精品解析：山西省太原市第三十八中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

太原市第三十八中学校2024-2025学年第二学期 八年级数学学科素养训练 2025.3.19 一、选择题 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可，不等式的性质为：不等式两边同时加上或减去一个相同的数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 本题主要考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键． 【详解】解： A、由可得，该不等式一定成立，符合题意； B、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； C、若可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； D、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 3. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 4. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 5. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求解 可得 从而可得答案. 【详解】解： 是等边三角形， ， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键. 6. 如图, ,,线段的垂直平分线交于,交于,为垂足, ,则 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6cm D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， 又 ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7. 如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点P作与F，延长交于G，先证明，由角平分线的定义得到，进而证明得到，同理可得，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作与F，延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴点P到与的距离之和为8， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于或等于60° B. 三角形中有两个内角小于或等于60° C. 三角形中有三个内角小于或等于60° D. 三角形中没有一个内角小于或等于60° 【答案】D 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可． 【详解】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设三角形中没有一个内角小于或等于60°． 故选D. 【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 9. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两条直线的交点与不等式的解集的关系，根据根据两条直线的交点坐标，结合图象，函数图象位于函数图象上方的点的横坐标的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 故选：B． 10. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数． 【详解】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝＝70°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°， 同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，通过移项、合并同类项、系数化为即可求解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可知、，根据等边对等角可得、，根据角之间的关系可以得到． 【详解】解：在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为： ． 13. 如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为_________． 【答案】x＞﹣2 【解析】 【详解】试题分析：根据一次函数的图像可知y随x增大而增大，因此可知不等式的解集为x＞-2． 考点：一次函数与一元一次不等式 14. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元，店庆期间商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最多可打___________折． 【答案】8##八 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 设该自行车能打x折，则根据利润率不低于，可得出不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车能打x折， 由题意得 解得：， 即最多可打8折． 故答案为8． 15. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 三、解答题 16. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． （）通过移项、合并同类项、系数化为即可求解； （）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组 （1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，把解集表示在数轴上． 【答案】（1）， 在数轴上表示解集如下， ； （2）， 在数轴上表示解集如下， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． （）分别解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可， （）分别解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为： 【小问2详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为： 18. 下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：中边上的高线． 作法：如图，以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接交于点． 所以线段是中边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵_________，________， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（ ）（填推理依据）． ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． （3）如图已知：，求作：中边上的高线． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2），，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； （3） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作垂线，线段的垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据要求画出图形即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题； （3）根据题意画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵，， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线， 故答案为：，，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点； 连接交延长线于点， ∴线段是中边上的高线． 19. 如图，已知点、为的边上两点，，判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】 ，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合得故，又因为，即可证明，再进行作答． 【详解】略 20. 某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） 甲商品 乙商品 售价（单位：元） 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 （1）若某单位购买甲商品件，购买乙商品的件数比甲商品多件，选择购买方案时，促销方案一所需费用为元，促销方案二所需费用为元，请直接写出，与之间的关系式． （2）请根据购买甲商品的件数的不同范围，求出选择哪种促销方案更合适． 【答案】（1）方案一费用；方案二费用； （2）当时，选择方案一；当时，选择方案一或方案二；当时，选择方案二． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设购买甲商品件，购买乙商品件，求出方案一费用；方案二费用； （）根据（）的代数式列出方程和不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设购买甲商品件，购买乙商品件， 则，（元）， 【小问2详解】 解：由（）得，方案一费用，方案二费用： ； 当时，即， 解得：， ∴当时，选择方案一； 当时，即， 解得：， ∴当时，选择方案一或方案二； 当时，即， 解得：， ∴当时，选择方案二． 21. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【答案】（1）①；； ②所填的条件是：． 证明：在中，． ，． 又，． 又，， ． ，． 又，． （2）． 【解析】 【详解】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|； ②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°． （2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市第三十八中学校2024-2025学年第二学期 八年级数学学科素养训练 2025.3.19 一、选择题 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 4. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图, ,,线段的垂直平分线交于,交于,为垂足, ,则 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6cm D. 不能确定 7. 如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于或等于60° B. 三角形中有两个内角小于或等于60° C. 三角形中有三个内角小于或等于60° D. 三角形中没有一个内角小于或等于60° 9. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 不等式的解集为______． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则_______． 13. 如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为_________． 14. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元，店庆期间商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最多可打___________折． 15. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，则_____． 三、解答题 16. 解不等式： （1）； （2）． 17. 解不等式组 （1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，把解集表示在数轴上． 18. 下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：中边上的高线． 作法：如图，以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接交于点． 所以线段是中边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵_________，________， ∴点，分别在线段的垂直平分线上（ ）（填推理依据）． ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． （3）如图已知：，求作：中边上的高线． 19. 如图，已知点、为的边上两点，，判断与的大小关系，并给出证明． 20. 某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） 甲商品 乙商品 售价（单位：元） 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 （1）若某单位购买甲商品件，购买乙商品的件数比甲商品多件，选择购买方案时，促销方案一所需费用为元，促销方案二所需费用为元，请直接写出，与之间的关系式． （2）请根据购买甲商品的件数的不同范围，求出选择哪种促销方案更合适． 21. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $