1=m，x2=5， ∴直角三角形三边为2，5，m； ∴m＞0， ①若m为直角三角形的斜边时，则： ∴22+52=m2， 解得：m=（负值舍去）， ②若5为直角三角形的斜边时，则： ∴22+m2=52， 解得：m=（负值舍去）． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分． （3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）由题意得： ∴， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴， 当时，；当时，，解得 （2）由图象可以看出的解集为或 （3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大） ∵关于轴的对称点为， 又，则直线与轴的交点即为所求点． 设直线的解析式为 则解得 ∴直线的解析式为 ∴直线与轴的交点为． 即点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大． 22. 如图，抛物线与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，四边形为矩形，交抛物线于点D，点P在下方的抛物线上运动. （1）求该抛物线的解析式； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）当的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）点P的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）连接，证明四边形为矩形，得出点E的横坐标4，进而得出点D、点E的中点F的横坐标为3，将代入中得到，即可得出答案； （3）过点P作于点H，设P点的横坐标是m（其中），则点P的坐标为，得出，，，，进而由，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点、代入中， 得： ， 解得：， 所以该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴点E的横坐标4， ∵抛物线的对称轴为直线， 又∵点C的横坐标为0， ∴点D的横坐标为2， ∴点D、点E的中点F的横坐标为3， 过点F作的垂线交抛物线于点P， 将代入中得到， 所以此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：如图2，过点P作于点H， 设P点的横坐标是m（其中），则点P的坐标为， ∴，，，， ∴， ∴当，即点P的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，但难度不大． 23. 如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）的长为； （3）． 【解析】 【分析】（）平分，，所以，，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理即可求证； （）如图，过点作与，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （）如图，连接，是弧的中点，则，先证明四边形为菱形，得到， ，和为等边三角形，从而得到，，在中，可计算出 ，，所以，然后利用即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作与， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，扇形的面积等知识点，掌握知识点的应用，根据题意作适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $