精品解析：广东省惠州市南山学校2024--2025学年八年级下学期3月考数学卷

惠州市南山学校八年级月知识小结 数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据“平行四边形邻角互补”的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴． 故选：B． 3. 已知的三边长分别为，，2，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理和三角形三边长度可知是一个直角三角形，且长为的边是斜边，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设三角形三边分别为，且，， 为最长边 是以为斜边的直角三角形 故答案是：D． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的运用，难度不大．解题的关键在于用勾股定理逆定理判定三角形形状． 4. 下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）． A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵△ABC是直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①正确； 由图可知，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 6. 已知下列各式，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】A、原式=2 ，故A不是最简二次根式； B、原式=，故B不是最简二次根式； C、原式=，故C不是最简二次根式； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 7. 要使二次根式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得 解得：， 故选：C． 8. 如图，在直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，若是等边三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴，根据勾股定理得CD=，进而即可得到答案． 【详解】解：过点C作CD⊥x轴， ∵，，是等边三角形， ∴AB=4，AD=2，CD=， ∴OD=2-1=1， ∴点的坐标是：， 故选A． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握等边三角形三线合一，是解题的关键． 9. 已知：如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，然后根据是整数可得出n的最小值． 【详解】=2， 又∵是整数， ∴n的最小值为7． 故选C． 【点睛】此题考查了二次根式的知识，解答本题的关键是将化为最简二次根式，难度一般． 10. 在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 故选：C. 【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解题的关键． 12. 如果，那么的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由于二次根式的值是非负数，被开方数也是非负数，于是有，-x≥0，对上述两个关于x的不等式求解，再取它们的公共部分，即为x的取值范围. 【详解】∵成立， ∴，-x≥0， ∴. 故答案为：. 【点睛】这是一道关于二次根式的题目，需要掌握二次根式的定义和性质. 13. 如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，，则有，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， ； 如图， ； 如图， ； ， ∴它所行的最短路线的长为． 故答案为：． 15. 将一组数，2，，，，，按图中的方法排列： …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第6个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键． 【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得： …… 观察可知：(m为正整数)在第m行的第6个， ∴，在第17行的第6个， ∴这组数中最大数的位置记为， 故答案为：． 三、解答题一（共3小题，每题8分，共24分） 16. 计算下列各式： （1） （2） 【答案】（1）;（2）3. 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解. 【详解】（1） = （2） 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 17. 如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）连接，判断的形状； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （1）利用勾股定理计算出、的长；再连接，然后再利用勾股定理计算出、，然后利用勾股定理逆定理判定的形状即可； （2）利用勾股定理判定出是直角三角形，然后再求和的面积和即可． 【小问1详解】 解：如图， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 【小问2详解】 解：根据勾股定理得：， 由（1）知：，， ， 是直角三角形， 四边形的面积：． 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：根据题意可知，平分，则， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图得角平分线，结合平行四边形对边平行得出等角，通过等量代换得出，再根据等角对等边证； （2）如图，过点作，先证明相似三角形求出，然后算出等腰的腰长，利用含角的直角三角形的性质求出高，再用底乘高算出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， 据（1）可知，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 ． 21. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 五、解答题三（共2小题，每题12分，共24分） 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；并将代入，得到x（x＋1），将它化为并将代入计算即可． 【小问1详解】 由得， 则， ∴， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 由得，则， ∴， ∴ ． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题． 【小试牛刀】 （1）如图，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为多少千米； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 ． 【答案】（1）两个村庄之间的距离为25千米（2）的长为6.3125千米（3）20 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，作于点E，可得的长，在中，运用勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接，作的垂直平分线交于P点，则点P即为所求；利用勾股定理得，进而得，再根据千米，千米千米得千米，即可解答； （3）根据轴对称-最短路线的求法即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接，过点C作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∵千米， ∴（千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． （2）如图所示，连接，作的垂直平分线交于P点，则点P即为所求； 连接， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵千米，千米，千米， ∴千米， ∴， ∴千米． 即的长为6.3125千米； （3）如图，先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，构造出直角三角形是解本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市南山学校八年级月知识小结 数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三边长分别为，，2，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）． A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④ 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知下列各式，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7. 要使二次根式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，若是等边三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 28 10. 在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12. 如果，那么的取值范围是______. 13. 如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为________． 14. 如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_______． 15. 将一组数，2，，，，，按图中的方法排列： …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为__________． 三、解答题一（共3小题，每题8分，共24分） 16. 计算下列各式： （1） （2） 17. 如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）连接，判断的形状； （2）求四边形的面积． 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 20. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 21. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 五、解答题三（共2小题，每题12分，共24分） 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； （2）已知，求代数式的值． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题． 【小试牛刀】 （1）如图，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为多少千米； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $